初中数学人教版（2024）七年级下册（2024）立方根课时练习

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知识点一 立方根的概念
1．下列说法中正确的是（ ）
A．没有立方根B．1的立方根是
C．的立方根是D．的立方根是
【答案】C
【分析】本题考查了求一个数的立方根，根据的立方根是，的立方根是，的立方根是，进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、的立方根是，原说法不正确，故该选项不符合题意；
B、1的立方根是，原说法不正确，故该选项不符合题意；
C、的立方根是，原说法正确，故该选项符合题意；
D、的立方根是，原说法不正确，故该选项不符合题意；
故选：C．
2．有如下命题：①负数没有立方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0．其中错误的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①②③④D．①③④
【答案】B
【分析】本题主要考查了立方根的定义和性质，解题的关键是掌握立方根的定义．
利用立方根的定义和性质逐项进行判断即可．
【详解】解：①根据立方根的定义，负数有立方根，该选项错误，符合题意；
②0的立方根是0，0既不是正数也不是负数，该选项错误，符合题意；
③该选项正确，不符合题意；
④的立方根是，该选项错误，符合题意；
故错误的选项为①②④，
故选：B．
3．(24-25七·第2章实数专题演练综合训练-·)的立方根是（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】D
【分析】本题考查立方根的概念：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，即，那么x叫做a的立方根.根据立方根的定义求值，对照选项即可．
【详解】解：∵，
∴的立方根是，
故选：D．
4．(七下·陕西富平县蓝光中学·月考)如果一个数的立方根是它本身，那么这个数是（ ）．
A．1、0B．C．0D．1、、0
【答案】D
【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的意义是解答本题的关键．如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x就叫做a的立方根；正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0．
根据立方根的定义作答即可．
【详解】∵，，，
∴立方根等于本身的数是，1，0．
故选D．
知识点二 求一个数的立方根
1．(25-26七下·山东东营广饶县乐安中学·月考)已知的算术平方根是，的立方根是，则的值为（ ）
A．3B．5C．3或7D．5或7
【答案】B
【分析】本题考查了算术平方根和立方根的意义．
先计算的值，再求其算术平方根得到；计算的值，再求其立方根得到；最后求．
【详解】解：∵，
∴，
∵的算术平方根是，
∴．
∵的立方根是，，
∴．
∴．
故选B．
2．(25-26七下·河北石家庄长安区·期中)若实数a，b满足，则的立方根为（ ）
A．2B．C．D．8
【答案】A
【分析】本题考查非负数的性质和立方根的计算，注意正数的立方根是正数．
根据非负数的性质，平方根和平方项均非负，和为零则每个部分为零，从而求出 a 和 b 的值，再计算 并求其立方根．
【详解】解：∵， ，且，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵8的立方根为2，
∴的立方根为2．
故选：A．
3．(25-26七下·广东深圳宝安中学集团·期中)的立方根是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了立方根的概念，掌握立方根的概念是解题的关键．
根据立方根的概念，求立方根逐一验证选项即可．
【详解】解：，
的立方根是．
故选：A．
4． 的值是（ ）
A．2B．C．D．无意义
【答案】B
【分析】本题考查了立方根，
根据立方根的定义，求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ．
故选B．
5．(25-26七下·四川成都·期中)若一个数的平方根是，则这个数的立方根是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查平方根定义、立方根定义，熟记平方根定义及立方根定义是解决问题的关键．
根据平方根的定义，平方根为的数是25，再求25的立方根即可得到答案．
【详解】解：∵ 一个数的平方根是，
∴ 这个数为，
∴ 这个数的立方根为，
故选：A．
6．(25-26七下·河北石家庄第九中学·期中)若，则的立方根是 ．
【答案】
【分析】本题考查了非负数的性质，立方根等知识，根据非负数的性质，平方项和算术平方根项均非负，它们的和为零，则每个部分均为零，从而求出和的值，再计算并求其立方根．
【详解】解：∵，
∴ ，，
∴，，
解得，，
∴，
∴的立方根为，
故答案为：．
7．(25-26七下·浙江杭州江南实验学校·期中)若，则的立方根是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了绝对值与平方数的非负性、立方根的定义，熟练掌握“几个非负数的和为0时，每一个非负数都为0”是解题的关键．
利用绝对值和平方数的非负性，得出每一项为0，求出、的值，计算后求其立方根．
【详解】解：∵ ，，且，
∴ ，，
∴ ，，
∴ ，，
∴ ，
∵ ，
∴ 的立方根是，
故答案为：．
8．(25-26七下·陕西西安庆安初级中学·期中)已知正数m的两个不同的平方根分别为和，则的立方根为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了平方根的定义和求一个数的立方根，根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，因此它们的和为零，据此列方程求出的值，再求出，然后计算，最后求其立方根．
【详解】解：∵正数的两个不同的平方根分别为和，
∴ ，
即，
解得，
∴，
∴，
∴ ，
∴ 的立方根为，
故答案为：．
9．(25-26七下·黑龙江绥化第八中学校·期中)已知， ．
【答案】
【分析】本题考查立方根的定义，理解立方根的定义是解题的关键．因为 ，所以，即可得出答案．
【详解】解：因为 ，
所以 ；
故答案为：．
10．(25-26七下·河南驻马店泌阳县·期中)的相反数是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了立方根、相反数，先计算 的值，再求其相反数．
【详解】解： ，
，
的相反数是 ，
的相反数是．
故答案为：
11．(25-26七下·宁夏银川第二十中学·期中)若，则 ；若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了立方根和平方根的求解，解题关键是根据立方根和平方根的定义，分别对两个方程进行求解．
第一问通过移项求立方根，第二问通过直接开平方求平方根．
【详解】，
，
．
，
．
故答案为：．
12．(25-26七下湖北武汉硚口区·期中)若互为倒数，，则代数式的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了代数式求值、倒数的定义等知识点，熟练掌握各运算法则和定义是解题关键．利用倒数定义和立方根性质化简求值即可．
【详解】解：互为倒数，
，即．
，
．
．
故答案为： ．
13．(25-26七下·山东东营广饶县乐安中学·月考)解方程：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1) 或
(2)
(3) 或
(4)
【分析】本题考查了利用平方根、立方根解一元二次（三次）方程，解题的关键是通过等式变形将方程转化为平方或立方等于某数的形式，再利用平方根、立方根的定义求解．
（1）先将方程两边乘2消去系数，得到平方形式，再开平方求解；
（2）移项后得到立方形式，利用立方根定义求解；
（3）移项后得到平方形式，开平方后求解；
（4）先移项再乘3消去系数，得到立方形式，利用立方根定义求解．
【详解】（1）解：
，
．
当时，；当时，．
或．
（2）解：
，
．
∴．
（3）解：
，
．
当时，；当时，．
或．
（4）解：
∴
14．(25-26七下·河南郑州新郑·期中)已知3是的平方根，2是的立方根，c是的整数部分．
(1)求a、b、c的值；
(2)求的值．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】此题主要考查了平方根，立方根，估算无理数的大小，正确得出a，b，c的值是解题关键．
（1）直接利用平方根，立方根，以及估算无理数的大小求出a，b，c即可；
（2）把a，b，c的值代入即可求解．
【详解】（1）解：是的平方根，
，
，
，
是的立方根，
，
，
，
，而c是的整数部分，
，
，，；
（2）解：当，，时，
，
15．(25-26七下·云南丽江实验学校·期中)求下列各式中x的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)或
(2)
【分析】本题考查利用平方根定义及立方根定义解方程，熟练掌握相关定义是解题关键．
（1）根据平方根的定义即可得到答案；
（2）先移项，根据立方根的定义即可得关于的一元一次方程，解方程即可得答案．
【详解】（1）解：，
，
∴或．
（2）解：，
，
∴，
∴．
知识点三 已知立方根，求这个数
1．(25-26七下·浙江杭州西湖区五校联考·期中)9的平方根是x，y的立方根是，则的值为（ ）
A．1B．或C．D．或
【答案】D
【分析】根据平方根及立方根的定义求得x，y的值，然后代入中计算即可．
本题考查立方根，平方根，熟练掌握其定义是解题的关键．
【详解】解：的平方根是x，
，
的立方根是，
，
或，
故选：D
2．(25-26七下·福建泉州南安·期中)已知一个数的立方根是，那么这个数是（ ）
A．B．1C．0D．
【答案】A
【分析】本题考查立方根，根据立方根的定义求解即可．
【详解】解：∵立方根是，
∴这个数为，
故选：A．
3．立方根是的数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了立方根，根据立方根是的数，则，即可作答．
【详解】解：依题意，，
∴立方根是的数是，
故选：B．
4．(25-26七下·陕西汉中洋县·月考)若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，解决此题的关键是正确的理解立方根的定义；
【详解】解：∵，
∴，
故选：B．
5．(25-26七下·高效同步练习2平方根与立方根第3课时立方根-·)已知一个数的立方根是，那么这个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查的是立方根的定义，如果一个数x的立方等于a，那么x就是a的立方根，掌握立方根的定义是解题的关键． 根据立方根的定义解答即可．
【详解】解：一个数的立方根是，
这个数是，
故选：．
6．若一个数的立方根是，则这个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了根据立方根求这个数，解题的关键是掌握立方根的定义．
利用立方根的定义进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴的立方根是，
故选：C．
7．(25-26七下·上海存志学校·月考)已知 的立方根是2，的算术平方根是3． 若 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了平方根和立方根的定义，注意算术平方根和平方根的区别．根据算术平方根的定义和立方根的定义，列出关于m，n的方程，然后求值，即可求出的值．
【详解】解： 的立方根是2，
，
，
的算术平方根是3，
，
，
，
，
故答案为：．
8．(20-21七下·贵州黔西南州·期末)若，则a的值为 ．
【答案】64
【分析】本题考查立方根的定义．利用立方根的定义即可求出a的值．
【详解】解：∵，
∴．
故答案为：64
9．(23-24七下浙江宁波余姚六校·)已知的立方根是3，则 ．
【答案】5
【分析】本题考查立方根，根据立方根的定义列得方程，解得a的值即可．
【详解】解：∵的立方根是3，
∴，
解得：，
故答案为：5．
10．填空：
（1）因为，所以8的立方根是 ；因为，所以的立方根是 ；
（2）的立方根是 ，即 ；
（3）的立方根是 ；
（4）的立方根是 ；
（5） 的立方根是0；
（6）9的立方根是 ．
【答案】 2 3 3 / / 0
【分析】本题考查了立方根，掌握立方根的定义是解决问题的关键．如果一个数的立方是a，则这个数的立方根是， 根据立方根的定义即可得到结论．
【详解】解：（1）∵，
∴8的立方根是2；
，
的立方根是；
（2），
的立方根是3，即；
（3）∵，∴的立方根是；
（4）∵，∴的立方根是；
（5）∵，∴0的立方根是0；
（6）∵，∴9的立方根是 ．
故答案为：2，，3，3，，，0，．
11．(25-26七下·浙江宁波第七中学·期中)已知的算术平方根是4，的立方根等于本身，且，，互为倒数．
(1)求出，，的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】本题主要考查了根据算术平方根和立方根求原数，求一个数的平方根，倒数的定义，熟知平方根，算术平方根和立方根的定义是解题的关键．
（1）根据算术平方根的定义可求出a的值，再根据立方根是本身，且大于0的数是1可求出b的值，最后根据倒数的定义可得c的值；
（2）根据（1）所求求出的值，再根据平方根的定义求解即可．
【详解】（1）解：∵的算术平方根是4，
∴，
∴；
∵的立方根等于本身，且，
∴，
∴；
∵，互为倒数，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，
∵4的平方根为，
∴的平方根为．
12．(25-26七下·江西吉安·期中)已知的算术平方根是3，的立方根是2，
(1)求，的值．
(2)求的平方根．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查了算术平方根，立方根，平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）结合的算术平方根是3，的立方根是2，得，，解得，，即可作答．
（2）先把，代入进行计算，再求出的平方根，即可作答．
【详解】（1）解：∵的算术平方根是3，的立方根是2
∴，，
解得，
即，
解得，
（2）解：由（1）得，；
∴，
则的平方根是，
的平方根为．
13．(25-26七·专题4.2代数式的值（知识梳理题型精析同步练习）-·)3．已知正数x的两个平方根分别是和，且的立方根是．
(1)求a，b，x的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）根据平方根和立方根的定义求出a，b，x的值即可得出答案；
（2）求出代数式的值，再求它的平方根即可．
【详解】（1）解：依题意，得，
解得：，
所以，
因为的立方根为，
所以，
解得：．
（2）当，时，
，
的平方根为，
所以的平方根为．
【点睛】本题考查了已知一个数的平方根求这个数，求一个数的平方根，已知字母的值求代数式的值，已知一个数的立方根求这个数，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
14．(24-25七下·四川德阳旌阳区德阳外国语学校·期中)4．已知x的两个不同的平方根分别是和，的立方根是3．求的算术平方根．
【答案】
4
【分析】本题考查了平方根、立方根及算术平方根的定义，解题的关键是利用平方根的性质求出，利用立方根的定义求出，再计算目标代数式的算术平方根．
根据一个正数的两个平方根互为相反数列方程求的值，进而求出；根据立方根的定义列方程求出；计算的值后，求其算术平方根．
【详解】解：∵正数的两个平方根互为相反数，
∴，
解得，即a = 4，
∴．
∵的立方根是，
∴，
将代入得，
解得．
∴，
∵16的算术平方根是，
答：的算术平方根是．
15．(25-26七下·湖南衡阳第八中学教育集团·月考)5．已知的算术平方根是3，的立方根是，c是的倒数．
(1)求a，b，c的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】本题主要考查了算术平方根、平方根、立方根的定义，倒数的定义，熟练掌握算术平方根、立方根定义和倒数的定义是解题的关键．
（1）根据算术平方根、立方根的定义，以及倒数的定义即可求解、、的值；
（2）先将（1）中求得的、、的值代入计算出结果，再根据平方根的定义求出该结果的平方根．
【详解】（1）解：的算术平方根是，
，即，
；
的立方根是，
，
把代入得：，即，
；
c是的倒数，
，
综上，，，；
（2）解：把，，代入，
，
，
的平方根是，
即的平方根是．
知识点四 立方根的实际应用
1．(25-26七下·浙江温州瑞安·期中)把一个长、宽、高分别为，，的长方体铁块锻造成一个立方体铁块．锻造成的立方体铁块的棱长是多少厘米？
【答案】锻造成的立方体铁块的棱长是厘米
【分析】本题考查了立方根的应用，把一个长、宽、高分别为，，的长方体铁块锻造成一个立方体铁块，这个过程体积不发生变化，据此进行列式计算，即可作答．
【详解】解：设锻造成的立方体铁块的棱长是厘米，
∵把一个长、宽、高分别为，，的长方体铁块锻造成一个立方体铁块，
∴，
即，
解得，
∴锻造成的立方体铁块的棱长是厘米．
2．(20-21七下·黑龙江佳木斯抚远·期中)已知甲、乙两个正方体纸盒，甲纸盒棱长为，乙纸盒体积比甲纸盒体积大，求乙纸盒的棱长．
【答案】乙纸盒的棱长为
【分析】本题主要考查了立方根的应用，设乙纸盒的棱长为，根据乙纸盒体积比甲纸盒体积大列出方程，根据立方根求出方程的解即可．
【详解】解：设乙纸盒的棱长为，根据题意得：
，
，
，
，
答：乙纸盒的棱长为．
3．(23-24七下·安徽滁州金太阳中学·月考)如图，这是一个体积为的正方体铁块．
(1)求这个铁块的棱长．
(2)现在工厂要将这个铁块熔化，重新锻造成两个棱长为的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为，求长方体铁块的底面正方形的边长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了立方根与算术平方根的应用，熟练掌握立方根与算术平方根的性质是解题关键．
（1）根据正方体的体积公式可得这个铁块的棱长为，计算立方根即可得；
（2）设长方体铁块的底面正方形的边长为，根据熔化前后的体积不变建立方程，再利用平方根解方程即可得．
【详解】（1）解：∵这个正方体铁块的体积为，
∴这个铁块的棱长为，
答：这个铁块的棱长为．
（2）解：设长方体铁块的底面正方形的边长为，
由题意得：，
解得或（不符合题意，舍去），
答：长方体铁块的底面正方形的边长为．
4．(23-24七下·广东佛山南海区九江镇·)某农户原计划利用现有的一面墙，再修三面墙，建造如图所示的长方体池塘，用来培育鱼苗，长方体池塘长、宽、高．后听从建筑师的建议改为建造等体积的正方体池塘，则待建的三面墙的总长度是多少（不考虑墙的厚度）？
【答案】待建的三面墙的总长度是．
【分析】本题考查了立方根的应用，掌握长方体和正方体的体积公式是解题关键．根据题意求出长方体的体积，进而求出建造后等体积的正方体池塘的长，即可求解．
【详解】解：长方体池塘长、宽、高，
长方体池塘的体积为，
建造后等体积的正方体池塘的长为，
待建的三面墙的总长度是．
5．（1）一个正方体形状的木箱容积是，求这个木箱的棱长．（结果精确到）．
（2）一个篮球的体积是，求这个篮球的半径．（球体积公式为取3.14，结果精确到）
【答案】（1）这个木箱的棱长约；（2）这个篮球的半径约
【分析】本题考查了立方根的应用，解题的关键是能根据题意得出方程．
（1）设这个正方体木箱的棱长为，由题意得出方程，求出即可．
（2）设这个篮球的半径为，由题意得出方程，求出即可．
【详解】解：（1）设这个木箱的棱长为，
则，
解得．
答：这个木箱的棱长约．
（2）设这个篮球的半径为，
根据题意，得，
解得．
答：这个篮球的半径约．
6．(24-25七下·河北廊坊第六中学·月考)实验课上，张老师拿出一块体积为的正方体金属块，并提出了两个问题：
(1)这个正方体金属块的棱长是多少？
(2)张老师将这个金属块熔化后，倒入一个底面是正方形的长方体容器中（容器壁厚度可忽略不计），重新铸造成长方体，测得重新铸造的长方体的高为，求这个长方体容器的底面边长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的应用，熟练掌握平方根和立方根定义，是解题的关键．
（1）根据正方体体积公式求出正方体金属块的棱长即可；
（2）先求出长方体容器的底面积，再求出长方体容器的底面边长即可．
【详解】（1）解：∵正方体金属块的体积为，
∴这个正方体金属块的棱长为；
（2）解：重新铸造的长方体的底面积为：，
∴长方体容器的底面边长为：．
7．(24-25七下·河北秦皇岛抚宁区·期中)（1）要生产一种容积为的球形容器，这种球形容器的半径是多少分米？（球的体积公式，）
（2）一个正数有两个不相等的平方根分别是和，求和的值．
【答案】（1）9分米；（2）；
【分析】本题考查了立方根的应用，平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）理解题意，得，再解得（分米）；
（2）因为一个正数有两个不相等的平方根分别是和，故，解得，再求出的值，即可作答．
【详解】解：（1）由题意得，，
∴，
∴，
∴（分米）；
答：这种球形容器的半径是9分米；
（2）∵一个正数有两个不相等的平方根分别是和，
∴，
解得，
∴，
∴．
知识点一 与立方根有关的规律探索
1．(25-26七下·上海闵行区北桥中学·期中)已知，那么（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的小数点的移动规律是解题的关键．
根据被开方数小数点向左移动三位，则立方根小数点向左移动一位求解即可．
【详解】解：，，
∴
故选：A．
2．(25-26七下·山西临汾永和县部分学校·月考)已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查立方根与被开方数的关系，掌握这个是解题的关键．
根据立方根与被开方数的关系：被开方数的小数点每向左或向右移动三位，它的立方根也相应地向左或向右移动一位，选择即可．
【详解】解：，
．
故选：D．
3．(七下·安徽定远县·月考)如果，那么约等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查立方根的性质，一个数的小数点向左（或向右）每移动3位，其立方根也相应向左（或向右）移动1位．据此即可解答．
【详解】解：∵，
∴．
故选：A．
4．(23-24七下·湖南邵阳绥宁县第一中学·)若，，那么等于（ ）
A．57.68B．115.36C．26.776D．53.552
【答案】C
【分析】本题主要考查了立方根，根据立方根的性质：立方根中，被开方数的小数点每向右移动三个单位，它的立方根的小数点向相同的方向移动一位，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
故选：C．
5．(24-25七下·辽宁营口·期末)已知，则的值约是（ ）
A．15.11B．32.55C．70.14D．151.1
【答案】B
【分析】本题考查了立方根的应用，要注意被开方数与立方根的小数点的移动变化规律．根据被开方数小数点移动3位，立方根的小数点移动1位解答即可．
【详解】解：，
∴，
故选B．
6．(24-25七下·云南曲靖·期末)已知，，则的值约是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】题目主要考查立方根的规律探索，利用三次根号的运算性质，将被开方数分解为已知值的倍数与10的幂次相乘，从而简化计算
【详解】解：∵，而，
∴==
因此，的值约为，
故选B
7．(25-26七下·浙江杭州拱墅区文澜中学·期中)如果，，那么 ．
【答案】
【分析】本题主要考查立方根的性质，通过观察0.0237与23.7的关系，利用立方根的性质求解即可．
【详解】解：由已知条件，，且，根据立方根的性质得：
故答案为：0.2872．
8．(25-26七下·浙江宁波鄞州实验中学·期中)若，，则 ．
【答案】47.4
【分析】本题考查了立方根的计算，算术平方根的计算等，熟知立方根的性质变形是解题的关键．
根据立方根的运算法则求出，接着求出，再计算的值即可．
【详解】，
，
又，
．
故答案为：47.4．
9．(25-26七下·黑龙江绥化明水县第二中学·月考)若，则 ，若，则 ．
【答案】 12
【分析】本题主要考查了平方根、立方根的定义等知识点，掌握平方根、立方根小数点的移动规律是解题的关键．
根据平方根的移动规律，把被开方数的小数点每移动两位，结果移动一位，即可求得；根据立方根的移动规律，把被开方数的小数点每移动三位，结果移动一位，即可求得．
【详解】解：∵，
∴；
∵，
∴．
故答案为：，12．
10．(24-25七下·天津北辰区·期中)观察下表规律．
利用规律解答，若，，则 ．
【答案】
【分析】此题考查了立方根，解题的关键是根据图表找到规律，即如果一个数扩大1000倍，它的立方根扩大10倍，如果一个数缩小1000倍，它的立方根缩小10倍．
根据立方根的变化特点和给出的数据进行解答即可．
【详解】解：根据图表中的规律得，
，
故答案为：．
11．（1）填表．
（2）根据你发现的规律填写下列空格：
已知，则______，______．
【答案】，，1 ，10 ，100； ，
【分析】本题考查了立方根，与立方根有关的规律题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据表格的值，分别求出对应的立方根，即可作答．
（2）先根据，则，进行计算，即可作答．
【详解】解：（1）依题意，补充表格如下：
（2）∵，
则，，
12．(25-26七下·福建三明宁化第三中学·)据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．
你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试：
(1)由，，你能确定是几位数吗？
(2)由59319的个位上的数是9，你能确定的个位上的数是几吗？
(3)如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此你能确定的十位上的数是几吗？
(4)已知17576，103823都是整数的立方，按照上述方法，你能确定它们的立方根吗？
【答案】(1)两位数
(2)9
(3)3
(4)26；47
【分析】本题主要考查了立方根以及数的立方，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据59319大于1000而小于1000000，即可确定59319的立方根是两位数；
（2）根据一个数的立方的个位上的数就是这个数的个位上的数的立方的个位上的数，据此即可确定；
（3）根据数的立方的计算方法即可确定；
（4）根据（1）（2）（3）即可得到答案．
【详解】（1）解：因为，
所以，所以是两位数；
（2）解：只有个位数是9的立方数的个位数依然是9，所以的个位数是9；
（3）解：因为，所以，即，
所以的十位上的数是3．
（4）解：通过同样的方法可得，17576的立方根是两位数，17576的立方根的个位数字是6，十位数字是2，故17576的立方根是26；同理可得，103823的立方根是47．
13．(24-25七·第6章实数测试卷-·)阅读下面内容，并解答问题．
据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求出它的立方根．华罗庚不假思索地给出了答案，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥秘．
(1)请按照下面的分析试一试：
①由，，可知是______位数；
②由59319的个位上的数是9，可知的个位上的数是______；
③如果划去59319后面的三位319得到59，而，，由此确定的十位上的数是______；
④因此，______．
(2)求的值．
【答案】(1)①两；②9；③3；④39
(2)
【分析】本题考查了立方根的估算方法（利用立方数的位数特征、个位数字规律及范围界定十位数字），解题的关键是掌握“立方数的位数对应原数位数”“立方数个位数字与底数个位数字的唯一对应关系”“通过划去后三位数字确定底数十位数字的范围”这三个核心规律．
（1）①通过对比（1000）和（1000000）与59319的大小，确定的位数；②根据“只有个位为9的数，其立方个位为9”确定的个位数字；③划去59319后三位得59，对比（27）和（64）的范围，确定的十位数字；④综合个位与十位数字得的结果；
（2）求时，同理先判位数（对比与），再根据“个位为3的立方数对应底数个位为7”定个位，划去后三位得50，对比与定十位，最终得结果．
【详解】（1））①解：∵，，且，
∴是两位数；
故答案为：两．
②解：∵只有个位数字为9的数，其立方的个位数字为9（），且59319的个位为9，
∴的个位为9；
故答案为：9．
③解：划去59319后面三位319得59，
∵，，且，
∴的十位为3；
故答案为：3．
④解：由①知是两位数，②知其个位为9，③知其十位为3，
∴；故答案为：39．
（2）解：∵，，且，
∴，
∴是两位数；
∵只有个位数字为7的数，其立方的个位数字为3（），且50653的个位为3，
∴的个位为7；划去50653后面三位653得50，
∵，，且，
∴的十位为3；
综合得．
14．(20-21七下·河北沧州泊头第三中学·期中)观察下表：
(1)由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律：__________________；
(2)根据你发现的规律填空：已知．
则___________，___________；
若，则___________；
(3)拓展提升：
①已知，则___________；
②已知，则___________．
【答案】(1)被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位
(2)，，
(3)①；②
【分析】本题考查算术平方根、立方根定义和性质，掌握其性质是解题的关键．
（1）由于被开方数的小数点每移动两位，相应的算术平方根的小数点相应移动一位，由此即可解决问题；
（2）利用（1）中发现的规律进而分别得出各数据答案；
（3）①、②被开方数每移动三位，立方根就相应移动一位．利用此规律即可求解．
【详解】（1）解： 由表格可以发现：被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位．或者：被开方数扩大或缩小百倍，它的算术平方根就扩大或缩小十倍．
故答案为：被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位；
（2）解：∵．
∴，；
若，则，
故答案为：，，；
（3）解：①∵知，
∴，
故答案为：；
②∵，
∴，
故答案为：．
15．(24-25七下·吉林白城第三中学·月考)阅读材料：
据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出：39．你知道他是怎么快速准确地计算出来的吗？请研究解决下列问题：
(1)已知，且为整数．
，
，一定是一个两位数；
的个位数字是，
的个位数字一定是______；
划去后面的三位得，
，
的十位数字一定是______；
______．
(2)仿照上面的计算过程，请写出：______；______；______．
【答案】(1)，，
(2)，，
【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握立方根的定义，理解题目所提供的解题方法是正确解答的关键．
（1）完成题目所提供的解题过程即可；
（2）根据（1）的解题方法进行计算即可．
【详解】（1）解：已知，且为整数．
，
，一定是一个两位数；
的个位数字是，
的个位数字一定是；
划去后面的三位得，
，
的十位数字一定是；
，
故答案为：，，；
（2）解：已知，且为整数，
，
，一定是一个两位数；
的个位数字是，
的个位数字一定是；
划去后面的三位得，
，
的十位数字一定是；
，
已知，且为整数，
，
，一定是一个两位数；
的个位数字是，
的个位数字一定是；划去后面的三位得，
，
的十位数字一定是；
，
即，
；已知，且为整数，
，
，一定是一个两位数；
的个位数字是，
的个位数字一定是；
划去后面的三位得，
，
的十位数字一定是；
，
即，
故答案为：，，．
16．(24-25七下·吉林白城第三中学·月考)探索与应用，先填写下表，通过观察后再回答问题：
(1)表格中__________；__________；
(2)从表格中探究与数值变化的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知，则__________；
②已知，若，则__________；
(3)拓展：
①已知，若，用含的代数式表示．则__________；
②已知，则__________；
③已知，若，则__________．
【答案】(1)，
(2)①；②32400
(3)①；②；③
【分析】本题考查了算术平方根和立方根，注意被开方数扩大100（1000）倍，算术平方根（立方根）扩大10倍．掌握算术平方根和立方根的概念是解本题的关键．
（1）由表格得出规律，求出x与y的值即可；
（2）①根据算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，可得答案；
②根据算术平方根的被开方数扩大10000倍，算术平方根扩大100倍，可得答案；
（3）①根据立方根的被开方数缩小1000倍，立方根缩小10倍，可得答案；
②根据算术平方根的被开方数扩大1000倍，立方根扩大10倍，可得答案；
③根据立方根的被开方数缩小1000倍，立方根缩小10倍，可得答案．
【详解】（1）解：，
，
，
．
故答案为：，．
（2）①解：，
，
故答案为：．
②解：，
，
，
故答案为：．
（3）①解：，
，
，
，
，
故答案为：．
②解：，
，
故答案为：．
③，
，
，
故答案为：．
知识点二 算术平方根和立方根的综合应用
1．(25-26七下·广东梅州兴宁宋声学校·月考)已知是的算术平方根，是的立方根．
(1)求a，b的值．
(2)化简: ．
【答案】(1)
(2)2
【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根和立方根，代数求值，解题的关键是掌握算术平方根和立方根的定义．
（1）根据算术平方根和立方根的定义，列出方程求出的值，再求a，b的值即可；
（2）将a，b的值代入式子求值即可．
【详解】（1）解：根据是的算术平方根得，，
解得，
∴；
根据是的立方根得，，
解得，
∴；
（2）解：将代入得，
．
2．(24-25七下·湖北黄冈武穴·期末)已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根．
【答案】
【分析】本题考查了算术平方根、立方根和平方根的定义，求出，的值是解题关键；先根据算术平方根和立方根的根指数定义列出方程组，求解得到的值，再代入的表达式求出，最后计算的立方根．
【详解】解：由题意知：，
解得：，，
∴
∴，，
∴
∴的立方根等于．
3．(24-25七下·陕西安康紫阳县毛坝中学·期末)已知的立方根是，的算术平方根是．
(1)求，的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根及解方程，理解题意，根据题意得出方程是解题关键．
（1）运用立方根和算术平方根得出方程求解即可得；
（2）先求出代数式的值，然后计算平方根即可．
【详解】（1）解：∵的立方根是2，的算术平方根是4，
∴，，
∴，．
（2）解：当，时，，
∵9的平方根为，
∴的平方根为．
4．(24-25七下·安徽合肥肥西县大地学校·月考)已知是的立方根，是的算术平方根，求的值．
【答案】
【分析】本题考查了立方根、算术平方根，根据立方根、算术平方根的定义得出，即可求出m、n的值，进而可求出、，从而问题得解．
【详解】解：根据题意得，
解得，
∴，，
∴．
5．(24-25七下·陕西西安理工大学附属中学·月考)已知的立方根是3，的算术平方根是4．求：
(1)x，y的值；
(2)的平方根．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题主要考查算术平方根、立方根、平方根，熟练掌握算术平方根、立方根、平方根的定义是解决本题的关键．
（1）根据算术平方根、立方根的定义解决此题；
（2）根据平方根的定义解决此题．
【详解】（1）解：∵的立方根是3，的算术平方根是4
∴，．
∴，；
（2）解：由（1）得，，，
∴
，
∴的平方根为：．
6．(20-21七下·福建莆田仙游县枫亭中学·期中)李三同学遇到这样一道题目：“已知的平方根是，6是的算术平方根，求的立方根．”他费了很大的精力才做了出来，你能很快解决这个问题吗？请试一试！
【答案】的立方根为，过程见解析
【分析】本题考查了算术平方根，平方根和立方根的综合，熟练掌握算术平方根，平方根和立方根的性质是解题的关键．
根据平方根及算术平方根的定义求得a，b的值，然后将其代入中计算后根据立方根的定义即可求得答案．
【详解】解：∵的平方根是，6是的算术平方根，
∴，，
解得：，，
∴，
∴的立方根为．
1．(25-26七下·湖北武汉江岸区·期中)下列结论：
①若，则；
②小丽每小时可以制作120朵小红花，则她制作的小红花数与制作时间之间成反比例关系；
③若关于、的多项式是三次三项式，则；
④为常数，若的最大值与最小值的差为5，则．
其中正确的结论是 ．（填正确结论的序号）
【答案】
①③④
【分析】本题考查了立方根和平方根，反比例的意义，多项式次数以及绝对值的意义，熟练掌握基础知识点是解题关键；
根据立方根和平方根，反比例的意义，多项式次数以及绝对值的意义，依次对每个结论进行判断即可．
【详解】①由，得，即，所以，正确；
②设制作时间为小时，则小红花数为，小红花数与时间成正比例关系，故错误；
③多项式为三次三项式，则最高次项次数为3，即，解得，所以或；当时，多项式为，是三次二项式，不符合；当时，多项式为，是三次三项式，正确；
④当时，在时，，故最大值为，在时，，故 最小值为：，差为，得；
同理，当时，最大值与最小值的差为，得；当时，最大值与最小值的差为0，不符合，故，正确．
故答案为：①③④．
2．(22-23七下·四川南充南部县第二中学·月考)阅读理解，观察下列式子：
①；
②；
③；
④；
…
根据上述等式反映的规律，回答如下问题：
(1)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数a，b，若______，则；反之也成立．
(2)根据上述的真命题，解答问题：若与的值互为相反数，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了立方根、算术平方根的应用，解一元一次方程，观察并总结规律是解题的关键．
（1）用含、的式子表达规律即可得答案；
（2）根据题意列出一元一次方程，解方程求出的值即可,进而求得算术平方根，即可．
【详解】（1）解：由规律可得：对于任意两个有理数、，若，则，
故答案为：．
（2）解：若与的值互为相反数，则，
解得：．
∴
3．(22-23七下·安徽淮北五校联考·月考)请认真阅读下面的材料，再解答问题．
依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义．
比如：若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根；若，则叫的四次方根．
(1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义；
(2)81的四次方根为______；的五次方根为______；
(3)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是______；
(4)求的值：．
【答案】(1)若，则叫的五次方根
(2)
(3)，为任意实数
(4)或
【分析】（1）根据题意，进行作答即可；
（2）进行开方运算即可；
（3）根据定义，进行计算即可；
（4）利用四次方根解方程即可．
【详解】（1）解：五次方根的定义：若，则叫的五次方根；
（2）解：；
故答案为：；
（3）解：∵是一个数的四次方，
∴，
∴；
∴若有意义，则的取值范围是；
∵中是一个数的五次方，
∴为任意实数．
故答案为：，为任意实数；
（4）解：，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴或．
【点睛】本题考查新定义．解题的关键是利用类比法，理解四次方根和五次方根的定义．a
8
8000
8000000
2
20
200
a
1
1000
1000000
a
1
1000
1000000
1
10
100
0.0001
0.01
1
100
10000
0.01
0.1
1
10
100
1
100
10000
1
100