初中数学相似三角形的判定多媒体教学ppt课件

这是一份初中数学相似三角形的判定多媒体教学ppt课件，共60页。PPT课件主要包含了情景导入，成比例，相似比，探究新知，“A”型，“X”型，课堂小结，平行线分线段成比例，课堂训练，ADE等内容，欢迎下载使用。
1．相似多边形的对应角______，对应边________，对应边的比叫做__________．2．如图，△ABC 和△A′B′C′ 相似需要满足什么条件？相似用符号“∽”表示，读作“相似于”．△ABC与△A′B′C′ 相似记作“△ABC∽△A′ B′ C′ ”．
1．平行线分线段成比例(基本事实)如图 ①，小方格的边长都是 1，直线 a∥b∥c，分别交直线 m，n 于 A1，A2，A3，B1，B2，B3．
(1)计算 你有什么发现？
(2)将 b 向下平移到如图 ② 的位置，直线 m，n 与直线 b 的交点分别为 A2，B2．你在问题(1)中发现的结论还成立吗？如果将 b 平移到其他位置呢？
(3)根据前两问，你认为在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的对应线段成比例吗？
归纳：一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．符号语言：若a∥b∥c ，则
想一想： 1．如何理解“对应线段”？2．“对应线段”成比例都有哪些表达形式？
2．平行线分线段成比例定理的推论如图，直线a∥b∥c，由平行线分线段成比例的基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段，把直线 n 向左或向右任意平移，这些线段依然成比例．
直线 n 向左平移到 B1 与A1 重合的位置，说说图中有哪些成比例线段？把图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？
归纳：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．
例 1　如图，在△ABC 中， EF∥BC．(1)如果 E、F 分别是 AB 和 AC 上的点，AE＝BE＝7， FC＝4，那么 AF 的长是多少？(2)如果 AB＝10，AE＝6，AF＝5，那么 FC 的长是多 少？
解：(1) ∵　∴解得 AF＝4．
(2)∵　　　　　　 ∴　　解得　 AC＝∴　FC＝AC－AF＝
3．相似三角形的引理 如图，在△ABC 中，D 为 AB 上任意一点，过点 D 作BC 的平行线 DE ，交 AC 于点 E．问题 1　△ADE 与△ABC 的三个角分别相等吗？问题 2　分别度量△ADE 与△ABC 的边长，它们的边长是否对应成比例？
问题 3　你认为△ADE 与△ABC 之间有什么关系？平行移动 DE 的位置，你的结论还成立吗？通过度量，我们发现△ADE∽△ABC，且只要 DE∥BC，这个结论恒成立．
想一想：我们通过度量三角形的边长，知道△ADE∽△ABC，但要用相似的定义去证明它，我们需要证明什么？ 由前面的结论，我们可以得到什么？还需证明什么？
由前面的结论可得 需要证明的是 　而除 DE 外，其他的线段都在△ABC 的边上，要想利用前面学到的结论来证明三角形相似，需要怎样做呢？可以将 DE 平移到 BC 边上去．
用相似的定义证明△ADE∽△ABC． 证明：在 △ADE 与 △ABC 中∠A＝∠A．∵　DE∥BC，∴　∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C．如图，过点 D 作 DF∥AC，交 BC 于点 F．∵　DE∥BC，DF∥AC，
∴∵　四边形 DFCE 为平行四边形，∴　DE=FC，∴∴　△ADE∽△ABC．
由此我们得到判定三角形相似的定理：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
三角形相似的两种常见类型：
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线)，所得的对应线段成比例．
相似三角形判定的引理：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
1．如图，已知 l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是(　　)． A． B．C. D.
2．如图，DE∥BC， 则 _______ ；FG∥BC， 则 _______ ．
3．已知：如图，AB∥EF∥CD，图中共有_______ 对相似三角形．
4．若△ABC 与△A′B′C′ 相似，一组对应边的长为 AB＝3 cm，A′B′＝4 cm，那么△A′B′C′ 与△ABC 的相似比是_____．
5．如图，在△ABC 中，DE∥BC，则△ ____ ∽△ ____，对应边的比例式为 ＝ ____ ＝ ____ ．
6．已知△ABC∽△A1B1C1，相似比是 1∶4，△A1B1C1∽△A2B2C2，相似比是 1∶5，则△ABC 与△A2B2C2 的相似比为_______．
7．如图，在□ABCD 中，EF∥AB，DE∶EA＝2∶3，EF＝4，求 CD 的长．解：∵　EF∥AB，DE∶EA＝2∶3，∴　△DEF ∽ △DAB．∴　 即解得 AB＝10．又 ∵　四边形 ABCD 为□，∴　CD＝AB＝10．
8．如图，已知菱形 ABCD 内接于△AEF，AE＝5 cm，AF＝4 cm，求菱形的边长．解：∵　四边形 ABCD 为菱形，∴　CD∥AB，∴　设菱形的边长为 x cm，则 CD＝AD＝x cm，DF＝(4－x)cm，∴　 解得 x＝ ∴菱形的边长为 cm．
教科书第 42 页习题 27. 2 第 4，5 题．
第二十七章　相似 27. 2.1　相似三角形的判定 第二课时　三边成比例的两个三角形相似
1．什么是相似三角形？在前面的课程中，我们学过哪些判定三角形相似的方法？2．证明三角形全等有哪些方法？3．类似于判定三角形全等的 SSS 方法，我们能不能通过三边来判定两个三角形相似呢？　
画 △ABC 和 △A′B′C′，使 动手量一量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两个三角形是否相似？
通过测量不难发现∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，∠C＝∠C'，又因为两个三角形的边对应成比例，所以△ABC ∽△A′B′C′．下面我们用前面所学得定理证明该结论．
证明： 在线段 AB(或延长线)上截取 AD＝A′B′，过点 D 作 DE∥BC 交 AC 于点 E．∵　DE∥BC ，∴　△ADE∽△ABC． ∴又 　 AD＝A′B′，∴
∴　DE＝B′C′，EA＝C′A′．∴　△ADE≌△A′B′C′，△A′B′C′ ∽△ABC．
归纳：由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理：三边成比例的两个三角形相似．符号语言：∵ ∴ 　△ ABC ∽ △A′B′C′．
例 1　判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．
解：在△ABC 中，AB＞BC＞CA，在△DEF 中， DE＞ EF＞FD．∵∴∴　△ABC ∽ △DEF．
方法总结：判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等．注意：计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应．
例 2　如图，在 Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′ 中，∠C＝∠C′ ＝90º，且 　　　 求证：△ A′B′C′∽△ABC．
证明：由已知条件得 AB＝2A′B′，AC＝2A′C′，∴　BC2＝AB2－AC2＝(2A′B′)2－(2A′C′)2＝4A′B′2－4A′C′2＝4(A′B′2－A′C′2)＝4B′C′2＝(2B′C′)2．∴　BC＝2B′C′，∴　△A′B′C′∽△ABC．(三边对应成比例的两个三角形相似)
例 3　如图，在 △ABC 和 △ADE 中， ∠BAD＝20°，求∠CAE 的度数．
解：∵　∴　△ABC ∽△ADE．∴　∠BAC＝∠DAE，∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即　∠BAD＝∠CAE．∵　∠BAD＝20°，∴　∠CAE＝20°．
例 4　如图，已知 AB∶AD＝BC∶DE＝AC∶AE，找出图中相等的角(对顶角除外)，并说明你的理由．
解：在 △ABC 和 △ADE 中，∵　AB∶CD＝BC∶DE＝AC∶AE，∴　△ABC∽△ADE．∴　∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠D，∠C＝∠E．∴　∠BAC－∠CAD ＝∠DAE－∠CAD ．∴　∠BAD＝∠CAE．故图中相等的角有∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠D，∠C＝∠E，∠BAD＝∠CAE．
三边成比例的两个三角形相似
利用三边判定两个三角形相似
相似三角形的判定定理的运用
1．已知 △ABC 和 △DEF，根据下列条件判断它们是否相似．(1)AB＝3，BC＝4，AC＝6， DE＝6，EF＝8，DF＝9； (2)AB＝4，BC＝8，AC＝10， DE＝20，EF＝16，DF＝8； (3)AB＝12，BC＝15，AC＝24， DE＝16，EF＝20，DF＝30．
2．如图，在大小为 4×4 的正方形网格中，是相似三角形的是(　　)． A． ① 和 ②B．② 和 ③ C． ① 和 ③D．② 和 ④
3．如图，∠APD＝90°，AP＝PB＝BC＝CD，下列结论正确的是(　　)．A．△PAB∽△PCA B．△PAB∽△PDA C．△ABC∽△DBA D．△ABC∽△DCA
解析：设AP＝PB＝BC＝CD＝1，∵　∠APD＝90°，∴　AB＝ 　AC＝ 　AD＝ ∵　 AB∶BC＝BD∶AB＝AD∶AC，∴　△ABC∽△DBA，故选 C．
4．根据下列条件，判断△ABC 与△A′B′C′ 是否相似：AB＝4 cm，BC＝6 cm，AC＝8 cm，A′B′＝12 cm，B′C′＝18 cm，A′C′＝21 cm．答案：不相似．
5．如图，△ABC 中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点，求证：△ABC∽△EFD．
证明：∵△ABC 中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA的中点，∴∴∴　△ABC∽△EFD．
6．如图，某地四个乡镇 A，B，C，D 之间建有公路，已知 AB＝14 千米，AD＝28 千米，BD＝21 千米，DC＝31.5 千米，公路 AB 与 CD 平行吗？说出你的理由．
解：公路 AB 与 CD 平行．∴∴　△ABD∽△BDC，∴　∠ABD＝∠BDC，∴　AB∥DC．
教科书第 34 页练习第 2，3 题．教科书第 42 页习题 27.2 第 1，2 题．
第二十七章　相似 27.2.1　相似三角形的判定 第三课时　两边成比例且夹角相等的 两个三角形相似
1．回忆我们学习过的判定三角形相似的方法．类比证明三角形全等的方法，猜想证明三角形相似还有哪些方法？2．类似于判定三角形全等的 SAS 方法，能不能通过两边和夹角来判定两个三角形相似呢？
用刻度尺和量角器画 △ABC 和 △A′B′C′，使∠A＝∠A′， 量出 BC 及 B′C′ 的长，它们的比值等于 k 吗？再量一量两个三角形另外的两个角，你有什么发现？△ABC 与 △A′B′C′ 有何关系？改变 k 和∠A 的值的大小，是否有同样的结论？
如图，在 △ABC 与 △A′B′C′ 中，已知 ∠A＝∠A′，求证：△ABC∽△A′B′C′．证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上截取点 D，使 A′D＝AB．过点 D 作 DE∥B′C′，交 A′C′ 于点 E．∵　DE∥B′C′，∴　△A′DE∽△A′B′C′．∴
∵　A′D＝AB，∴∴　A′E＝AC． 又　∠A′＝∠A．∴　△A′DE ≌ △ABC，∴　△A′B′C′ ∽ △ABC．
归纳：由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．符号语言：∵　　　　　　　∠A＝∠A′，∴　△ABC ∽ △A′B′C′．
思考：对于 △ABC 和 △A′B′C′，如果 A′B′∶AB＝A′C′∶AC．∠B＝∠B′，这两个三角形一定会相似吗？ 不会，如下图，因为不能证明构造的三角形和原三角形全等．
结论：如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角．
例 1　根据下列条件，判断△ABC 和△A′B′C′ 是否相似，并说明理由：∠A＝120° ，AB＝7 cm，AC＝14 cm，∠A′＝120°，A′B′＝3 cm ，A′C′＝6 cm．解：∵ ∴又　∠A′＝∠A，∴　△ABC ∽ △A′B′C′．
例 2　如图，△ABC 与△ADE 都是等腰三角形，AD＝AE，AB＝AC，∠DAB＝∠CAE．求证：△ABC ∽△ADE．证明：∵　△ABC 与 △ADE 是等腰三角形，∴　AD＝AE，AB＝AC，∴　又∵　∠DAB＝∠CAE，∴　∠DAB +∠BAE＝∠CAE +∠BAE，即　∠DAE＝∠BAC，∴　△ABC ∽ △ADE．
例 3　如图，D，E 分别是△ABC 的边 AC，AB 上的点，AE＝1.5，AC＝2，BC＝3，且 求 DE 的长．
解：∵　AE＝1.5，AC＝2， ∴又∵　∠EAD＝∠CAB，∴ 　△ADE ∽△ABC，∴∴　
例 4　如图， 在△ABC 中，CD 是边 AB 上的高，且 　　　　　　　　　　　　　 求证 ∠ACB＝90°．
证明： ∵　CD 是边 AB 上的高，∴　∠ADC＝∠CDB＝90°．∵∴　△ADC ∽△CDB．∴　∠ACD＝∠B，∴　∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝∠B＋∠BCD＝90°．方法总结：解题时需注意隐含条件，如垂直关系，三角形的高等．
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
利用两边及夹角判定三角形相似
1．判断．(1)两个等边三角形相似． (　　)(2)两个直角三角形相似． (　　)(3)两个等腰直角三角形相似． (　　)(4)有一个角是 50°的两个等腰三角形相似． (　　)
2．如图，D 是△ABC 一边 BC 上一点，连接 AD，使 △ABC ∽ △DBA 的条件是(　　)． A．AC∶BC＝AD∶BD B．AC∶BC＝AB∶ ADC．AB2＝CD · BCD．AB2＝BD · BC
3．如图△AEB 和△FEC_______ (填“相似”或“不相似”)．
4．如图，已知△ABC 中，D 为边 AC 上一点，P 为边 AB 上一点，AB＝12，AC＝8，AD＝6，当 AP 的长度为 _______ 时，△ADP 和△ABC 相似．
解：当△ADP ∽△ACB 时，AP∶AB＝AD∶AC ，∴　AP∶12＝6∶8. 解得 　　　　　　　AP＝9；当△ADP ∽△ABC 时，AD∶AB＝AP∶AC，∴　6∶12＝AP∶8，解得 　　　　　　　AP＝4．∴　当 AP 的长度为 4 或 9 时，△ADP 和△ABC 相似．
5．如图，在四边形 ABCD 中，已知 ∠B＝∠ACD， AB＝6，BC＝4，AC＝5，CD＝ ，求 AD 的长．
解：∵　AB＝6，BC＝4，AC＝5，CD＝ ， ∴　又∵　∠B＝∠ACD，∴　△ABC ∽ △DCA，∴ 　 ∴
6．如图，∠DAB＝∠CAE，且 AB·AD＝AE·AC，求证 △ABC ∽△AED． 证明：∵　AB · AD＝AE · AC，∴ 又∵　∠DAB＝∠CAE，∴　∠ DAB＋∠BAE＝∠CAE＋∠BAE，即　∠DAE＝∠BAC，∴ 　△ABC ∽△AED．
教科书第 42 页习题 27. 2 第 3 题．
第二十七章　相似 27.2.1　相似三角形的判定 第四课时　两角分别相等的两个三角形相似
学校举办活动，需要三个内角分别为 90°，60°，30°的形状相同，大小不同的三角纸板若干．小明手上的测量工具只有一个量角器，他该怎么做呢？
与同伴合作，一人画△ABC，另一人画△A′B′C′，使∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，探究下列问题：问题一　度量 AB，BC，AC，A′B′，B′C′，A′C′ 的长，并计算出它们的比值．你有什么发现？
问题二　试证明△A′B′C′∽△ABC．证明：在△ABC 的边 AB(或 AB 的延长线)上，截取 AD＝A′B′，过点 D 作 DE∥BC，交 AC 于点 E，则有△ADE ∽△ABC，∠ADE＝∠B．∵　∠B＝∠B′，∴　∠ADE＝∠B′．又∵　 AD＝A′B′，∠A＝∠A′，∴　△ADE ≌△A′B′C′．∴　△A′B′C′ ∽△ABC．
归纳：由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理：两角分别相等的两个三角形相似．符号语言：∵　∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，∴　△ABC∽△A'B'C'．
例 1　如图，△ABC 和△DEF 中，∠A＝40°，∠B＝80°，∠E＝80°，∠F＝60°．求证：△ABC ∽△DEF．证明：∵　在 △ABC 中，∠A＝40°，∠B＝80°，∴　∠C＝180°－∠A－∠B＝60°．∵　在 △DEF 中， ∠E＝80°， ∠F＝60°．∴　∠B＝∠E ， ∠C＝∠F．∴　△ABC ∽△DEF．
例 2　如图，弦 AB 和 CD 相交于 ⊙O 内一点 P，求证：PA·PB＝PC·PD．证明：连接 AC，DB．∵　∠A 和 ∠D 都是弧 CB 所对的圆周角，∴　∠A＝ _______．同理　∠C＝ _______，∴　△PAC ∽ △PDB．∴　__________ 即 PA·PB＝PC·PD．
两角分别相等的两个三角形相似
利用两角判定三角形相似
1．如图，在△ABC 和△A'B'C'中，若∠A＝60°，∠B＝40°，∠A'＝60°，当∠C'＝_____时，△ABC ∽△A'B'C'．
2．如图，△ABC 中，AE 交 BC 于点 D，∠C＝∠E，AD∶DE＝3∶5，AE＝8，BD＝4，则 DC 的长等于(　　)． A． B．C． D．
3．如图，点 D 在 AB 上，当∠_______ ＝∠_______ (或∠_______ ＝∠_______ )时， △ACD∽△ABC．
4．如图，⊙O 的弦 AB，CD 相交于点 P，若 PA＝3， PB＝8，PC＝4，则 PD＝____．
5．如图，△ABC 中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．证明：∵　DE∥BC， EF∥AB，∴　∠AED＝∠C，∵　∠A＝∠FEC．∴　△ADE∽△EFC．
教科书第 36 页练习第 1 题．教科书第 57 页复习题 27 第 1，2，3题．
第二十七章　形似 27.2.1　相似三角形的判定 第五课时　直角三角形相似的判定
1． 回忆我们学习过的判定三角形相似的方法．2．类似于判定三角形全等的方法，能不能通过直角边与斜边来判定两个三角形相似呢？
利用两组角判定两个三角形相似的定理：两角分别相等的两个三角形相似．符号语言：∵　∠A＝∠A' ，∠B＝∠B'，∴　△ABC ∽ △A'B'C'．
归纳：由此得到一个判定直角三角形相似的方法：有一个锐角相等的两个直角三角形相似．
思考：对于两个直角三角形，我们还可以用 “HL”判定它们全等．那么，满足斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似吗？
证明：设______________＝k，则 AB＝kA′B′，AC＝kA′B′．由__________ ，得∴　　 ∴　Rt △ABC ∽ Rt △A′B′C′．
归纳：由此得到另一个判定直角三角形相似的方法：斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似．
例 1　如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8．E 是 AC 上一点，AE＝5，ED⊥AB，垂足为 D. 求AD 的长．解：∵　ED⊥AB，∴　∠EDA＝90°．又　∠C＝90°，∠A＝∠A，
∴　△AED ∽△ABC．∴　∴　
例 2　如图，已知：∠ACB＝∠ADC＝90°，AD＝2，CD＝　 ，当 AB 的长为____________时，△ACB 与 △ADC相似．
解析：∵　∠ADC＝90°，AD＝2，CD＝ ，∴　要使这两个直角三角形相似，有两种情况：(1)当 Rt△ABC ∽ Rt△ACD 时，有 AC : AD＝AB∶AC，即 ∶2＝AB∶ ，解得 AB＝3；(2)当 Rt△ACB ∽ Rt△CDA 时，有 AC : CD＝AB∶AC， 即 ∶ ＝AB∶ ，解得 AB＝ ∴　当 AB 的长为 3 或 时，这两个直角三角形相似．
1．在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C＝∠C′＝90° ，依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似．(1)∠A＝35° ，∠B′＝55°：_______ ；(2)AC＝3，BC＝4，A′C′＝6，B′C′＝8：_______ ；(3)AB＝10，AC＝8，A′B′＝25，B′C′＝15：_______ ．
2．如图，已知 AB∥DE，∠AFC＝∠E，则图中相似三角形共有(　　)． A．1对 　　B．2对C．3对 　　D．4对
3．如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于D．若 AB＝6，AD＝2，则 AC＝_______ ，BD＝_______ ，BC＝_______ ．
4．如图，△ABC 的高 AD，BE 交于点 F．求证：
证明： ∵　△ABC 的高 AD，BE 交于点 F，∴　∠FEA＝∠FDB＝90°，∠AFE＝∠BFD(对顶角相等)．∴　△FEA ∽ △ FDB，∴　　
5．如图，∠1＝∠2＝∠3，求证：△ABC ∽△ADE．证明：∵　∠BAC＝∠1＋∠DAC，∠DAE＝∠3＋∠DAC，∠1＝∠3，∴　 ∠BAC＝∠DAE．∵ 　∠C＝180°－∠2－∠DOC ，∠E＝180°－∠3－∠AOE，∠DOC ＝∠AOE(对顶角相等)，∴ ∠C＝∠E．∴ △ABC∽△ADE．
6．如图，BE 是 △ABC 的外接圆 O 的直径，CD 是△ABC 的高， 求证：AC·BC＝BE·CD．证明： 连接 CE，则∠A＝∠E．又∵　BE 是 △ABC 的外接圆 O 的直径，∴　∠BCE＝90º＝∠ADC．∵　∠A＝∠E，∠BCE＝∠ADC，∴　△ACD∽△EBC．∴ 　 ∴　 AC·BC＝BE·CD．
教科书第 36 页练习第 2，3 题．
第二十七章　相似 27. 2.2　相似三角形的性质
1．相似三角形的判定方法有哪几种？定义：对应边成比例，对应角相等的两个三角形相似；平行于三角形一边，与另外两边相交所构成的三角形与原三角形相似；三边成比例的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；两角分别相等的两个三角形相似；一组直角边和斜边成比例的两个直角三角形相似．
2．三角形除了三个角，三条边外，还有哪些要素？高；中线；角平分线；周长；面积3．如果两个三角形相似，那么，对应的这些要素有什么关系呢？
如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为 k，它们对应高，对应中线，对应角平分线的比各是多少？
解：如图，分别作出△ABC 和 △A'B'C' 的高 AD 和 A'D'．则∠ADB＝∠A'D'B'＝90°．∵　△ABC ∽△A′B′C′，∴　∠B＝∠B' ，∴　△ABD ∽△A' B' D' ．∴
归纳：由此我们可以得到： 相似三角形对应高的比等于相似比．类似地，可以证明相似三角形对应中线、角平分线的比也等于相似比．一般地，我们有：相似三角形对应线段的比等于相似比．
想一想：相似三角形的周长比也等于相似比吗？为什么？
如果△ABC ∽△A'B'C'，相似比为 k，那么因此 AB＝k A'B'，BC＝kB'C'，CA＝kC'A'，从而
如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们的面积比是多少？
归纳：由此得出：相似三角形面积的比等于相似比的平方．
例 1　已知△ABC∽△DEF，BG，EH 分别是△ABC 和 △DEF 的角平分线，BC＝6 cm，EF＝4 cm，BG＝4.8 cm．求 EH 的长．
解：∵　△ABC ∽△DEF，　∴　　 (相似三角形对应角平分线的比等于相似比)．∴ 　 解得 EH＝3.2 cm ．∴　故 EH 的长为 3.2 cm．
1．如果两个相似三角形的对应高的比为 2∶3，那么对应角平分线的比是_______ ，对应边上的中线的比是_____． 2．△ABC 与△A′B′C′ 的相似比为 3∶4，若 BC 边上的高 AD＝12 cm，则 B′C′ 边上的高 A'D' ＝_______．
3．已知两个三角形相似，请完成下列表格：
4．把一个三角形变成和它相似的三角形，(1)如果边长扩大为原来的 5 倍，那么面积扩大为原来的______倍；(2)如果面积扩大为原来的 100 倍，那么边长扩大为原来的______倍．
5．两个相似三角形的一对对应边分别是 35 cm，14 cm，(1)它们的周长差 60 cm，这两个三角形的周长分别是________________；(2)它们的面积之和是 58 cm2，这两个三角形的面积分别是______________．
100 cm，40 cm
例 2　如图，D，E 分别是 AC，AB 上的点，已知△ABC 的面积为 100 cm2，且 求四边形 BCDE 的面积．解：∵　∠BAC＝∠DAE，且 ∴　△ADE ∽△ABC．∵　它们的相似比为 3∶5，∴　面积比为 9∶25．又∵　△ABC 的面积为 100 cm2，∴　△ADE 的面积为 36 cm2 ．∴　四边形 BCDE 的面积为 100－36＝64(cm2)．
相似三角形对应线段的比等于相似比
相似三角形面积的比等于相似比的平方
1．判断：(1)一个三角形的各边长扩大为原来的 5 倍，这个三角形的周长也扩大为原来的 5 倍．(　　)(2)一个四边形的各边长扩大为原来的 9 倍，这个四边形的面积也扩大为原来的 9 倍． (　　)
2．在△ABC 和 △DEF 中，AB＝2DE，AC＝2DF， ∠A＝∠D，AP，DQ 是中线，若 AP＝2，则 DQ 的值(　　)． A．2 B．4 C．1 D．
3．连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于_____ ，面积比等于_____．4．两个相似三角形对应的中线长分别是 6 cm 和 18 cm，若较大三角形的周长是 42 cm，面积是 12 cm2，则较小三角形的周长____cm，面积为____cm2．
5．如图，这是圆桌正上方的灯泡(点 A)发出的光线照射桌面形成阴影的示意图，已知桌面的直径为 1.2 米，桌面距离地面为 1 米，若灯泡距离地面 3 米，则地面上阴影部分的面积约为多少(结果保留两位小数)？解：∵　FH＝1 米，AH＝3 米，桌面的直径为 1.2 米，∴　AF＝AH－FH＝2(米)，DF＝1.2÷2＝0.6(米)．
∵　DF∥CH，∴　△ADF ∽△ACH．∴　 即解得 　　　　　　CH＝0.9米．∴　 阴影部分的面积为：答：地面上阴影部分的面积为 2.54 平方米．
6．△ABC 中，DE∥BC，EF∥AB，已知 △ADE 和△EFC 的面积分别为 4 和 9，求 △ABC 的面积．解：∵　DE∥BC，EF∥AB，∴　△ADE∽△ABC ，∠ADE＝∠EFC，∠A＝∠CEF．∴　△ADE ∽△EFC．又∵　S△ADE∶S△EFC ＝4∶9，∴　AE∶EC＝2∶3．
则 　AE∶AC＝2∶5，∴　S△ADE∶S△ABC＝4∶25，∴　S△ABC＝25．
7．如图，△ABC 中，DE∥BC，DE 分别交 AB，AC 于点 D，E，S△ADE＝2S△DCE，求 S△ADE ∶S△ABC．解：过点 D 作 AC 的垂线，交点为 F，则∴　
又∵　DE∥BC，∴　△ADE ∽△ABC．∴即　S△ADE∶S△ABC ＝4∶9．
教科书第 39 页练习第 2，3 题．教科书第 57 页复习题 27 第 8，9，10题．
第二十七章　相似 27.2　相似三角形 27.2.3　相似三角形应用举例
世界上最宽的河 ——亚马逊河
据传说，古希腊数学家，天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度．
例 1　如图，木杆 EF 长 2 m，它的影长 FD 为 3 m，测得 OA 为 201 m，求金字塔的高度 BO．解：太阳光是平行的光，因此 ∠BAO＝∠EDF．又 ∠AOB＝∠DFE＝90°，∴　△ABO ∽△DEF．∴ ∴ 因此金字塔的高度为 134 m．
归纳：测高方法一：测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决．表达式：物1高∶物2高＝影1长∶影2长
想一想：还可以有其他测量方法吗？
测高方法二：测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决．
例 2　如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点 P，在近岸取点 Q 和 S，使点 P，Q，S 共线且直线 PS 与河垂直，接着在过点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选择适当的点 T，确定 PT 与过点 Q 且垂直 PS 的直线 b 的交点 R．已知测得 QS＝45 m，ST＝90 m，QR＝60 m，请根据这些数据，计算河宽 PQ．
解：∵　∠PQR＝∠PST＝90º，∠P＝∠P，∴　△PQR∽△PST． ∴　 即　PQ×90＝(PQ＋45)×60．解得 PQ＝90．因此，河宽大约为 90 m．
例 3　如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点 A，再在河的这一边选点 B 和 C，使 AB⊥BC，然后，再选点 E，使 EC⊥BC，用视线确定 BC 和 AE 的交点 D．此时如果测得 BD＝120 米，DC＝60 米，EC＝50 米，求两岸间的大致距离 AB．
解：∵　∠ADB＝∠EDC，∠ABC＝∠ECD＝90°，  ∴　△ABD∽△ECD．∴　　 即 解得 AB＝100． 因此，两岸间的大致距离为 100 m．
归纳：测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，常构造相似三角形求解．
例 4　如图，左，右并排的两棵大树的高分别是 AB＝8 m 和 CD＝12 m，两树底部的距离 BD＝5 m，一个人估计自己眼睛距离地面 1.6 m，她沿着正对这两棵树的一条水平直路 l 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端 C 了？
分析：如图，设观察者眼睛的位置(视点)为点 F，画出观察者的水平视线 FG，它交 AB，CD 于点 H，K．视线 FA，FG 的夹角 ∠AFH 是观察点 A 的仰角．类似地，∠CFK 是观察点 C 时的仰角，由于树的遮挡，区域Ⅰ和Ⅱ都在观察者看不到的区域(盲区)之内．再往前走就根本看不到 C 点了．
解：如图，假设观察者从左向右走到点 E 时，她的眼 睛的位置点 E 与两棵树的顶端点 A，C 恰在一条直线上．∵　AB⊥l，CD⊥l，∴　AB∥CD．∴　△AEH∽△CEK．∴　　即　
解得 EH＝8．由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边的树的距离小于 8 m 时，由于这棵树的遮挡，就看不到右边树的顶端 C．
利用相似三角形测量高度
利用相似三角形测量宽度
利用相似解决有遮挡物问题
1．小明身高 1.5 米，在操场的影长为 2 米，同时测得教学大楼在操场的影长为 60 米，则教学大楼的高度应为(　　)． A．45 米 B．40 米 C．90 米 D．80 米 2. 小刚身高 1.7 m，测得他站立在阳光下的影子长为 0.85 m 紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为 1.1 m，那么小刚举起的手臂超出头顶(　　)． A．0.5 m B．0.55 m C．0.6 m D． 2.2 m
3．如图，九年级某班数学兴趣小组的同学想利用所学数学知识测量学校旗杆的高度，当身高 1.6 米的楚阳同学站在 C 处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，同一时刻，其他成员测得 AC＝2 米，AB＝10 米，则旗杆的高度是______米．
4．如图，为了测量水塘边 A，B 两点之间的距离，在可以看到 A，B 的点 E 处，取 AE，BE 延长线上的 C，D 两点，使得 CD∥AB．若测得 CD＝5 m，AD＝15 m，ED＝3 m，则 A，B 两点间的距离为 m．
5．如图所示，有点光源 S 在平面镜上面，若在 P 点看到点光源的反射光线，并测得 AB＝10 cm，BC＝20 cm，PC⊥AC，且 PC＝24 cm，则点光源 S 到平面镜的距离 SA 的长度为_______ ．
6．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板 DEF 来测量操场旗杆 AB 的高度，他们通过调整测量位置，使斜边 DF 与地面保持平行，并使边 DE 与旗杆顶点 A 在同一直线上，已知 DE＝0.5 米，EF＝0.25 米，目测点 D 到地面的距离 DG＝1.5 米，到旗杆的水平距离 DC＝20 米，求旗杆的高度．
解：由题意可得：△DEF∽△DCA，则 ∵　DE＝0.5 米，EF＝0.25 米，DG＝1.5 米，DC＝20 米，∴　 解得：　　　　　　　AC＝10．故 AB＝AC＋BC＝10＋1.5＝11.5(m)．答：旗杆的高度为 11.5 m．
7．如图，某一时刻，旗杆 AB 的影子的一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上．小明测得旗杆 AB 在地面上的影长 BC 为 9.6 m，在墙面上的影长 CD 为 2 m．同一时刻，小明又测得竖立于地面长 1 m 的标杆的影长为 1.2 m．请帮助小明求出旗杆的高度．
解：如图：过点 D 作 DE∥BC，交 AB 于点 E，∴　DE＝CB＝9.6 m，BE＝CD＝2 m．∵　在同一时刻物高与影长成正比例，∴　EA : ED＝1 : 1.2．∴　AE＝8 m．∴　AB＝AE+EB＝8+2＝10(m)．答：学校旗杆的高度为 10 m．