15.2.1线段的垂直平分线的性质与判定（培优课件）-2026-2027学年沪科版数学八年级上册（新教材）

这是一份数学八年级上册（2024）15.2 线段的垂直平分线精品ppt课件，共24页。PPT课件主要包含了探究发现，线段垂直平分线的性质，你能验证这一结论吗，验证结论，几何表达，有PAPB，逆命题，线段垂直平分线的判定，∴ACBC，第1题等内容，欢迎下载使用。
如图，直线l垂直平分线段 AB，P1，P2，P3，…是 l 上的点，请你量一量线段 P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B 的长，你能发现什么，请猜想点P1，P2，P3，… 到点 A 与点 B 的距离之间的数量关系．
P1A ____P1B
P2A ____ P2B
P3A ____ P3B
猜想：点 P1，P2，P3，… 到点 A 与点 B 的距离分别相等．
猜测：线段垂直平分线上的点和线段两端的距离相等.
由此你能得到什么结论？
已知：如图，直线 l⊥AB，垂足为 C，AC = BC，点 P 在 l 上．求证：PA = PB．
证明：∵ l⊥AB，∴∠PCA =∠PCB．又 AC = BC，PC = PC，∴ △PCA≌△PCB (SAS)．∴ PA = PB．
线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离_____.
如果 l⊥AB，AC = BC，
那么对 l 上任意一点 P，
例1 如图，在△ABC 中，AB＝AC＝20 cm，DE 垂直平分 AB，垂足为 E，交 AC 于 D，若 △DBC 的周长为 35 cm，则 BC 的长为 (　　)
A．5 cmB．10 cmC．15 cmD．17.5 cm
解析：∵ △DBC 的周长为 BC＋BD＋CD ＝ 35 cm，又 DE 垂直平分 AB，∴ AD＝BD，故 BC＋AD＋CD＝35 cm.∵ AC＝AD＋CD＝20 cm，∴ BC＝35－20＝15 (cm). 故选 C.
方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．
例2 如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，E 为 CD 的中点，连接 AE、BE，BE⊥AE，延长 AE 交 BC 的延长线于点 F. 求证：(1) AD＝FC；(2) AB＝BC＋AD.
解析：(1) 根据 AD∥BC 可知∠ADE＝∠FCE，再根据 E 是 CD 的中点可得出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质证得结论；(2) 先根据线段垂直平分线的性质得出AB＝BF，再结合 (1) 即可得证．
证明：(1) ∵ AD∥BC，∴∠ADE＝∠FCE.∵ E 是 CD 的中点，∴ DE＝CE.又∵∠AED＝∠FEC，∴△ADE≌△FCE. ∴ FC＝AD.(2) ∵△ADE≌△FCE，∴ AE＝FE.又∵ BE⊥AE，∴ BE 是线段 AF 的垂直平分线. ∴ AB＝FB＝BC＋FC.∵ AD＝FC，∴ AB＝BC＋AD.
定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
它是真命题吗？你能证明吗？
已知：PA = PB，求证：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上.
证明：作 PC⊥AB，垂足为 C.
∴ ∠ACP =∠BCP = 90°.
在Rt△ACP 和 Rt△BCP 中，
∴ Rt△ACP≌Rt△BCP（HL）.
∴ 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上.
PA = PB，PC = PC，
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．
应用格式：∵ PA = PB，∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上．
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
知识点1 线段的垂直平分线的性质1. 如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是(　　)A.AB＝AD　　B.CA平分∠BCD C.AB＝BD　　D.△BEC≌△DEC
2.［2025连云港］如图，在△ABC中，BC＝7，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，则△AEG的周长为(　　)A.5　　B.6　　C.7　　D.8
3.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，连接CE.若CE＝CA，∠ACE＝40°，则∠B的度数为　 　.
【点拨】∵CE＝AC，∴∠A＝∠AEC.∵∠A＋∠AEC＋∠ACE＝180°，∠ACE＝40°，∴∠AEC＝70°.∵DE垂直平分BC，∴BE＝CE，∴∠B＝∠BCE.又∵∠AEC＝∠B＋∠BCE，∴∠B＝35°.
知识点2 线段的垂直平分线的判定4.如图，AC＝AD，BC＝BD，则有(　　)A.AB垂直平分CDB.CD垂直平分ABC.AB与CD互相垂直平分D.以上都不正确
到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，但并不表示经过该点的直线都是线段的垂直平分线.
5.如图，点D在△ABC的边BC上，且BC＝BD＋AD，则点D在某一线段的垂直平分线上.这条线段是(　　)A.AB　　B.AC　　C.BC　　D.不确定
【点拨】∵BC＝BD＋DC＝BD＋AD，∴AD＝CD，∴点D在线段AC的垂直平分线上.
6.已知在同一平面内，C，D是线段AB外的两点，AC＝BC，AD＝BD，点P在直线CD上.若AP＝5，则BP的长为(　　)A.2.5　　　　D.25
7.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC，AD，AB于点E，O，F，连接CO，BO.求证：点O在AB的垂直平分线上.
【证明】∵D是BC的中点，∴CD＝BD.又∵AB＝AC，∴AD垂直平分BC，∴BO＝CO.∵OE是AC的垂直平分线，∴AO＝CO，∴BO＝AO，∴点O在AB的垂直平分线上.