8.3.1实数（课件）--2024新人教版七年级数学下册课件

买合苏迪古丽·买买提托克逊县第二中学159099548808.3.1 实数学习目标理解实数的概念，能区分有理数和无理数。掌握实数的分类方法，明确实数与数轴上点的对应关系。了解实数的基本性质和运算规则，能进行简单的实数运算。体会实数在数学和生活中的广泛应用，提升数感。情境引入回顾与思考我们之前学习了有理数，包括整数和分数，它们都可以表示为有限小数或无限循环小数。例如，3 = 3.0，1/2 = 0.5，1/3 = 0.333…。但在数学中，还存在一些数，如√2、π，它们不能表示为有限小数或无限循环小数，这些数是什么呢？它们与有理数有什么关系？这节课我们就来学习包含这些数的更大的数集 —— 实数。无理数的概念定义无限不循环小数叫做无理数。示例√2 ≈ 1.41421356…，它是无限不循环小数，所以是无理数。π ≈ 3.14159265…，它是无限不循环小数，所以是无理数。-√3 ≈ -1.73205080…，它是无限不循环小数，所以是无理数。0.1010010001…（相邻两个 1 之间依次多一个 0），它是无限不循环小数，所以是无理数。说明无理数不能化成分数形式，这是它与有理数的本质区别。有理数都可以表示为分数 a/b（a、b 为整数，b≠0），而无理数则不能。实数的概念及分类实数的定义有理数和无理数统称为实数。也就是说，实数是有理数和无理数的集合。实数的分类按定义分类实数├─有理数：整数和分数（有限小数或无限循环小数）│ ├─整数：正整数、0、负整数│ └─分数：正分数、负分数└─无理数：无限不循环小数（正无理数、负无理数）按性质分类实数├─正实数│ ├─正有理数：正整数、正分数│ └─正无理数├─0└─负实数 ├─负有理数：负整数、负分数 └─负无理数示例有理数：-3、0、5、1/2、-3/4、0.25、0.666…无理数：√5、-√2、π、0.1010010001…实数与数轴的关系对应关系每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。即实数与数轴上的点是一一对应的。说明有理数在数轴上的对应点是有限个或无限循环的点。无理数在数轴上的对应点是无限不循环的点，但它们同样可以在数轴上找到准确的位置。例如，√2 可以通过构造边长为 1 的正方形的对角线长度在数轴上表示出来。性质在数轴上，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大。实数的性质相反数：实数 a 的相反数是 - a。例如，√2 的相反数是 -√2，-π 的相反数是 π，0 的相反数是 0。绝对值：当 a > 0 时，|a| = a；当 a = 0 时，|a| = 0；当 a < 0 时，|a| = -a。例如，|√3| = √3，|-√5| = √5，|0| = 0。倒数：非零实数 a 的倒数是 1/a。例如，2 的倒数是 1/2，√2 的倒数是 1/√2（可化简为√2/2）。0 没有倒数。实数的运算运算法则实数的运算顺序和运算律与有理数的运算顺序和运算律相同：先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减；同级运算从左到右依次进行；有括号的先算括号里面的。运算律：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律同样适用于实数运算。示例计算：√4 + √25 - √9解：√4 + √25 - √9 = 2 + 5 - 3 = 4计算：(√3 + √2) + (√3 - √2)解：(√3 + √2) + (√3 - √2) = √3 + √2 + √3 - √2 = 2√3课堂例题例题 1判断下列各数是有理数还是无理数：（1）-5 （2）√7 （3）0.333… （4）π/2 （5）√16解答步骤：（1）-5 是整数，属于有理数。（2）√7 是无限不循环小数，属于无理数。（3）0.333… 是无限循环小数，属于有理数。（4）π/2 是无限不循环小数，属于无理数。（5）√16 = 4，是整数，属于有理数。例题 2求下列各数的相反数和绝对值：（1）√5 （2）-√3 （3）0 （4）π - 3解答步骤：（1）√5 的相反数是 -√5，绝对值是 |√5| = √5。（2）-√3 的相反数是√3，绝对值是 |-√3| = √3。（3）0 的相反数是 0，绝对值是 | 0| = 0。（4）π - 3 的相反数是 -(π - 3) = 3 - π，因为 π ≈ 3.14 > 3，所以 |π - 3| = π - 3。例题 3计算：（1）√25 × √(1/100) + √(-2)²（2）(√5 - 2) + (2 - √5)解答步骤：（1）√25 × √(1/100) + √(-2)² = 5 × (1/10) + 2 = 0.5 + 2 = 2.5（2）(√5 - 2) + (2 - √5) = √5 - 2 + 2 - √5 = 0课堂练习练习 1下列各数中，属于无理数的是（ ）A. 3.14 B. √4 C. √5 D. 1/3练习 2求下列各数的相反数和绝对值：（1）-√6 （2）√2 - 1 （3）3 - π练习 3计算：（1）√9 + √16 - √25（2）√3 × √3 + (√2)²课堂小结无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数。实数包括有理数和无理数，可按定义或性质分类。实数与数轴上的点一一对应，右边的点表示的实数比左边的大。实数的相反数、绝对值、倒数性质与有理数类似，运算顺序和运算律也相同。课后作业课本 Pxx 页习题 8.3 第 x、x、x 题。判断下列各数是有理数还是无理数：（1）0.1010010001… （2）-√8 （3）3.1415 （4）√(1/4)计算：（1）√49 - √121 + √36（2）(√5 + √2) - √5思考：实数和有理数在运算上有什么异同？为什么？1. 经历无理数的探究过程，了解无理数和实数的概念，会把实数进行分类.2.了解实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小.3. 通过实数的分类感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.重点：对实数按照一定的标准进行分类,用数轴上的点表示实数，并比较实数的大小.难点：用数轴上的点表示实数,并比较实数的大小.(1)什么是有理数? 有理数包括哪些类别?(2) 什么是无限不循环小数? 我们接触的最常见的无限不循环小数有哪些?可以写成分数形式的数是有理数，包括整数和分数 点击视频开始播放→无理数和实数的概念及实数分类计算：把下列有理数写成小数的形式：     2.5 6.75思考 1：观察运算结果，请问你有什么发现? 请同学们自主讨论并得出自己的结论.任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式.  无理数思考 3：如果无限不循环小数不属于有理数，通过阅读教材 P52 说说它属于哪一类数?知识要点 类比有理数，我们将思考 4：类比有理数的分类，你能给实数分类吗?想一想负实数正实数数实正有理数负有理数 0 正无理数负无理数因为非零有理数和无理数都有正负之分，那么你能类比有理数的分类方法，按大小对实数分类吗？有理数：负实数：正实数：例1 将下列各数分别填入下列相应的括号内：典例精析   π ，    0 ， 0.5252252225….（相邻两个5之间依次增加一个2）.0.5252252225….  π ，     0 ，    π ， 0.5252252225….    1.下列说法中，正确的是（ ）.A. 实数分为正实数和负实数 B. 无限小数都是无理数C. 无理数都是无限小数 D. 带根号的数都是无理数2.有一个数值转换器，其原理如图所示，当输入的 x 为 81 时，输出的 y 是（ ）.CDA. 9 B. C.3 D.练一练演示1：以单位长度为直径画一个圆，它的周长等于 π. 如图 ，从原点开始，将这个圆沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点 O 到达点 O′，点 O′ 对应的数是多少?实数与数轴上的点O′思考 1： 点O′ 对应的数是多少?思考 2： 点O′ 对应的数在数轴上的位置说明了什么?π无理数 π 可以在数轴上表示演示2：你能在数轴上表示出 和 - 吗？1111 两个边长为 1 的小正方形通过剪、拼 得到一个大正方形，由大正方形的面积为 2 可知其边长为 ，从而说明边长为 1 的小正方形的对角线长为____. 无理数也可以在数轴上表示出来  要点 1：实数和数轴上的点是一一对应的.要点 2：与有理数规定的大小一样，数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大.要点 3：(1)正数大于零，负数小于零，正数大于负数；(2)两个正数，绝对值大的数较大；(3)两个负数，绝对值大的数反而小.要点归纳例2 在数轴上表示下列各数，比较它们的大小，并用“ < ”连接它们.熟记常见数的算术平方根的约数值有助于解题.  例3 如图所示，数轴上 A，B 两点表示的数分别为－1 和 ，点 B 关于点 A 的对称点为 C，求点 C 所表示的实数．解：因为数轴上 A，B 两点表示的数分别为－1 和 ，所以点 B 到点 A 的距离为1＋ ，则点 C 到点 A 的距离为 1＋ .设点 C 表示的实数为 x，则点 A 到点 C 的距离为－1－x，所以－1－x ＝ 1＋ ，所以 x ＝ －2－ .1. [2024重庆一中期末] 下列四个数中，是无理数的是( )A 2. [2024重庆八中期末] 下列说法中，正确的是( )CA. 无限小数都是无理数B. 无理数分为正无理数、0和负无理数C. 实数与数轴上的点是一一对应的D. 无理数的平方一定是有理数 返回 A  2（或3） 返回   返回 （1）有理数集合{_____________________…}；（2）无理数集合{_ ______________________…}；（3）正实数集合{___________________________…}；（4）负实数集合{_ ________________…}.     返回 【解】如图所示.  返回8. 下列说法错误的是( )A  返回 C  小颖 返回    返回12. 一个数值转换器如图所示.      2或4（答案不唯一）5.___________无限不循环小数有限小数或4.__________正有理数1._______2._______正无理数3._______有理数无理数实数数轴数与点的对应无限循环小数0负有理数负无理数阿木提江·塔西吐木尔托克逊县第一中学13899326086