8.2 立方根（课件）--2024新人教版七年级数学下册课件

买合苏迪古丽·买买提托克逊县第二中学159099548808.2 立方根学习目标理解立方根的概念，能准确描述一个数的立方根的含义。掌握立方根的表示方法和计算规则，能熟练求出任意实数的立方根。了解立方根与平方根的区别和联系，明确两者的本质差异。学会运用立方根解决实际问题，感受立方根在生活中的应用价值。情境引入实际问题一个正方体的体积是 8 立方米，那么这个正方体的棱长是多少米呢？思考我们知道正方体的体积等于棱长的立方，如果设正方体的棱长为 x 米，根据题意可列出方程：x³ = 8。那么 x 的值是多少呢？因为 2³ = 8，所以 x = 2。这里的 2 就是 8 的立方根。如果正方体的体积是 - 8 立方米（仅从数学角度假设），那么棱长 x 满足 x³ = -8，此时 x = -2，-2 就是 - 8 的立方根。立方根的概念定义一般地，如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的立方根或三次方根。即如果 x³ = a，那么 x 叫做 a 的立方根。示例因为 3³ = 27，所以 3 是 27 的立方根；因为 (-3)³ = -27，所以 - 3 是 - 27 的立方根；因为 0³ = 0，所以 0 是 0 的立方根。说明与平方根不同，立方根的被开方数可以是任意实数（正数、负数或 0），且每个数都有且只有一个立方根。正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0 的立方根是 0。立方根的表示方法符号表示一个数 a 的立方根用符号 “∛a” 表示，读作 “三次根号 a”。其中 “∛” 叫做三次根号，a 叫做被开方数，“3” 叫做根指数。示例27 的立方根表示为∛27 = 3；-27 的立方根表示为∛(-27) = -3；0 的立方根表示为∛0 = 0。注意根指数 “3” 不能省略，这是与算术平方根的重要区别（算术平方根的根指数 “2” 通常省略）。例如，∛a 不能写成√a，√a 表示算术平方根而非立方根。立方根的性质正数的立方根性质：正数有一个正的立方根。即如果 a > 0，那么∛a > 0。负数的立方根性质：负数有一个负的立方根。即如果 a < 0，那么∛a < 0。0 的立方根性质：0 的立方根是 0，即∛0 = 0。立方根的唯一性：任意一个实数都有且只有一个立方根，这与平方根的成对出现不同。重要关系：∛(-a) = -∛a，即负数的立方根等于它的相反数的立方根的相反数。求一个数的立方根步骤确定被开方数的符号（正、负或 0）。找到一个数 x，使得 x³ 等于被开方数，x 的符号与被开方数的符号相同。写出立方根的结果。示例求下列各数的立方根：64因为 4³ = 64，所以 64 的立方根是 4，即∛64 = 4。-1/8因为 (-1/2)³ = -1/8，所以 - 1/8 的立方根是 - 1/2，即∛(-1/8) = -1/2。0.125因为 0.5³ = 0.125，所以 0.125 的立方根是 0.5，即∛0.125 = 0.5。-216因为 (-6)³ = -216，所以 - 216 的立方根是 - 6，即∛(-216) = -6。立方根与平方根的区别和联系区别项目平方根立方根被开方数范围非负数（a≥0）任意实数（a 为全体实数）结果个数正数有两个互为相反数的平方根，0 的平方根是 0任意实数都有且只有一个立方根符号表示±√a（根指数 2 可省略）∛a（根指数 3 不能省略）符号规律正数的平方根一正一负正数的立方根为正，负数的立方根为负联系两者都是与乘方运算互为逆运算的运算，即平方根是平方运算的逆运算，立方根是立方运算的逆运算。课堂例题例题 1求下列各数的立方根：（1）125 （2）-343 （3）8/27 （4）-0.008解答步骤：（1）因为 5³ = 125，所以∛125 = 5。（2）因为 (-7)³ = -343，所以∛(-343) = -7。（3）因为 (2/3)³ = 8/27，所以∛(8/27) = 2/3。（4）因为 (-0.2)³ = -0.008，所以∛(-0.008) = -0.2。例题 2已知∛x = 4，求 x 的值；已知∛(y - 1) = -2，求 y 的值。解答步骤：（1）由∛x = 4，两边同时立方得 (∛x)³ = 4³，即 x = 64。（2）由∛(y - 1) = -2，两边同时立方得 y - 1 = (-2)³ = -8，解得 y = -8 + 1 = -7。例题 3判断下列说法是否正确：（1）2 是 8 的立方根。（2）-9 的立方根是 - 3。（3）立方根等于它本身的数只有 0 和 1。（4）∛(a³) = a。解答步骤：（1）正确，因为 2³ = 8，所以 2 是 8 的立方根。（2）错误，因为 (-3)³ = -27 ≠ -9，所以 - 9 的立方根不是 - 3。（3）错误，立方根等于它本身的数有 - 1、0 和 1（因为 (-1)³ = -1，0³ = 0，1³ = 1）。（4）正确，因为立方根与立方运算互为逆运算，所以∛(a³) = a。课堂练习练习 1求下列各数的立方根：（1）216 （2）-1 （3）1/1000 （4）-0.512练习 2已知∛(x + 2) = 3，求 x 的值。练习 3若∛a = -∛b，则 a 与 b 的关系是______；若∛a = a，则 a = ______。课堂小结立方根的定义：如果 x³ = a，那么 x 叫做 a 的立方根，记作∛a。立方根的性质：正数的立方根为正，负数的立方根为负，0 的立方根为 0；每个数都有唯一立方根；∛(-a) = -∛a。计算方法：通过立方运算逆推，注意符号与被开方数保持一致。与平方根的区别：被开方数范围、结果个数、符号表示均不同。课后作业课本 Pxx 页习题 8.2 第 x、x、x 题。求下列各数的立方根：（1）343 （2）-512 （3）0.064 （4）-125/216已知正方体的体积是 343 立方厘米，求它的棱长。思考：如何求一个带根号的数的立方根，例如∛(∛8) 的值是多少？请问图片中展示的物品是什么? 若这个物体的体积为 216 cm²，思考如何求此物体的棱长.(1) 它的形状有什么特点? (2) 在这个问题中，涉及到什么计算问题? (3) 你能找出一个数，使它的立方等于 216 吗? 是个正方体，各棱长相等 根据体积求棱长体积＝棱长3棱长＝6 cm算一算：23＝ ；(－2)3＝ ；0.53＝ ；(－0.5)3＝ ；  03＝ ；8－80.125－0.125  0思考 1：通过计算，你能发现正数、0、负数的立方与平方有什么不同之处吗?思考 2：你能类比平方根的定义说出立方根的定义吗?思考 3：你能类比开平方的定义说说什么是开立方吗?思考 4：开立方与立方是什么关系?知识要点开立方：求一个数的立方根的运算，叫作开立方.开立方与立方互为逆运算.填一填： 根据立方根的意义填空： 因为 13 = 1，所以 1 的立方根是（　）； 因为( )3 = 0.064，所以 0.064 的立方根是（ 　 ）；因为( )3 ＝ 0，所以 0 的立方根是（　）；因为( )3 ＝ －8，所以 －8 的立方根是（ ）； 01-20-20.40.4  你能发现正数的立方根有什么特点吗? 负数呢? 0 的立方根是多少?立方根是它本身的数有 1，-1， 0；平方根是它本身的数只有 0.知识要点一个数 a 的立方根可以表示为：根指数被开方数其中 a 是被开方数，3 是根指数，3 不能省略.读作：三次根号 a，x3 ＝5 两个，互为相反数一个，为正数00没有平方根一个，为负数平方根与立方根的区别和联系 可以为任何数非负数典例精析例1 求下列各数的立方根： (1) (－2)3； (2) 343； (3) －64；   (1) ﹣27；(4) -5 的立方根是(2)(3) 0.216；(4) -5.1. 求下列各数的立方根：练一练解：(1) 因为(-3)3 = -27，所以 -27 的立方根是-3. (3) 因为(0.6)3 = 0.216，所以 0.216 的立方根是0.6.思考：(1)各题中被开方数有什么关系?(2)这些数的立方根有什么关系?(3)根据计算结果，可以得到什么初步结论?  –2 2 =–3 3 =计算： –4 4 =互为相反数互为相反数互为相反数的两个数的立方根也互为相反数  (2) 相等. 合作探究  典例精析1. 的算术平方根是 . 2  练一练 由于一个数的立方根可能是无限不循环小数，所以我们可以利用计算器求一个数的立方根或它的近似值.例3 用计算器求下列各数的立方根：2197，3.  1170.80.060.6660 6.6941000n典例精析1. [2024西安未央区二模] 8的立方根是( )B  D  返回 D  返回 CA. ①②B. ①③C. ①④D. ②④5.利用计算器计算时，按键如图所示，则显示结果是___.0 返回      返回9. 求下列各式的值:     返回      返回 C  C   返回 BA. 5B. 3C. 1D. 9  返回     返回   返回   返回    返回互为逆运算立方立方根定义表示特征如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的________或三次方根. 数 a 的立方根是_____；0 的立方根是_______； 一个数 a 的立方根用符号表示为______，a 是________，3 是_______开立方立方根被开方数0根指数阿木提江·塔西吐木尔托克逊县第一中学13899326086