人教版（2024）八年级下册（2024）第二十三章 一次函数23.2 一次函数的图象和性质优秀学案设计

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课程目标 · 精准把握学习方向
理解 正比例函数和一次函数的概念，能根据条件确定函数表达式。
掌握 正比例函数与一次函数的图象特征（形状、位置、增减性），理解 k、b 的几何意义。
熟练运用 待定系数法求一次函数解析式。
理解 一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系，能利用图象求方程的解或不等式的解集。
会画 一次函数的图象，能根据图象分析函数的性质（增减性、象限分布）。
体会 数形结合思想在函数学习中的核心地位，提高综合应用能力。
✨ 核心思想：函数模型 → 图象特征 → 性质应用 → 方程不等式统一。
知识梳理 · 核心知识点
☆ 1. 正比例函数的概念与解析式
一般形式：y=kx（k 是常数，k≠0）。自变量 x 的次数为1，没有常数项。
判断正比例函数：必须满足① y=kx 形式；② k≠0；③ 自变量的指数为1。
正比例函数是特殊的一次函数（一次函数中 b=0）。
☆ 2. 正比例函数的图象与性质
图象：经过原点 0,0 的一条直线。
当 k>0 时，图象经过第一、三象限，y 随 x 增大而增大。
当 k0 直线从左到右上升；k0 → y 随 x 增大而增大；k0 的解集 ⇔ 直线在 x 轴上方的部分对应的 x 取值范围。
※ 知识总结表（核心要点）
核心考点 ·7大考点精讲
【考点1】正比例函数的概念（对应题1-6）
❤ 方法总结
判断正比例函数：形式为 y=kx，且 k≠0，自变量次数为1，无常数项。
若函数 y=m−1x+2m−6 是正比例函数，则令常数项为零且系数不为零，解方程求参数。
待定系数法求正比例函数只需一个点（原点除外）。
1．（2025春•桦甸市期末）若y＝x+3﹣b是正比例函数，则b的值是（ ）
A．0B．3C．﹣3D．﹣1
2．（2025秋•贵阳期末）下列表达式中，y是x的正比例函数的是（ ）
A．y＝2xB．y＝3x﹣1C．y＝4x2D．y=5x
3．（2025春•滑县月考）下列函数中是一次函数但不是正比例函数的是（ ）
A．y＝﹣8xB．y=5−3xC．y＝5x2+6D．y＝﹣0.5x﹣1
4．（2024春•同步）已知一次函数y＝（k﹣2）x+k2﹣4，当k＝ ，该函数是正比例函数．
5．（2025春•巴音郭楞州期末）已知正比例函数y＝（m+1）x+2m﹣6，m为常数．
（1）求m的值．
（2）在平面直角坐标系中，画出该正比例函数的图象．
6．（2025春•武威期末）已知y关于x的函数y＝4x+m﹣1．
（1）若y是x的正比例函数，求m的值；
（2）若m＝9，求该函数图象与x轴的交点坐标．
【考点2】正比例函数的图象（对应题7-12）
❤ 方法总结
正比例函数图象是过原点的直线，根据 k 的符号判断象限：k>0 过一三；k0，y 随 x 增大而增大；k0，则 x 越大 y 越大；k0 必过一三；k0 递增，k0；图象与y轴负半轴相交则 b0 的解集 ⇔ 直线在 x 轴上方的部分对应的 x 范围。
利用图象比较函数值大小：交点两侧根据高低判断。
40．（2025秋•夏县期末）如图，直线l1：y＝3x﹣1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，b），则关于x，y的方程组3x−y=1mx−y=−n的解是（ ）
A．x=1y=2B．x=2y=1C．x=−1y=2D．x=1y=4
41．（2025春•献县校级月考）若关于x的方程bx+a＝0的解是x＝﹣1，则直线y＝bx+a一定经过点（ ）
A．（0，1）B．（0，﹣1）C．（1，0）D．（﹣1，0）
42．（2025秋•利辛县期末）一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图，甲乙两位同学给出的下列结论：
甲说：方程kx+b＝x+a的解是x＝3；
乙说：当x＜3时，y1＜y2．
其中正确的结论有（ ）
A．甲正确，乙错误B．乙正确，甲错误
C．甲乙都正确D．甲乙都错误
43．（2024秋•雁塔区校级期末）已知直线y＝﹣2x与直线y＝kx+b相交于点E（a，8），则关于x，y的方程组2x+y=0kx−y=−b的解是 ．
44．（2025秋•蕉岭县期末）如图，一次函数y＝ax+b与y＝x+1的图象交于点P（2，m），则关于x，y的方程组y=ax+by=x+1的解为 ．
45．（2024春•武城县月考）如图，已知函数y＝ax+b和y=12x的图象交于点P，根据图象，可得关于x的二元一次方程组y=ax+by=12x的解是 ．
46．（2025春•奉贤区期中）已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（3，0），且与直线y＝2x都经过点P（m，4）．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当y＝kx+b的函数值大于y＝2x的函数值时，求x的取值范围．
47．（2025秋•杭州期末）已知一次函数y＝kx+6（k≠0）的图象经过点A（2，2）．
（1）求k的值；
（2）当﹣2≤x≤2时，求函数y的最大值与最小值的差；
（3）当m﹣2≤x≤m+2时，函数y的最大值与最小值的差是否会随着m的变化而变化？若不变，则求出这个定值；若变化，请说明理由．
48．（2025春•西城区校级期中）在学习了函数相关的知识后，小巳同学想要借助函数图象求解不等式|x﹣1|﹣2≥0．
（1）他选择通过描点法画函数y＝|x﹣1|﹣2的图象．
自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
其中，m＝ ；
根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出函数图象．
根据函数图象，直接写出不等式|x﹣1|﹣2≥0的解集为 ．
（2）在进一步的探究过程中小巳同学有两个新的发现：
①若关于x的函数y＝|x﹣1|﹣2+b的图象上到x轴的距离等于1的点恰好有4个，则b的取值范围为 ；
②若关于x的函数y＝|kx﹣1|﹣2，当x≥1时，y随x的增大而增大，则k的取值范围为 ．
随堂检测 · 精选练习
1．（2023春•西城区校级月考）请写出一个y随x的增大而增大的正比例函数的表达式： ．
2．（2025秋•郫都区校级期末）如图，一次函数y＝x+2与y＝ax+6（a≠0）的图象相交于点P，那么关于x的方程x+2＝ax+6的解为 ．
3．（2024秋•义乌市期末）已知一次函数y＝﹣x+2，当﹣3≤x≤3时，y的最大值为 ．
4．（2025•海门区校级开学）如图，直线l1：y＝3x与直线l2：y＝kx+4在同一平面直角坐标系内交于点P．
（1）写出关于x的方程3x＝kx+4的解： ；
（2）设直线l2与x轴交于点A，求点A的坐标．
课后巩固 · 针对性练习
作业1（课后第1题） — 正比例函数系数大小比较：根据图象陡峭程度判断 k 的大小关系。
作业2（课后第2题） — 正比例函数定义与象限限制：利用指数条件与象限符号求参数值。
作业3（课后第3题） — 正比例函数参数求值：根据增减性或图象象限确定 m 的值。
作业4（课后第4题） — 一次函数值比较：利用一次函数增减性比较函数值大小。
作业5（课后第5题） — 新定义函数（取最小值函数）：求分段函数的最大值，需要数形结合。
作业6（课后第6题） — 待定系数法求一次函数：根据图象过点及增减性写表达式。
作业7（课后第7题） — 一次函数图象信息读取：求与坐标轴交点、解析式及增减性描述。
作业8（课后第8题） — 一次函数综合：根据交点求不等式解集、函数解析式及三角形面积。
☆ 复习建议 重点掌握一次函数图象与系数符号的关系，熟练运用待定系数法，能利用函数图象解决方程与不等式问题。多练习根据实际情境建立一次函数模型。
1．如图，函数y1＝k1x，y2＝k2x，y3＝k3x的图象分别是直线l1，l2，l3，则k1，k2，k3的大小关系是 ．
2．如果正比例函数y＝kx|k|﹣1的图象经过第二、四象限，那么k的值是 ．
3．已知函数y＝（2m﹣9）x|m|﹣5是正比例函数，分别根据下列条件求m的值：
（1）y随x的增大而增大；
（2）图象经过第二、第四象限．
4．（2026•黄石模拟）已知点A（﹣1，y1），B（1，y2）都在直线y＝kx﹣1（k＜0）上，则y1，y2的大小关系是 ．
5．（2025秋•拱墅区期末）我们规定：a、b两个数中最小的数记作min{a，b}，例如min{1，2}＝1，则函数y＝min{﹣x+3，2x+1}的最大值是 ．
6．（2025秋•同步）某一次函数的图象过点（﹣1，2），且函数y的值随x的增大而减小．请写出符合上述条件的函数表达式（只写一个）．
7．（2024秋•南海区校级月考）如图是某一次函数的图象，根据图象填空：
（1）当y＝0，时，x＝ ；
（2）这个函数的表达式是 ；
（3）写出这个函数的增减性： ；
8．（2025秋•邗江区期末）如图，已知一次函数y＝2x+b的图象与一次函数y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），这两个函数的图象与x轴分别交于点A、B．
（1）根据图象直接写出不等式2x+b＞ax﹣3的解集为 ；
（2）分别求出这两个函数的表达式；
（3）求△ABP的面积．
类别
表达式
图象特征
性质（k的作用）
b的作用
正比例函数
y=kx (k≠0)
过原点直线
k>0 ↗；k0 ↗；k