初中数学湘教版（2024）八年级上册（2024）第5章 直角三角形5.3 直角三角形全等的判定公开课课件ppt

这是一份初中数学湘教版（2024）八年级上册（2024）第5章 直角三角形5.3 直角三角形全等的判定公开课课件ppt，共26页。PPT课件主要包含了类比探究，等腰三角形，ABAC，∠B∠C，等边三角形，ACBC，∠A∠B，等边三角形的性质，一条对称轴，三条对称轴等内容，欢迎下载使用。
问题1 等边三角形的三个内角之间有什么关系？
AB = AC = BC
等边三角形的性质定理：等边三角形的各角等于 60°.
如图，△ABC 是等边三角形，则 AB = AC = BC.由于 AB＝AC，则根据等腰三角形的性质定理得，∠B＝∠C.同理，由于AC＝BC，因此∠A＝∠B，从而∠A＝∠B＝∠C.根据三角形内角和定理得，∠A+∠B+∠C＝180°，因此∠A＝∠B＝∠C＝60°.
问题2 等边三角形有“三线合一”的性质吗？等边三角形有几条对称轴？
结论：等边三角形每条边上的中线，高和所对角的平分线都“三线合一”.
顶角的平分线、底边上的高、底边的中线三线合一
每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合
底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合
例1 如图，△ABC 是等边三角形，E 是 AC 上一点，D 是 BC 延长线上一点，连接 BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED 的度数．
解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∵∠ABE＝40°，∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°.∵ BE＝DE，∴∠D＝∠EBC＝20°.∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°.
方法总结：等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是 60°，这个性质常应用在求三角形角度的问题上，一般需结合“等边对等角”、三角形的内角和与外角的性质等知识求解.
由上可知，等边三角形的三个角相等，其逆命题成立吗？
逆命题成立. 如图，在△ABC 中，由于∠A =∠B，则 AC = BC.同理可由∠B =∠C 得 AB = AC.于是AB = AC = BC.因此△ABC 是等边三角形.
等边三角形的判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形.
如图，在△ABC 中，AB＝AC.
情形1 设∠A＝60°.根据三角形内角和定理得∠B+∠C＝180°－∠A=180°－60°＝120°.由于AB＝AC，因此∠B＝∠C＝60°于是△ABC 是等边三角形.
情形2 设∠B＝60°.由于AB＝AC，因此∠C＝∠B＝60°，从而∠A＝180°－∠B－∠C=180°－60°－60°＝60°因此△ABC 是等边三角形.
情形3 设∠C＝60°.与情形2 类似，同理可证△ABC 是等边三角形.
等边三角形的判定定理2：有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形.
例2 如图，在等边三角形 ABC 中，DE∥BC.求证：△ADE 是等边三角形.
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A =∠B =∠C.
∴∠ADE =∠B，∠AED =∠C.
∴∠A =∠ADE =∠AED.
∴△ADE 是等边三角形.
想一想：本题还有其他证法吗？
例3 等边△ABC 中，点 P 在△ABC 内，点 Q 在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ 是什么形状的三角形？试证明你的结论．
解：△APQ 为等边三角形．证明如下：∵△ABC 为等边三角形，∴ AB＝AC，∠BAC＝60°.∵ BP＝CQ，∠ABP＝∠ACQ， ∴△ABP≌△ACQ (SAS).∴ AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ.∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°，∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°.∴△APQ 是等边三角形.
方法总结：判定一个三角形是等边三角形有以下方法：一是证明三角形三条边相等；二是证明三角形三个内角相等 (或两个内角等于 60°)；三是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个内角等于 60°.
3．如图，已知等边三角形ABC的高为7 cm，P为△ABC内一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，则PD＋PE＋PF＝________.
4．如图，在等边三角形ABC的边AC上任取一点D，以CD为边向外作等边三角形CDE，连接BD，AE.求证：(1)△BCD≌△ACE；
【解】因为△ABC和△CDE都是等边三角形，所以BC＝AC，DC＝EC，∠BCD＝∠DCE＝60°.所以△BCD≌△ACE(SAS)．
(2)∠ABD＝∠AED.
【证明】因为△BCD≌△ACE，所以∠BDC＝∠AEC.因为∠BDC＝∠BAC＋∠ABD，∠AEC＝∠DEC＋∠AED，所以∠BAC＋∠ABD＝∠DEC＋∠AED.因为△ABC和△CDE都是等边三角形，所以∠BAC＝∠DEC＝60°，所以∠ABD＝∠AED.
【点拨】如图，点D恰好落在BC上．因为△ABC是等边三角形，所以∠A＝∠C＝60°，所以∠COD＋∠ODC＝180°－∠C＝120°.因为将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD，