初中数学湘教版（2024）八年级上册（2024）4.6 线段的垂直平分线优质课课件ppt

这是一份初中数学湘教版（2024）八年级上册（2024）4.6 线段的垂直平分线优质课课件ppt，共23页。PPT课件主要包含了线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线的判定，于是OAOC等内容，欢迎下载使用。
3.能运用线段的垂直平分线的有关知识进行证明或计算.
某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区 A、B、C 之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？
观察：已知点 P 与点 P′ 关于直线 l 对称，如果将线段 PP′ 沿直线 l 折叠，那么点 P 与点 P′ 重合，PD = P′D，∠1 =∠2 = 90°，即直线 l 既平分线段 PP′，又垂直于线段 PP′.
垂直并且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线.(或中垂线)
由上可知：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.
直线 l 就是线段 PP' 的垂直平分线.
如图，直线 l 垂直平分线段 AB，P1，P2，P3，…是 l 上的点，请你量一量线段 P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B 的长，你能发现什么？请猜想点 P1，P2，P3，… 到点 A 与点 B 的距离之间的数量关系．
P1A ____P1B
P2A ____ P2B
P3A ____ P3B
于是∠ADP =∠BDP = 90°.在△PAD 和△PBD 中，
设 D 是线段 AB 的中点，根据线段的垂直平分线的定义可知，点 D 在直线 l 上，并且 PD⊥AB，
所以△PAD≌△PBD (边角边).因此 PA＝PB.
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
线段垂直平分线的性质定理：
例1 如图，在 △ABC 中，AB＝AC＝20 cm，DE 垂直平分 AB，垂足为 E，交 AC 于 D，若△DBC 的周长为 35 cm，则 BC 的长为 (　　)
A．5 cmB．10 cmC．15 cmD．17.5 cm
解析：∵ DE 垂直平分 AB，∴ AD＝BD.又∵△DBC 的周长为 BC＋BD＋DC ＝ 35 cm，∴ BC＋AD＋DC＝ 35 cm.∵ AC＝AD＋DC＝20 cm，∴ BC＝35－20＝15 (cm). 故选 C.
方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的转化，从而求出未知线段的长．
说一说：线段垂直平分线的性质定理的条件是什么？结论是什么？它的逆命题是什么?
条件是：一个点在一条线段的垂直平分线上.结论是：这个点到这条线段两端的距离相等.它的逆命题是：如果一个点到一条线段两端的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上.
下面来证明上述逆命题是真命题， 如图，当点 M 不在线段 AB 上时，连接 MA，MB，由于 MA = MB，则△MAB 是等腰三角形. 取 AB 的中点 D，连接 MD，则 MD 是△MAB 的底边 AB 上的中线，也是 AB 上的高线.
因此，直线 MD 是线段 AB 的垂直平分线，从而点 M 在线段 AB 的垂直平分线上.
当点 M 在线段 AB 上时，则 M 就是 AB 的中点，因而点 M 在 AB 的垂直平分线上.
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
线段垂直平分线的性质定理的逆定理：
应用格式：因为 PA = PB，所以点 P 在 AB 的垂直平分线上．
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
例2 如图，在△ABC 中，AB，BC 的垂直平分线相交于点 O，连接 OA，OB，OC.求证：点 O 在 AC 的垂直平分线上.
证明：因为点O在线段AB的垂直平分线上，
所以OA = OB(线段垂直平分线的性质定理).
同理 OB = OC.
所以点 O 在 AC 的垂直平分线上(线段垂直平分线的性质定理的逆定理).
结论：三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等.
2．如图，△ABC中，∠A＝45°，AB的垂直平分线交AC于点E，BC的垂直平分线交AC于点F，点D，G分别是垂足，若AE＝6，EF＝8，FC＝10，则△ABC的面积是________．
3．如图，在△ABC中，DE，DF分别为BC，AB边的垂直平分线，连接AD，CD.(1)若∠B＝40°，求∠ACD的度数；
【解】连接BD并延长，交AC于H，如图．因为DE，DF分别为BC，AB边的垂直平分线，所以DA＝DB，DC＝DB，所以∠DAB＝∠DBA，∠DCB＝∠DBC，所以∠ADH＝∠DAB＋∠DBA＝2∠DBA，∠CDH＝∠DCB＋∠DBC＝2∠DBC，所以∠ADC＝2∠ABC＝80°.
(2)判断∠B与∠ACD之间的数量关系，并说明理由．
【解】∠ABC＋∠ACD＝90°，理由如下：因为∠ACD＋∠CAD＋∠ADC＝180°，所以2∠ACD＋2∠ABC＝180°，所以∠ACD＋∠ABC＝90°.
4．游戏时，3名同学分别站在△ABC三个顶点的位置上、要求在他们中间放一个凳子，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在△ABC的(　　)A．三边的垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点C．三条高所在直线的交点D．三条中线的交点