初中数学北师大版（2024）八年级下册（2024）第三章 图形的平移与旋转2 图形的旋转第3课时学案设计

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1.理解中心对称的定义及性质，会识别中心对称图形。
2.能运用中心对称及其性质解决实际问题。
学习重点：中心对称（图形）定义与两条性质；对称中心的作图判定。
学习难点：在复杂图形或坐标背景下正确寻找对应点与对称中心，并综合运用性质解决问题。
第一环节 自主学习
创设情景，引入新课
问题情境：
◎1.知识回顾
在这之前你学过哪些有关对称的知识？
①轴对称图形：如果 平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的 .
②轴对称:如果 平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称,这条直线叫做这两个图形的 .
③轴对称的性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称 ，对应线段 ，对应角
◎2.情景引入
观察下面两组图形，图（1）经过怎样的运动变化就可以与图（2）重合？你还能举出一些类似的例子吗？与同伴交流.
我们学习了旋转的定义与性质，如果把一个图形绕某点旋转180°，这样的图形运动又有什么特点呢？下面我们一起来探讨．
新知自研：自研课本第94--96页的内容．
【学法指导】
自研课本P94-96页例题上面的内容，思考：
●探究一：中心对称及其性质
◆1.讨论交流
观察下列图形的运动，说一说它们有什么共同点.


◆2.新知归纳
中心对称的定义：
如果把 图形绕着某一点旋转 ,它能够和 图形重合，那么就说这两个图形关于这个点 或 ，这个点就叫做它们的 .
如图，△ABC与△A′B′C′成中心对称，点 是它们的对称中心.
注意：①只有 对称中心；②中心对称是一种特殊的旋转，旋转角必须是 ；③是两个图形特殊的位置关系，且旋转后能够重合.
◆3.练一练
下列各组图形中,△A'B'C'与△ABC成中心对称的是( )
◆4.讨论交流
(1)自己画一个图形,选取一个旋转中心,把所画的图形绕旋转中心旋转180°.
(2)连接旋转前后一组对应点,你发现了什么？再选几组对应点试一试.
◆5.归纳总结
中心对称的性质：
1.成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心 .（即对称点与对称中心三点共线）
2.成中心对称的两个图形是 图形.
◆6.新知探究
例：如图，点O是线段AE的中点，以点O为对称中心，画出与五边形ABCDE成中心对称的图形.
◆7.操作思考
如图，已知△ABC与△A′B′C′中心对称，找出它们的对称中心O.
方法一：根据观察，B、B′应是对应点，连接BB′，用刻度尺找出BB′的中点O，则点O即为所求（如图）.
方法二：根据观察，B、B′及C、C′应是两组对应点，连接BB′、CC′，BB′、CC′相交于点O，则点O即为所求（如图）.
注意：如果限制只用直尺作图，我们用方法二.
◆8.练一练
如图所示的图形是中心对称图形,则其对称中心是( )
A.点C B.点D
C.线段BC的中点 D.线段FC的中点
●探究二：中心对称图形
◆1.观察交流
观察下列图形，它们有什么共同特征？你还能举出一些类似的图形吗？
共同特征：绕某一点旋转180°后能与原来图形重合.
◆2.知识归纳
中心对称图形的定义:
把 图形绕某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与 的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点叫作它的对称中心.
注意：中心对称图形是指 图形的特殊性质.
中心对称图形的性质：对称点的连线都经过 ，并且被 .
◆3.练一练
观察下列四个平面图形，其中中心对称图形有( )
◆4.观察思考
(1)观察你所学过的平面图形，哪些图形是中心对称图形？
中心对称与中心对称图形有什么区别与联系？
(2)在上面例题中，图形ABCDEB′C′D′是中心对称图形吗?
◆5.知识归纳
中心对称与中心对称图形的区别与联系:
区别：
中心对称是指 全等图形的位置关系；
中心对称图形是指 图形本身中心对称.
联系：
如果将中心对称的两个图形看成 ，则它们是中心对称图形.
如果将中心对称图形对称的两部分看成 ，则它们成中心对称.
【例题导析】
自研下面的例1和例2的内容，回答问题：
例1 如图所示,在正方形网格中,△ABC的顶点都在格点上,请仅用无刻度的直尺完成以下作图(保留作图痕迹).
(1)在图①中,作△ABC关于点O对称的△A'B'C';
(2)在图②中,作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后,顶点仍在格点上的△AB'C'.
例2 如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB＝2，BC＝3，试求图中阴影部分的面积．
第二环节 合作探究
小组群学
在小组长的带领下：
A.中心对称与中心对称图形的性质，以及它们的区别与联系；
B.交流例题的已知的条件和所求问题，理清解题思路，关注解题格式，拓展菱形面积的公式.
C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定.
1．下列图形是中心对称图形的是( )
2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
3. 下列说法正确的是( )
A.关于某个点成中心对称的两个三角形全等
B.两个全等三角形一定关于某个点成中心对称
C.中心对称图形也是轴对称图形
D.轴对称图形也是中心对称图形
4.如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线分别交AD,BC于E,F两点，则阴影部分的面积是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5.如图，已知△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称图形，则下列判断不正确的是（ ）
A.∠ABC=∠A'B'C' B.∠BOC=∠B′A′C′
C.AB=A′B′ D.OA=OA′
6.如图，将△ABC绕点C（0，-1）旋转180°得到△A'B'C'，设点A的坐标为（a，b），则点A'的坐标为（ ）
A. （-a，-b） B.（-a，-b-1）
C.（-a，-b+1） D.（-a，-b-2）
7.如图是4×4的正方形网格，把其中一个标有数字的白色小正方形涂上阴影，就可以使图中的阴影部分构成一个中心对称图形，则这个白色小正方形内的数字是______.
8.如图所示，在Rt△ABC中，斜边AB的长为83 cm，直角边BC的长为12 cm.若扇形CAE与扇形DBE关于点E对称，则图中阴影部分的面积是______.
9.如图所示，在平面直角坐标系中，画出△ABC关于原点O成中心对称的△A'B'C'.
10.如图所示,正方形ABCD与正方形A1B1C1D1关于某点对称.已知A,D1,D三点的坐标分别是(0,4),(0,3),(0,2).
(1)求对称中心的坐标;
(2)写出顶点B,C,B1,C1的坐标.
11.如图所示,△ABO与△CDO关于点O中心对称,点E,F在线段AC上,且AF=CE.求证:DF=BE.
题型一：中心对称的概念和性质
1.下列各组图形中，△A'B'C'与△ABC成中心对称的是（ ）
A．B．
C．D．
2.如图，两个五角星关于某一点成中心对称，则对称中心和点A的对称点是（ ）
A．A和HB．I和EC．E和FD．E和I
3.若两个图形成中心对称，则下列说法：
①对应点的连线必经过对称中心；
②这两个图形的形状和大小完全相同；
③这两个图形的对应线段一定相等；
④将一个图形绕对称中心旋转某个角度后必与另一个图形重合．
其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
题型二 利用中心对称的性质作图
4.如图，在方格网中已知格点△ABC和点O．画△A′B′C′和△ABC关于点O成中心对称．
5.如图所示，△ABC的顶点与点O在8×8的网格中的格点上．
（1）画出△ABC关于点O对称的△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕点C逆时针旋转90°得到的△A2B2C2．
6.如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，已知格点△ABC（顶点是网格线的交点）和格点O．
（1）画出△ABC关于点O成中心对称的△A1B1C1；
（2）将（1）中的△A1B1C1向上平移2个单位得到△A2B2C2，画出△A2B2C2．
题型二 中心对称图形的概念
7.下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B．C．D．
8.习近平主席在2022年新年贺词中提到“人不负青山，青山定不负人”一语道出“人与自然和谐共生”的至简大道．下列有关环保的四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
9.围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．一棋谱中四部分的截图由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ）
A．B．
C．D．
题型四 中心对称图形的性质
10.如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，则BB′的长为 ．
11.如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，且DE＝BF，连接AF，CE，求证：四边形AECF是中心对称图形．
12.如图，已知△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称，△ABE与△DCE关于点E成中心对称，点E，D，M都在线段AF上，BM的延长线交CF于点P．
（1）求证：AC＝CD；
（2）若∠BAC＝2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．
13.如图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC与△FEC关于点C成中心对称，连接AE，BF．
（1）线段AE与BF有怎样的位置关系和大小关系？说明你的理由；
（2）如果△ABC的面积为3cm2，求四边形ABFE的面积；
（3）当∠ACB为多少度时，四边形ABFE为矩形？说明你的理由．
题型五 平面直角坐标系中的中心对称图形
14.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（3，4），C（4，0）．
（1）请画出将△ABC向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）请画出与△ABC关于原点对称的△A2B2C2；
（3）直接写出B1，B2两点的坐标．
15.如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（3，2）、B（2，0）、C（1，3）．
（1）将△ABC先向左平移4个单位，再向上平移1个单位得到△A1B1C1，在图中画出△A1B1C1；
（2）在图中作出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2．
16.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，0）B（﹣4，1），C（﹣2，2）．
（1）直接写出点B关于原点对称的点B'的坐标： ．
（2）直接写出△ABC的面积：S△ABC＝ ．
（3）平移△ABC，使平移后点A的对应点A1的坐标为（2，1），请画出平移后的△A1B1C1．
（4）画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2．
▲1、中心对称的定义：
如果把 图形绕着某一点旋转 ,它能够和 图形重合，那么就说这两个图形关于这个点 或 ，这个点就叫做它们的 .
▲2、中心对称图形的定义:
把 图形绕某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与 的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点叫作它的对称中心.
▲3、中心对称的性质：
①成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心 .（即对称点与对称中心三点共线）
②成中心对称的两个图形是 图形.
▲4、 中心对称图形的性质：对称点的连线都经过 ，并且被 .