初中数学人教版（2024）七年级下册（2024）实数及其简单运算同步测试题

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知识点一 无理数
1．(25-26七下·山东东营广饶县乐安中学·月考)在，，，，，3.14，（每两个2之间1的个数逐次增加1）这些数中，无理数的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
2．(25-26七下·浙江嘉兴清华附中嘉兴实验学校·期中)在，，，，（每两个5之间依次增加1），中，无理数的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．(25-26七下·浙江杭州萧山区高桥初级中学教育集团·期中)实数（两个1之间依次多一个0），其中无理数的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．(25-26七下·浙江杭州上城区丁兰实验学校·期中)在，这四个数中，无理数是（ ）
A．B．C．3.14159D．
知识点二 无理数的大小估算
1．(25-26七·浙江金华义乌苏溪镇苏溪初级中学·期中)如图，被阴影覆盖的可能是下面哪一个数（ ）
A．B．C．D．以上都不对
2．(24-25七下·四川内江隆昌黄家镇桂花井初级中学·月考)如图，若数轴上的点，，，，分别表示数，，，，，则表示的点应在线段（ ）
A．线段上B．线段上
C．线段上D．线段上
3．(25-26七下·浙江杭州滨文中学·期中)估计的值是（ ）
A．在1和2之间B．在2和3之间C．在3和4之间D．在4和5之间
4．(25-26七下·河北石家庄新乐·期中)若，且是两个连续的整数，则的立方根是（ ）
A．B．C．D．
知识点三 实数
1．(24-25七·第2章实数专题演练综合训练-·)下列说法正确的是（ ）
A．正实数和负实数统称实数B．正数、和负数统称有理数
C．带根号的数和负数统称实数D．无理数和有理数统称实数
2．下列命题：①无理数都是实数；②实数都是无理数；③无限小数都是无理数：④带根号的数都是无理数；⑤不带根号的数都是有理数，其中错误的命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．(20-21七下·广东揭阳普宁桥柱中学·期末)下列说法正确的是（ ）
A．负数没有立方根B．是无理数
C．无理数包括正无理数、负无理数和零D．实数和数轴上的点是一一对应的
4．(20-21七下·河南南阳第三中学·期中)2020年3月14日，是全球首个“国际圆周率日（πDay）”．国际圆周率日之所以定在3月14日，是因为“3.14”是与圆周率数值最接近的数字．祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第7位的中国古代科学巨匠，该成果领先世界一千多年．以下关于“圆周率”的四个命题，错误的是（ ）
A．圆周率是一个大于3而小于4的无理数
B．圆周率是一个近似数
C．圆周率是一个与圆的大小无关的常数
D．圆周率等于该圆的周长与直径的比值
知识点四 实数的分类与性质
1．在实数，，，，，，中，有理数的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
2．(25-26七下·上海黄浦区·期中)下列说法正确的是（ ）
A．实数可分为有理数和无理数
B．的平方根是
C．数轴上的点与有理数一一对应
D．无理数与无理数的和一定是无理数
3．(25-26七下·江苏南京浦口区明道中学·月考)实数2023的相反数是（ ）
A．B．2023C．D．
4．(24-25七下·广西百色县级·期中)实数的绝对值是（ ）
A．B．C．D．
5．(23-24七下·广东梅州兴宁宋声学校·月考)化简的值为（ ）
A．B．C．D．
知识点五 实数与数轴
1．(25-26七下·湖北襄阳高新外国语学校·期中)实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．实数在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数满足，则的值可以是（ ）
A．B．C．D．
3．(25-26七下·河北唐山乐亭县·期中)如图，数轴上的A，B，C，D四个点中，表示的点是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
4．(25-26七下·广西南宁第四十七中学·期中)实数、在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．(24-25七下·甘肃/武威古浪县第四中学·期中)如图，点，，在数轴上分别表示实数，，，则下列式子正确的是( )
A．B．C．D．
6．(24-25七下·贵州贵阳第二十一中学教育集团·月考)如图，数轴上点为线段的中点，，两点表示的数分别为和，则点所表示的数为 ．
7．(25-26七下·浙江温州鹿城区·期中)将一把刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是），数轴上点A对应刻度尺上的“2”，数轴上的点B对应刻度尺上“4”，面积为的正方形其中一个顶点落在点B处，以点B为圆心，以正方形边长为半径作圆交数轴于点
（1）点C在刻度尺上对应的数为 ；
（2）若点A与点C所表示的数是一对相反数，则点B在数轴上所对应的数为 ．
8．(22-23七下·浙江宁波余姚梨洲中学·期中)如图，正方形的面积为7，顶点在数轴上表示的数为1，若点在数轴上（点在点的左侧），且，则点所表示的数为
9．(25-26七下·四川眉山东坡区思蒙初中共同体学校·期中)实数a，b在数轴上对应点A，B的位置如图，化简 ．
10．(25-26七上·山西朔州右玉县教育集团初中部·月考)如图，直径为1个单位长度的圆从点沿数轴向右滚动（无滑动）一周到达点．若点对应的数是，则点对应的数是 ．（用含的式子表示）
11．(2023·陕西省咸阳市兴平市·模拟)实数、在数轴上对应点的位置如图所示，则 ．(填“”“”或“”)
12．(25-26七下·云南曲靖麒麟区四中教育集团·期中) ．
13．(25-26七下·浙江杭州萧山区高桥初级中学教育集团·期中)观察图，每个小正方形的边长均为．可以得到每个小正方形的面积为．

(1)图中阴影正方形的面积为_____，阴影正方形的边长为_____．
(2)阴影正方形的边长介于两个相邻整数_____和_____之间．
(3)利用图1，请利用刻度尺和圆规在数轴上准确地表示出阴影正方形的边长所表示的数以及它的相反数．
(4)请在图2的的方格内作出边长为的正方形．
14．(25-26七下·浙江温州鹿城区·期中)在数轴上表示下列各数（无理数近似表示），并用“”连接．
0，，，
________________________．
15．(25-26七下·浙江温州苍南县·期中)观察图形，以下每个小正方形的边长均是1．
(1)如图1，则阴影正方形的面积是________，阴影正方形的边长是________．
(2)如图2，由题（1）的解题思路和方法，借助直尺和圆规工具在数轴上准确描出点P表示数，并保留作图痕迹．
16．(25-26七下·河北唐山乐亭县·期中)如图，一只蚂蚁从点沿数轴向左爬了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为．
(1)实数的值是 ；
(2)求的值；
(3)在数轴上还有两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的立方根．
17．(25-26七下·江苏连云港灌南县·期中)如图，将面积分别为10和5的正方形纸片的一条边落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处．
(1)点A表示的数为_________；点B表示的数为_________．
(2)请你阅读以下材料，并完成作答：
，
．
的整数部分为2，小数部分．
根据以上材料可得点所表示数的整数部分为_________，小数部分为_________．
(3)已知是整数，，且，求的值．
知识点六 实数的大小比较
1．(25-26七下·广东普宁培青中学·期中)四个实数0；；；3中，最小的数是（ ）
A．0B．C．D．3
2．(25-26七下·重庆第一中学校·期中)在，0，，π这四个数中，最大的数是（ ）
A．B．0C．D．π
3．(25-26七下·浙江杭州西湖区五校联考·期中)下列四个数：2，，，，其中最小的数是（ ）
A．2B．C．D．
4．(25-26七下·河北邢台襄都区邢台英华教育集团·期中)与的关系是（ ）
A．相等B．互为相反数C．互为倒数D．积为
知识点七 实数的混合运算
1．下列各式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．(25-26七下·浙江台州玉环·期中)下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．(24-25七下·青海海西蒙古族藏族格尔木第四中学·期中)的平方根是（ ）
A．B．C．D．
4．(24-25七下·海南文昌·期末)下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．(25-26七下·黑龙江绥化海伦第十中学·月考) ．
6．(25-26七下·重庆忠县花桥镇初级中学校等校联考·月考)计算 ．
7．(24-25七下·重庆育才中学校·期末)计算： ．
8．(24-25七·广东东莞大朗第一中学·期中) ．
9．(25-26七下·云南红河州开远第十一中学校·期中)计算：．
10．(25-26七下·黑龙江绥化绥棱县第五中学·月考)计算：
(1)；
(2)．
11．(25-26七下·浙江杭州萧山区高桥初级中学教育集团·期中)计算：
(1)；
(2)．
12．(25-26七下·浙江宁波曙光中学·期中)计算：
(1)；
(2)．
知识点八 程序设计与实数运算
1．(20-21七下·辽宁沈阳和平区·期末)按如图所示的程序计算，若开始输入的值为9，则最后输出的y值是（ ）

A．B．C．3D．
2．(25-26七下·浙江杭州拱墅区·期中)按如图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的值是（ ）

A．B．C．D．
3．(25-26七下·上海进才中学北校·月考)一个数值转换器，流程如图，当输入x的值为64时，输出的值是（ ）
A．2B．C．D．
4．(25-26七下·2·月考)如图是小明用计算机设计的计算小程序，当输入为时，输出的值是（ ）

A．B．C．D．
5．(24-25七下·浙江杭州拱墅区观成武林中学·开学考)有一个数值转换器原理如图．
(1)当时，y是多少？
(2)输入的x能是任何实数吗？为什么？
(3)是否存在这样的x的值，输入计算后始终在进行循环计算而输不出y的值？如果存在，请写出所有x的值；如果不存在，请说明理由；
(4)若输出的y是，试判断输入的x值是否唯一？若不唯一，请写出其中的两个．
6．(24-25七下·江苏南通通州区·期末)一个数值转换器如图所示：
(1)当输入的值为25时，输出的的值是________；
(2)若输出的值是，试写出两个满足要求的的值：________；
(3)若输入（为非负数）值后，始终输不出的值，请直接写出所有满足要求的的值．
7．(24-25七下·北京第五中学分校·期中)如图是一个数值转换器（）
(1)当输入的x为时，输出的y值是______；
(2)若输入实数x后，始终输不出y值，则所有满足要求的x的值为______；
(3)若输出的y是，求x的负整数值．
知识点一 无理数整数部分的有关计算
1．(25-26七下·浙江杭州拱墅区文澜中学·期中)【阅读理解】大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
【解决问题】
(1)的整数部分是______，小数部分是______；
(2)，n分别是的整数部分和小数部分，求的值；
(3)若，其中x是整数，且，则的值是______（直接写出）．
2．(25-26七下·浙江金华义乌丹溪中学·期中)在学习《实数》内容时，我们通过“逐步逼近”的方法可以计算出的近似值，得出．利用“逐步逼近”法，请回答问题：
(1)如果的小数部分为的整数部分为b，求的值；
(2)已知：，其中x是整数，且，求的值．
3．(25-26七下·浙江杭州萧山区城区八校·期中)已知3是的平方根，是的立方根，是的整数部分，
(1)求，，的值；
(2)求的平方根．
4．(25-26七下·浙江温州苍南县·期中)通过学习我们知道无理数是个无限不循环小数，例如：，即，的整数部分是2，小数部分是．请完成下面问题：
(1)的整数部分是________．
(2)若设的小数部分为x，求的值．
5．(25-26七下浙江金华金东区·期中)阅读理解：我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部写出来，小乐同学用来表示的小数部分，并给出了理由：因为，所以，则的整数部分为1，小数部分为，事实上，小乐同学的方法是正确的，请解答：
(1)的整数部分是_____，小数部分是______．
(2)若的整数部分是，小数部分是，求的值．
6．(25-26七下·山东济南莱芜区·期中)已知的平方根是，的立方根是2．
(1)求的算术平方根；
(2)是的整数部分，求的立方根．
7．(25-26七下·浙江宁波镇海区仁爱中学·期中)任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之间，，是因为，由此可以求无理数的整数部分与小数部分：根据上述信息，回答下列问题：
(1)的整数部分是______，小数部分是______；
(2)若，则的整数部分是______；小数部分可以表示为______；
(3)在（2）的基础上，则的小数部分可以表示为______．
8．(25-26七下·浙江嘉兴海盐县·期中)如图，网格由25个边长为1的小正方形组成，网格中有一个阴影正方形（顶点都在格点上）．若点A表示的数为．
(1)图中正方形的边长为多少？
(2)若正方形的边长的值的整数部分为x，小数部分为y，求的值．
(3)若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，如图所示，我们把点B第一次落在数轴上的点记为点P，数轴上与点P距离最近的整数点记为点Q，求P，Q两点之间的距离．
9．(25-26七下·浙江初中名校发展共同体·期中)阅读下列材料：
通过探究知道：，它是个无限不循环小数，也叫无理数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，又例如：因为，即，所以的整数部分是2，小数部分是．
根据上述材料请回答以下问题：
(1)比较与4的大小；
(2)已知是的整数部分，是的小数部分，求的值；
(3)如果的整数部分为，的整数部分为，求的立方根．
知识点二 新定义下的实数运算
1．(25-26七下·湖南衡阳成章实验中学·期中)在实数范围内定义运算“※”：，例如：．
(1)根据以上规定计算：______；_____；
(2)若，求的值．
2．(25-26七下·辽宁铁岭调兵山·月考)定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数374，因为，所以它是“极差数”．
【理解定义】
（1）三位数265、473、683是“极差数”的是_____．
（2）最小的“极差数”是_____
【建模推理】
（3）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为、、，则与、的关系式为_____；
（4）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？
3．(25-26七下·江苏淮安淮安经济技术开发区开明中学·期中)阅读理解，并完成下列各题：对于数轴上任一点P，把与点P相距个单位长度的两点所表示的数分别记作x和y（其中），并把x、y这两个数叫做“点P关于a的对称数组”，记作．例如：原点O表示数0，原点O关于1的对称数组是．
(1)点A表示的数为，则______；
(2)如果，那么点P表示的数是_____，a的值是_____；
(3)如果点P、Q是数轴上的两个动点，，（其中，）．两点同时从原点出发反向运动，当时，求点P、Q之间的距离．
4．(25-26七下·浙江杭州江南实验学校·期中)我们给出如下规定：如果两个实数的和是8，那么称这两个实数互为“吉祥数”．
(1)下列各数对①5和3；②和13；③和46中，互为“吉祥数”的数对有_________．（只填写序号）
(2)若一个实数的“吉祥数”是，求这个实数；
(3)在数轴上，点到原点的距离是8，请直接写出点表示的数的“吉祥数”．
知识点三 实数运算的实际应用
1．(25-26七下·浙江宁波慈溪中部区域联考·期中)如图所示，已知正方形和正方形的边长分别为和3．
(1)三角形的面积为： ；（结果保留根号）
(2)求出图中阴影部分的面积．（结果保留根号）
2．(24-25七下·江西赣州经开区·期末)如图，在长方形内，两个正方形的面积分别为，．
(1)求长方形的周长；
(2)图中两块阴影部分的面积之和为_________．
3．(24-25七下·青海海东互助县第三片区·期中)我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中、为有理数，为无理数；那么必然有，且，据此，解决下列问题．
(1)如果，其中、为有理数，则___________，___________；
(2)如果，其中、为有理数，求的平方根．
4．请阅读下面材料，并完成相应的任务．
设是有理数，且满足，求的值．
解：由题意，得．
因为都是有理数，
所以也是有理数．
因为是无理数，
所以，即，
所以．
根据阅读材料，解决问题：
设都是有理数，且满足，求的值．
知识点四 与实数运算相关的规律题
1．(七下·安徽定远县·月考)观察下列等式：
等式1：；等式2：；等式3：
(1)猜想验证：根据观察所发现的特点，猜想第4个等式为 ，第10个等式为 ；
(2)归纳猜想：用含的式子表示第个等式所反映的运算规律为 ．
2．(20-21七·安徽·)观察下列等式，并回答下列问题：
①；
②；
③；
④；
(1)请写出第⑤个等式：_______；计算_______．
(2)写出你猜想的第n个等式：_______（用含n的式子表示）．
(3)比较与1的大小．
3．(25-26九·安徽淮南高新区山南第十一中学·模拟)先观察下列等式，再回答问题：
①；
②；
③；
(1)根据上面三个等式，请猜想的结果（直接写出结果）
(2)根据上述规律，解答问题：
设+···+，求不超过m的最大整数是多少？
4．(24-25七·衔接作业（2）实数-·)观察下列两组算式，解答下列问题第一组：．
第二组：．
(1)由第一组可得结论：对于任意实数a，有______；
(2)由第二组可得结论：当时，______；
(3)利用（1）（2）的结论计算：
______；______．
当时，计算的值．
1．(25-26七下·江苏宿迁钟吾国际学校·期中)观察下列各式：定义一种新运算“”：
，，
，，
，……
(1)写出一般性结论： ；
(2)计算：
(3)若．求的值．
2．(25-26七下·河南洛阳洛龙区·期中)【概念学习】规定：求若干个相同的非零有理数的除法运算叫做除方，比如，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作读作“的圈4次方”．一般地，把记作，读作“a的圈n次方”．特别地，规定．
(1)【初步感知】
①直接写出计算结果： ______，______；
②比较大小：______（比较大小，填“＞”，“＝”或“＜”）
(2)【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？方法如下：
除方→→乘方的形式
①仿照以上例子，把除方运算直接转化为幂的形式：______；
②再多举几个例子，试一试，并观察归纳，可总结出转化成幂的形式为______．
【拓展应用】计算：．
3．(25-26七下·江西上饶余干县沙港初级中学联考·期中)课本再现
（1）设n表示任意一个整数，用含n的代数式表示：除以3余数为1的整数．
拓展延伸
（2）对于大于1的正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m：若余数为0，则；若余数为1，则；若余数为2，则．这种得到m的过程称为对n进行一次变换．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换．例如，正整数，根据4除以3的余数为1，由知，对4进行一次变换得到的数为8，根据8除以3的余数为2，由知，对4进行二次变换得到的数为9．
①对正整数7进行一次变换，得到的数为______；对正整数进行二次变换，得到的数为______．
②若对大于1的正整数n进行二次变换得到的数为2，求所有满足条件的n的值之和．
4．(25-26七下·吉林东北师范大学附属中学·月考)【概念学习】
我们知道：求几个相同加数的和的简便运算是乘法，也可以叫做连加．
例如：，
类似地，求若干个相同的有理数的减法运算叫做连减，例如，记作．
一般地，把个连减记作，（为整数，且）
【初步探究】直接写出计算结果：______，______；______；
【深入思考】：我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，相同加数的加法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的连减运算如何转化为乘法运算呢？
例如：，
(1)试一试：将下列连减运算直接写成两数相乘的形式．
______，______，______（为整数，且）
算一算：
5．(25-26七下·浙江绍兴诸暨实验初级中学·期中)对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，．
（）仿照以上方法计算： ； ．
（）若，写出满足题意的的一个整数值 ．
如果我们对连续求根整数，直到结果为为止．例如：对连续求根整数次
，这时候结果为．
（）对连续求根整数， 次之后结果为．
（）只需进行次连续求根整数运算后结果为的所有正整数中，最大的是 ．
6．(25-26七下·浙江宁波宁海县·期中)（1）【问题探究】，______，，______；
（2）【问题拓展】探究的近似值，如下表．
小明通过上表探究得______（精确到）；所以的整数部分是4，可是的小数部分是无限不循环的，聪明的小明将的小数部分写成______．
（3）【问题应用】已知，其中为正整数，，求的值．
……
……