初中数学解一元一次方程习题

这是一份初中数学解一元一次方程习题，共33页。试卷主要包含了等式的基本性质，求解含括号的一元一次方程，求解含分母的一元一次方程，解一元一次方程错解复原问题，换元法求解一元一次方程等内容，欢迎下载使用。
类型一、等式的基本性质
例1．（24-25七年级上·全国·期末）运用等式的基本性质，下列变形错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【变式1-1】（24-25七年级上·河南信阳·阶段练习）下列运用等式的性质变形正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【变式1-2】（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）运用等式性质进行的变形，正确的是（ ）
A．如果，那么B．如果，那么
C．如果，那么D．如果，那么
【变式1-3】（24-25七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）下列运用等式的性质，变形不正确的是（ ）
A．若，则
B．若,则
C．若 ，则
D．若，则
类型二、求解含括号的一元一次方程
例2．（25-26七年级上·四川成都·开学考试）解方程：．
【变式2-1】（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）解方程：．
【变式2-2】（24-25七年级下·福建漳州·期末）解方程：．
【变式2-3】（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）解方程： ．
类型三、求解含分母的一元一次方程
例3．（24-25七年级上·全国·期末）解下列方程：．
【变式3-1】（24-25七年级下·福建泉州·期末）解方程：．
【变式3-2】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）解方程：
【变式3-3】（24-25七年级下·广东汕头·开学考试）解下列方程：
类型四、解一元一次方程错解复原问题
例4．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小明同学的解题过程：
解方程：
解：原方程可化为……第一步，
方程两边同时乘15，得……第二步，
去括号，得……第三步，
移项，得……第四步，
合并同类项，得……第五步，
系数化为1，得……第六步
上述小明的解题过程从第___________步开始出现错误，错误的原因是___________．
请你写出正确的解题过程．
【变式4-1】（24-25七年级上·宁夏银川·期末）下面是小明解方程的过程：
解：去分母，得（第一步）
去括号，得（第二步）
移项，得（第三步）
合并同类项，得（第四步）
系数化为1，得（第五步）
根据解答过程完成下列任务．
任务一：
①上述解答过程中，第一步的变形依据是________________；
②第________步开始出现错误，这一步错误的原因是____________；
任务二：请你写出解该方程的正确解题过程．
【变式4-2】（24-25七年级上·河北邯郸·期末）数学课上，嘉琪在黑板上写出了下列方程的解题过程，如下所示．
(1)小亮观察后发现嘉琪的解题过程是错误的，嘉琪从第______步开始出现错误，出错的原因是__________________；
(2)请求出题目中方程的解．
【变式4-3】（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）【问题】解方程：
【解题】解：____， 得， ……………………第一步
去括号，得 ……………………第二步
移项，得， ……………………第三步
合并同类项，得， ……………………第四步
………
【批注】
(1)以上求解步骤中，第一步横线上应填的是_______ ，从第_______步开始出现错误；
(2)请你写出正确的解答过程．
类型五、换元法求解一元一次方程
例5．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（ ）
A．B．C．D．
【变式5-1】（24-25七年级上·江西南昌·期末）已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为（ ）
A．2023B．-2013C．2013D．-2023
【变式5-2】（24-25七年级上·河北邢台·期末）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（ ）
A．B．C．D．
【变式5-3】（23-24七年级下·河南南阳·期末）已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（ ）
A．B．C．D．
一、单选题
1．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）下列变形中，正确的是（ ）
A．若，那么B．若，那么
C．，那么D．若，那么
2．（22-23七年级下·河南洛阳·期中）下列方程变形正确的是（ ）
A．方程，去括号，得
B．方程，移项，得
C．方程，未知数的系数化为1，得
D．方程，去分母，得
3．（22-23七年级下·广东湛江·开学考试）若关于的方程的解是方程的解的3倍，则的值是（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25七年级上·全国·期末）若关于的方程的解为大于4的整数 ，则整数的值为（ ）
A．3或5B．3或7C．5或7D．以上答案都不对
5．（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）定义一种新运算“&”：当时，；当时，；当时，．例如：．已知，则x的值为（ ）
A．或B．或2C．或2D．或或2
二、填空题
6．（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）根据等式的性质填空：
（1）如果，那么 ；
（2）如果，那么 ；
（3）如果，那么 ．
7．（25-26七年级上·北京·开学考试）已知和互为相反数，则的值为 ．
8．（2024七年级上·全国·专题练习）将方程中含小数的分母转化为整数，得 ．
9．（22-23七年级上·全国·期末）若方程的解为，的解为： ．
10．（24-25七年级下·四川乐山·期末）若关于的方程的解为整数，则整数的取值个数为 个．
三、解答题
11．（24-25七年级上·全国·期末）解方程：
(1)；
(2)．
12．（24-25七年级上·陕西安康·阶段练习）解下列方程．
(1)；
(2)．
13．（24-25七年级上·全国·期末）解下列方程：
(1)；
(2)．
14．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）解方程：
(1)
(2)
15．（24-25七年级上·全国·期末）解方程：
(1)
(2)
16．（24-25七年级上·全国·随堂练习）小明在做数学作业时，解方程的步骤如下：
①去分母，得，
②去括号，得，
③移项，得，
④合并同类项，得，
⑤系数化为1，得．
(1)小明解方程的步骤从第_______步（填序号）开始出现了错误，错误的原因是______________．
(2)请你写出这道题正确的解答过程．
17．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）已知是关于x的一元一次方程．
(1)求m的值；
(2)若方程的解与关于x的一元一次方程的解互为相反数，求n的值．
18．（2023七年级上·江苏南通·竞赛）对于有理数、定义一种新运算，如，；请按照这个定义完成下列计算：
(1)若，求的值；
(2)若，，且，求的值；
(3)若和均为正整数，且满足，直接写出的值．
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc26357" 典例详解
\l "_Tc27662" 类型一、等式的基本性质
\l "_Tc24902" 类型二、求解含括号的一元一次方程
\l "_Tc31109" 类型三、求解含分母的一元一次方程
\l "_Tc30913" 类型四、解一元一次方程错解复原问题
\l "_Tc21525" 类型五、换元法求解一元一次方程
\l "_Tc25646" 压轴专练
等式基本性质与解题技巧
一、核心知识点
1.性质1：等式两边同时加（或减）同一个数/整式，等式仍成立（若a=b，则a\pm c=b\pm c）。
2.性质2：等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），等式仍成立（若a=b，则ac=bc；若a=b且c≠0，则ac = bc ）。
二、解题技巧
1.移项：把某项从等式一边移到另一边，需变号（依据性质1，如x+3=5移项得x=5-3）。
2.去分母：等式两边同乘各分母最小公倍数（依据性质2，注意不含分母的项也要乘）。
3.检验：解出结果后代入原等式，验证左右两边是否相等。
含括号的一元一次方程求解
一、核心知识点
解含括号的一元一次方程，核心是通过去括号、移项、合并同类项、系数化为1，将方程转化为x=a（a为常数）的形式，过程需遵循等式基本性质。
二、解题技巧
1.去括号：用分配律展开，括号前是“-”时，括号内各项要变号（如2-(x+3)=0去括号得2-x-3=0）。
2.移项变号：把含未知数的项移到左边，常数项移到右边，移项要变号（如上式移项得-x=3-2）。
3.检验：解出x后代入原方程，验证左右两边是否相等，避免计算错误。
含分母的一元一次方程求解
一、核心知识点
求解关键是通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，将方程化为x=a（a为常数）的形式，每一步均需遵循等式基本性质，尤其去分母时，等式两边要同乘所有分母的最小公倍数，避免漏乘常数项。
二、解题技巧
1. 去分母：先找各分母最小公倍数（如分母2和3，最小公倍数为6），两边同乘该数，消去分母（如x2+1=x3，两边乘6得3x + 6 = 2x）。
2. 后续步骤：按去括号、移项（移项变号）、合并同类项、系数化为1的顺序计算，最后代入原方程检验，确保结果正确。
一元一次方程错解复原问题
一、核心知识点
错解复原需基于等式基本性质和一元一次方程求解步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1），通过分析错误步骤，反向推导或正向修正，找出正确解，关键是定位错误类型（漏乘、符号错、移项不变号等）。
二、解题技巧
1.定位错误：对比错解步骤与正确流程，找出错误点（如去分母漏乘常数项、去括号符号错误）。
2.正向修正：保留正确步骤，修正错误部分，按正常流程重算（如错解去分母漏乘，补乘后重新计算）。
3.反向验证：若已知错解结果，可代入错解步骤，反求原方程中的参数（如未知常数），再求正确解，最后检验。
解：去分母，得．……第一步
去括号，得．……第二步
移项合并同类项，得．……第三步
系数化为1，得．……第四步
换元法解一元一次方程
一、核心知识点
换元法是将方程中重复出现的复杂整式（如多项式、分式） 设为新未知数（如t），把原方程转化为关于新未知数的简单一元一次方程，求解后再代回新未知数，求出原方程的解，核心是简化方程结构，本质仍遵循等式基本性质。
二、解题技巧
1.设元：观察方程，设重复出现的复杂部分为t（如方程2(3x - 1) - 5 = 3(3x - 1)，设t = 3x - 1）。
2.求解新方程：将原方程转化为2t - 5 = 3t，解出t = -5。
3.回代求原解：把t = -5代入t = 3x - 1，得3x - 1 = -5，解得x = -43，最后检验。
专题07 一元一次方程的解法的五类综合题型
类型一、等式的基本性质
例1．（24-25七年级上·全国·期末）运用等式的基本性质，下列变形错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】D
【分析】此题主要考查了等式的基本性质，正确掌握等式的基本性质是解题关键．直接利用等式的基本性质分别分析得出答案．
【详解】解：A． 若，则，原变形正确，该选项不符合题意；
B． 若，则，原变形正确，该选项不符合题意；
C． 若，则，则，原变形正确，该选项不符合题意；
D． 若，则，即，原变形错误，该选项符合题意；
故选：D．
【变式1-1】（24-25七年级上·河南信阳·阶段练习）下列运用等式的性质变形正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】C
【分析】此题主要考查了等式的性质，解题的关键是熟练掌握等式的性质，注意等式的性质2中是除以同一个不为0的数或式子，等式不变．等式的性质：①等式两边加同一个数（或整式）结果仍得等式；②等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．直接利用等式的基本性质进而判断得出即可．
【详解】解：A．若， 成立的条件是，故选项A变形不正确，故该选项不符合题意，
B．若，无法得，故选项B不符合题意，
C．若，则，变形正确，故选项C符合题意，
D．若，则成立的条件是，故选项D变形不正确，故该选项不符合题意，
故选：C．
【变式1-2】（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）运用等式性质进行的变形，正确的是（ ）
A．如果，那么B．如果，那么
C．如果，那么D．如果，那么
【答案】D
【分析】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式仍然成立，等式两边同时除以一个不为0的数或式子等式仍然成立．
利用等式的性质逐项判断即可．
【详解】解：A、如果，那么或，原写法错误，不符合题意；
B、如果，那么，原写法错误，不符合题意；
C、如果，当时，那么，原写法错误，不符合题意；
D、如果，那么，原写法正确，符合题意，
故选：D．
【变式1-3】（24-25七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）下列运用等式的性质，变形不正确的是（ ）
A．若，则
B．若,则
C．若 ，则
D．若，则
【答案】B
【分析】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去同一个数或整式，等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时除以一个不为零的数字或式子等式仍然成立．
【详解】解：A、若，则，原结论正确，不符合题意；
B、若,则，原结论错误，符合题意；
C、若 ，则，原结论正确，不符合题意；
D、因为 ，所以若，则，原结论正确，不符合题意；
故选：B．
类型二、求解含括号的一元一次方程
例2．（25-26七年级上·四川成都·开学考试）解方程：．
【答案】
【分析】本题考查解一元一次方程，根据解方程的步骤：去括号、移项、合并同类项解答即可．
【详解】解：
．
【变式2-1】（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）解方程：．
【答案】
【分析】此题考查解一元一次方程，先去括号，再移项，合并同类项，系数化为1即可求出方程的解．
【详解】解：，
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
系数化为1得．
【变式2-2】（24-25七年级下·福建漳州·期末）解方程：．
【答案】
【分析】根据解一元一次方程的方法：去括号，移项，合并同类项求解即可．
本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．
【详解】解：，
去括号，得，
移项、合并同类项，得．
【变式2-3】（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）解方程： ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次方程，根据解一元一次方程的步骤解答即可，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
【详解】解：去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为，得．
类型三、求解含分母的一元一次方程
例3．（24-25七年级上·全国·期末）解下列方程：．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次方程，先去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求出解即可．
【详解】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
解得：．
【变式3-1】（24-25七年级下·福建泉州·期末）解方程：．
【答案】
【分析】根据解一元一次方程的方法：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤进行求解即可．
本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．
【详解】解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为1，得．
【变式3-2】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）解方程：
【答案】．
【分析】先去分母，消除方程中的分数形式，再去括号去掉式子中的括号，接着移项使含未知数的项和常数项分别位于等号两边，然后合并同类项化简方程，最后将未知数的系数化为 ，求出方程的解．本题主要考查了一元一次方程的解法，熟练掌握去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 等解一元一次方程的基本步骤是解题的关键．
【详解】解：
去分母，方程两边同时乘以得
去括号得
移项得
合并同类项得
系数化为得．
【变式3-3】（24-25七年级下·广东汕头·开学考试）解下列方程：
【答案】
【分析】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1，求出解．
【详解】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
解得：．
类型四、解一元一次方程错解复原问题
例4．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小明同学的解题过程：
解方程：
解：原方程可化为……第一步，
方程两边同时乘15，得……第二步，
去括号，得……第三步，
移项，得……第四步，
合并同类项，得……第五步，
系数化为1，得……第六步
上述小明的解题过程从第___________步开始出现错误，错误的原因是___________．
请你写出正确的解题过程．
【答案】三，去括号时没有改变符号；正确的解题过程见解答
【分析】本题考查一元一次方程的解，掌握其求解步骤是本题的关键．按照一元一次方程的求解步骤逐步检查并纠正即可．
【详解】解：小明的解题过程从第三步开始出现错误，错误的原因是去括号时没有改变符号．
故答案为：三，去括号时，与相乘的积的符号错误；
正确的解题过程如下：
原方程可化为：，
方程两边同时乘15，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
【变式4-1】（24-25七年级上·宁夏银川·期末）下面是小明解方程的过程：
解：去分母，得（第一步）
去括号，得（第二步）
移项，得（第三步）
合并同类项，得（第四步）
系数化为1，得（第五步）
根据解答过程完成下列任务．
任务一：
①上述解答过程中，第一步的变形依据是________________；
②第________步开始出现错误，这一步错误的原因是____________；
任务二：请你写出解该方程的正确解题过程．
【答案】任务一：①等式的性质二；②三，移项未变号；任务二：见解析
【分析】本题考查了解含有分母的一元一次方程，熟悉各步骤，注意各步的注意事项是解题的关键．
任务一：①第一步是去分母，其依据是等式的性质二，据此即可完成；
②观察每步变形知，第三步开始出现错误，原因是移项未变号；
任务二：按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行，即可求解．
【详解】解：任务一：①第一步是去分母，其依据是等式的性质二；
故答案为：等式的性质二；
②第三步开始出现错误，原因是移项未变号；
故答案为：三；移项未变号；
任务二：去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
【变式4-2】（24-25七年级上·河北邯郸·期末）数学课上，嘉琪在黑板上写出了下列方程的解题过程，如下所示．
(1)小亮观察后发现嘉琪的解题过程是错误的，嘉琪从第______步开始出现错误，出错的原因是__________________；
(2)请求出题目中方程的解．
【答案】(1)二；去括号时没有变号
(2)
【分析】本题考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
（1）检查解题过程，可发现第二步去括号没有变号；
（2）根据解一元一次方程的步骤求解即可．
【详解】（1）解：第二步开始出现错误，出错的原因是去括号时没有变号．
故答案为：二；去括号时没有变号
（2）解：
去分母，得，
去括号，得，
移项合并同类项，得，
系数化为1，得．
【变式4-3】（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）【问题】解方程：
【解题】解：____， 得， ……………………第一步
去括号，得 ……………………第二步
移项，得， ……………………第三步
合并同类项，得， ……………………第四步
………
【批注】
(1)以上求解步骤中，第一步横线上应填的是_______ ，从第_______步开始出现错误；
(2)请你写出正确的解答过程．
【答案】(1)去分母，三
(2)解答过程见详解
【分析】本题考查了解一元一次方程，按步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、把x系数化为1，进行检查并解方程，即可求解．
【详解】（1）解：第一步横线上应填的是去分母，
移项，得，
从第三步开始出现错误；
故答案为：去分母，三；
（2）解：去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为，得．
类型五、换元法求解一元一次方程
例5．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元一次方程的解，将方程适当变形是解答本题的关键．方程可变形为：，再根据两个方程的特点得出，据此求解即可．
【详解】解：方程可变形为：，
∵关于x的一元一次方程的解为，
∴关于y的一元一次方程的解为，
解得：．
故选：D．
【变式5-1】（24-25七年级上·江西南昌·期末）已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为（ ）
A．2023B．-2013C．2013D．-2023
【答案】B
【分析】本题主要考查了换元法解一元一次方程，熟练掌握换元法的思想是解题的关键．通过观察两个方程的结构特征，利用换元法将关于的方程转化为已知解的关于的方程形式，进而求解的值．
【详解】解：对于方程，
∵令，
∴原方程可化为．
∵已知关于的方程的解为，
∴．
∵，
∴．
故选：B．
【变式5-2】（24-25七年级上·河北邢台·期末）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，先将方程可变形为，根据关于的一元一次方程的解为，得出关于的一元一次方程的解满足，求出y的值，即可得出答案．
【详解】解：方程可变形为，
因为关于的一元一次方程的解为，
所以关于的一元一次方程的解满足，
解得：，
所以关于的方程的解为．
故选：C．
【变式5-3】（23-24七年级下·河南南阳·期末）已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查根据已知一元一次方程，求另一个一元一次方程的解，掌握一元一次方程的解的定义是解此题的关键．
已知关于的方程的解为，观察关于的方程的结构，可发现其与原方程形式相同，只需将原方程中的替换为．因此，原方程的解对应新方程中，直接求解即可．
【详解】解：因为原方程的解为．
所以方程满足，
解得，
故选：A．
一、单选题
1．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）下列变形中，正确的是（ ）
A．若，那么B．若，那么
C．，那么D．若，那么
【答案】D
【分析】本题考查等式的基本性质，绝对值的意义及平方的非负性，解题的关键是掌握等式的基本性质：性质1：等式的两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；性质2：等式的两边同时乘同一个数，或除以同一个不为的数，结果仍相等．
根据等式的基本性质，结合绝对值和平方的非负性进行判断．
【详解】解：A．若，那么，原变形不正确，故此选项不符合题意；
B．若且，那么，原变形不正确，故此选项不符合题意；
C，当，时，，但，原变形不正确，故此选项不符合题意；
D．若，那么，原变形正确，故此选项符合题意．
故选：D．
2．（22-23七年级下·河南洛阳·期中）下列方程变形正确的是（ ）
A．方程，去括号，得
B．方程，移项，得
C．方程，未知数的系数化为1，得
D．方程，去分母，得
【答案】D
【分析】本题考查了解一元一次方程，等式的性质，根据去分母、去括号、移项、系数化为1这些变形解答即可．
【详解】解：A、方程，去括号，得，故此选项不符合题意；
B、方程，移项，得，故此选项不符合题意；
C、方程，未知数的系数化为1，得，故此选项不符合题意；
D、方程，去分母，得，故此选项符合题意．
故选：D．
3．（22-23七年级下·广东湛江·开学考试）若关于的方程的解是方程的解的3倍，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查一元一次方程的解，解一元一次方程．
求方程的解，即可得关于的方程的解，代入，解关于的一元一次方程即可．
【详解】解：由得，
根据题意可知，是方程的解，
∴，
∴，
故选：D．
4．（24-25七年级上·全国·期末）若关于的方程的解为大于4的整数 ，则整数的值为（ ）
A．3或5B．3或7C．5或7D．以上答案都不对
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次方程的解法、含参数方程的变形技巧及整数解条件的综合分析，解题关键在于将方程整理为的标准形式．将方程整理为的形式，根据解且为整数，建立不等式并分析整数k的整除特性即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵都是整数，
∴为15的因数．
．
又，∴=1或3，
∴或5．
故选A．
5．（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）定义一种新运算“&”：当时，；当时，；当时，．例如：．已知，则x的值为（ ）
A．或B．或2C．或2D．或或2
【答案】C
【分析】本题考查一元一次方程的解，分，，三种情况分别计算即可．
【详解】解：当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得（舍去）；
综上，或，
故选：C．
二、填空题
6．（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）根据等式的性质填空：
（1）如果，那么 ；
（2）如果，那么 ；
（3）如果，那么 ．
【答案】 2
【分析】本题主要考查了等式的基本性质，熟练掌握等式两边同时进行相同的运算（加、减、乘、除同一个数，除数不为）等式仍然成立是解题的关键．
（1）根据等式两边同时加同一个数等式仍然成立，已知，在等式两边同时加，所以．
（2）根据等式两边同时乘同一个数等式仍然成立，已知，在等式两边同时乘，所以．
（3）根据等式两边同时除以同一个不为的数等式仍然成立，已知，在等式两边同时除以，所以．
【详解】解：（1）∵
∴
故答案为：．
（2）∵
∴
故答案为：．
（3）∵
∴
故答案为：．
7．（25-26七年级上·北京·开学考试）已知和互为相反数，则的值为 ．
【答案】2
【分析】此题考查了相反数的定义，解一元一次方程，利用互为相反数两数之和为0列出方程，求出方程的解即可得到m的值．
【详解】解：根据题意得：，
解得：，
故答案为：2．
8．（2024七年级上·全国·专题练习）将方程中含小数的分母转化为整数，得 ．
【答案】
【分析】利用分数的基本性质对方程进行变形，掌握知识点是解题的关键．
分子分母同乘以10即可．
【详解】解： ∵
∴，
即．
故答案为：．
9．（22-23七年级上·全国·期末）若方程的解为，的解为： ．
【答案】
【分析】本题考查一元一次方程的解，换元法，掌握相关知识是解决问题的关键．将第二个方程中看作一个整体换元，找到和第一个方程的关系，即可得到答案
【详解】解：
即，①
由题意此方程的解为，
令，
则第二个方程变形为：，
对照①可得，方程的解为，
∴，
∴．
故答案为：．
10．（24-25七年级下·四川乐山·期末）若关于的方程的解为整数，则整数的取值个数为 个．
【答案】
【分析】本题考查的是方程的解，熟练掌握解方程是解决此题的关键；
先计算方程的解，然后选取符合题意的解，即可求解；
【详解】解：
，
，
∵x，k为整数，
∴或．
故答案为：4．
三、解答题
11．（24-25七年级上·全国·期末）解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题主要考查了一元一次方程的解法，正确掌握解方程的方法是解题关键．
（1）直接移项合并同类项，进而系数化为1得出答案；
（2）直接去分母，进而移项合并同类项，进而系数化为1得出答案．
【详解】（1）解：，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
（2）解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
12．（24-25七年级上·陕西安康·阶段练习）解下列方程．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元一次方程，步骤为:去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．
（1）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1即可求出解；
（2）方程整理后，去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1即可求出解．
【详解】（1）解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为1，得；
（2）解：
原方程可化为．
去分母，得．
移项、合并同类项，得．
系数化为1，得．
13．（24-25七年级上·全国·期末）解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元一次方程的步骤，熟练解一元一次方程的步骤是解题的关键．
（1）去括号，移项，合并同类项，即可求出解．
（2）方程去分母，去括号，移项合并，把系数化为1，即可求出解．
【详解】（1）解：
去括号，得
移项，得
合并同类项，得；
（2）解：
去分母，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
系数化成，得．
14．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
（1）去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解；
（2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解．
【详解】（1）解：，
去括号，得，
移项合并得，
系数化为1，得；
（2）解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项合并，得．
15．（24-25七年级上·全国·期末）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握解法步骤是解本题的关键．
（1）根据去括号，移项，合并同类项，再把未知数的系数化为“”解答即可；
（2）根据去分母，再去括号，移项，合并同类项，再把未知数的系数化为“”解答即可．
【详解】（1）解：
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
系数化为得；
（2）解：
去分母得，
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
系数化为得．
16．（24-25七年级上·全国·随堂练习）小明在做数学作业时，解方程的步骤如下：
①去分母，得，
②去括号，得，
③移项，得，
④合并同类项，得，
⑤系数化为1，得．
(1)小明解方程的步骤从第_______步（填序号）开始出现了错误，错误的原因是______________．
(2)请你写出这道题正确的解答过程．
【答案】(1)①；去分母时，1漏乘6
(2)见解析
【分析】此题考查了解一元一次方程，掌握解方程步骤：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，是解题关键．
（1）检查小明解答过程，即可作出判断；
（2）写出正确解答过程即可．
【详解】（1）小明解方程的步骤从第①步开始出现了错误，错误的原因是去分母时，1漏乘6；
（2）正确的解答过程如下：
，
去分母得，，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为1得，．
17．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）已知是关于x的一元一次方程．
(1)求m的值；
(2)若方程的解与关于x的一元一次方程的解互为相反数，求n的值．
【答案】(1)或
(2)或
【分析】本题考查了一元一次方程的定义，方程的解和解一元一次方程，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）根据是关于x的一元一次方程，得到，，求得m的值即可；
（2）分两种情况，先求得的解，根据一元一次方程的解与的解互为相反数，求得解，代入求得n的值即可．
【详解】（1）解：∵是关于x的一元一次方程，
∴，，
解得或且，
∴或；
（2）解：当时，
∴变形为，
解得，
∵一元一次方程的解与的解互为相反数，
∴的解为，
∴，
解得；
当时，
∴变形为，
解得，
∵一元一次方程的解与的解互为相反数，
∴的解为，
∴，
解得；
综上所述，或．
18．（2023七年级上·江苏南通·竞赛）对于有理数、定义一种新运算，如，；请按照这个定义完成下列计算：
(1)若，求的值；
(2)若，，且，求的值；
(3)若和均为正整数，且满足，直接写出的值．
【答案】(1)
(2)20
(3)3
【分析】本题考查整式的加减运算，理解新定义运算规则，注意分情况讨论是解题的关键．
（1）分和两种情况，根据新定义运算得出关于x的方程，解方程，然后判断是否满足条件即可得；
（2）先计算，得出，再根据新定义计算，得出，利用整体代入法求解即可；
（3）先判断，根据新定义计算，得出，整理得，根据和均为正整数，可得的值．
【详解】（1）解：当时，，
，
，
解得，与矛盾，舍去；
当时，，
，
，
解得，符合题意；
综上可知，x的值为．
（2）解：，，
，即，
，
，
；
（3）解：
和均为正整数，
，
，
，
解得，
和均为正整数，
是5的因数，且只能是，
此时，，，
即k的值为3．
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc26357" 典例详解
\l "_Tc27662" 类型一、等式的基本性质
\l "_Tc24902" 类型二、求解含括号的一元一次方程
\l "_Tc31109" 类型三、求解含分母的一元一次方程
\l "_Tc30913" 类型四、解一元一次方程错解复原问题
\l "_Tc21525" 类型五、换元法求解一元一次方程
\l "_Tc25646" 压轴专练
等式基本性质与解题技巧
一、核心知识点
1.性质1：等式两边同时加（或减）同一个数/整式，等式仍成立（若a=b，则a\pm c=b\pm c）。
2.性质2：等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），等式仍成立（若a=b，则ac=bc；若a=b且c≠0，则ac = bc ）。
二、解题技巧
1.移项：把某项从等式一边移到另一边，需变号（依据性质1，如x+3=5移项得x=5-3）。
2.去分母：等式两边同乘各分母最小公倍数（依据性质2，注意不含分母的项也要乘）。
3.检验：解出结果后代入原等式，验证左右两边是否相等。
含括号的一元一次方程求解
一、核心知识点
解含括号的一元一次方程，核心是通过去括号、移项、合并同类项、系数化为1，将方程转化为x=a（a为常数）的形式，过程需遵循等式基本性质。
二、解题技巧
1.去括号：用分配律展开，括号前是“-”时，括号内各项要变号（如2-(x+3)=0去括号得2-x-3=0）。
2.移项变号：把含未知数的项移到左边，常数项移到右边，移项要变号（如上式移项得-x=3-2）。
3.检验：解出x后代入原方程，验证左右两边是否相等，避免计算错误。
含分母的一元一次方程求解
一、核心知识点
求解关键是通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，将方程化为x=a（a为常数）的形式，每一步均需遵循等式基本性质，尤其去分母时，等式两边要同乘所有分母的最小公倍数，避免漏乘常数项。
二、解题技巧
1. 去分母：先找各分母最小公倍数（如分母2和3，最小公倍数为6），两边同乘该数，消去分母（如x2+1=x3，两边乘6得3x + 6 = 2x）。
2. 后续步骤：按去括号、移项（移项变号）、合并同类项、系数化为1的顺序计算，最后代入原方程检验，确保结果正确。
一元一次方程错解复原问题
一、核心知识点
错解复原需基于等式基本性质和一元一次方程求解步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1），通过分析错误步骤，反向推导或正向修正，找出正确解，关键是定位错误类型（漏乘、符号错、移项不变号等）。
二、解题技巧
1.定位错误：对比错解步骤与正确流程，找出错误点（如去分母漏乘常数项、去括号符号错误）。
2.正向修正：保留正确步骤，修正错误部分，按正常流程重算（如错解去分母漏乘，补乘后重新计算）。
3.反向验证：若已知错解结果，可代入错解步骤，反求原方程中的参数（如未知常数），再求正确解，最后检验。
解：去分母，得．……第一步
去括号，得．……第二步
移项合并同类项，得．……第三步
系数化为1，得．……第四步
换元法解一元一次方程
一、核心知识点
换元法是将方程中重复出现的复杂整式（如多项式、分式） 设为新未知数（如t），把原方程转化为关于新未知数的简单一元一次方程，求解后再代回新未知数，求出原方程的解，核心是简化方程结构，本质仍遵循等式基本性质。
二、解题技巧
1.设元：观察方程，设重复出现的复杂部分为t（如方程2(3x - 1) - 5 = 3(3x - 1)，设t = 3x - 1）。
2.求解新方程：将原方程转化为2t - 5 = 3t，解出t = -5。
3.回代求原解：把t = -5代入t = 3x - 1，得3x - 1 = -5，解得x = -43，最后检验。