15.2.2线段的垂直平分线的尺规作图-2025-2026学年2024沪科版数学八年级上册教学课件

15.2.2 线段的垂直平分线的尺规作图幻灯片 1：封面标题：15.2.2 线段的垂直平分线的尺规作图副标题：以定理为基，用工具精准构建对称直线配图：包含尺规作图全过程示意图（线段 AB、两弧交点 C/D、垂直平分线 CD）、圆规与直尺工具图署名：授课教师：XXX 日期：2025 年 9 月幻灯片 2：情境导入（作图的必要性与原理衔接）一、生活中的作图需求建筑工人绘制地基图纸时，需精准画出线段的垂直平分线以确定对称结构的中轴线；手工制作等腰三角形卡片时，通过作底边的垂直平分线，可快速找到顶点位置；地图测绘中，需作两地连线的垂直平分线，确定到两地距离相等的区域边界。二、作图原理回顾（衔接判定定理）线段垂直平分线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；作图核心逻辑：若能找到两个 “到线段两端点距离相等的点”，则这两点的连线即为线段的垂直平分线（两点确定一条直线）。三、问题聚焦如何用圆规和直尺（无刻度）精准找到这两个特殊点？作图过程中，圆规的半径为何必须 “大于线段长度的一半”？如何验证所作直线一定是线段的垂直平分线？引出主题：本节课将详细拆解线段垂直平分线的尺规作图步骤，解析每一步的几何原理，总结易错点与验证方法，确保能独立、精准完成作图，并理解其与判定定理的内在联系。幻灯片 3：教学目标与重难点一、教学目标知识与技能理解线段垂直平分线尺规作图的原理（基于判定定理）；熟练掌握作图的完整步骤，能独立用圆规和直尺作出任意线段的垂直平分线；能通过定义或定理验证所作直线是否为线段的垂直平分线；会运用线段垂直平分线的作图解决 “找对称点”“确定等腰三角形顶点” 等问题。过程与方法通过 “原理分析→分步演示→动手实践→验证总结” 的过程，培养动手操作与几何推理结合的能力；经历 “从理论到实践” 的转化，体会尺规作图的严谨性与规范性。情感态度与价值观感受尺规作图的数学美感，体会 “工具受限下的精准构建”；在反复实践与验证中，培养耐心与细致的学习习惯，提升几何操作的信心。二、教学重难点重点：线段垂直平分线尺规作图的完整步骤与操作规范；难点：理解 “圆规半径大于线段一半” 的必要性（避免两弧无交点或仅交于一点）；作图过程中圆规半径的保持（确保两弧交点到线段两端点距离相等）；结合作图解决实际几何问题（如构造轴对称图形）。幻灯片 4：知识点 1—— 作图工具与原理深度解析一、必备工具圆规：用于画弧，核心作用是 “截取等长线段”（确保弧上的点到圆心距离相等）；直尺：用于画直线（连接两弧交点），需无刻度（符合尺规作图的 “无度量” 要求）；铅笔与白纸：用于标记点、线段和弧，便于后续验证。二、作图原理（基于判定定理的推导）第一步画弧的目的：以线段 AB 的端点 A 为圆心画弧：弧上任意一点到 A 的距离均等于圆规半径 R，即满足 “到 A 距离为 R”；以端点 B 为圆心画弧：弧上任意一点到 B 的距离也等于 R，即满足 “到 B 距离为 R”；两弧的交点（如 C、D）：同时满足 “到 A 距离 = R” 和 “到 B 距离 = R”，即 “到 A、B 距离相等”，根据判定定理，C、D 在 AB 的垂直平分线上。第二步连线的目的：两点确定一条直线，连接 C、D，直线 CD 即为 AB 的垂直平分线（因 C、D 均在垂直平分线上）。关键条件：半径 R > 1/2 AB若 R = 1/2 AB：两弧仅交于线段 AB 的中点，无法确定直线；若 R < 1/2 AB：两弧无交点，无法找到符合条件的点；若 R > 1/2 AB：两弧在 AB 两侧各交于一点（C、D），可确定唯一直线，故必须满足 R > 1/2 AB。幻灯片 5：知识点 2—— 作图步骤分步规范：直尺需对齐 C、D 两点，确保直线 CD 画直；中点 O 和垂直符号的标注，体现垂直平分线的 “平分” 与 “垂直” 特征。作图成果示意图 C /|\\ / | \\ / | \\ / | \\ A----O----B \\ | // \\ | // \\ | // \\|// D图中：CD⊥AB，AO=OB，CD 为 AB 的垂直平分线，C、D 到 A、B 的距离均为 R。幻灯片 6：知识点 3—— 作图验证方法（确保正确性）验证依据：线段垂直平分线的定义与性质方法 1：用定义验证（“平分”+“垂直”）验证 “平分”（AO=OB）：用圆规截取 AO 的长度，再对比 OB 的长度（以 O 为圆心，AO 为半径画弧，若弧过 B，则 AO=OB）；或用刻度尺测量（非尺规作图要求，仅用于验证）：测量 AO 和 OB 的长度，若相等，则 CD 平分 AB。验证 “垂直”（CD⊥AB）：用三角板的直角边对齐 CD 和 AB，若三角板的直角顶点与 O 重合，且两直角边分别与 CD、AB 重合，则 CD⊥AB；或用圆规验证：以 O 为圆心，任意长为半径画弧，交 CD 于 M、N，交 AB 于 P、Q，若 OM=ON、OP=OQ 且 MP=MQ，则 CD⊥AB（垂直的几何特征）。方法 2：用性质定理验证（点到两端点距离相等）在直线 CD 上任意取一点 P（非 C、D、O）；用圆规截取 PA 的长度，再对比 PB 的长度（以 P 为圆心，PA 为半径画弧，若弧过 B，则 PA=PB）；若 PA=PB，符合线段垂直平分线的性质定理，说明 CD 是 AB 的垂直平分线。常见错误与修正常见错误错误原因修正方法两弧无交点圆规半径 R ≤ 1/2 AB增大圆规半径，确保 R > 1/2 AB仅一个交点半径 R = 1/2 AB，或仅在 AB 一侧画弧调整半径至 R > 1/2 AB，在 AB 两侧均画弧交点到 A、B 距离不等画弧时圆规半径改变画弧过程中严格保持半径不变，可在纸上标记半径长度直线 CD 不直直尺未对齐 C、D 两点画直线时确保直尺边缘紧贴 C、D，缓慢移动铅笔幻灯片 7：知识点 4—— 作图的实际应用（解决几何问题）应用 1：确定线段的中点（间接应用）问题：已知线段 AB，用尺规作图找其中点 O；解法：作 AB 的垂直平分线 CD，CD 与 AB 的交点 O 即为 AB 的中点（依据垂直平分线的 “平分” 特征）；优势：无需测量，精准确定中点，适用于无刻度工具的场景。应用 2：构造等腰三角形问题：已知线段 AB，以 AB 为底边，作一个等腰三角形△ABC（AC=BC）；解法：作 AB 的垂直平分线 CD；在 CD 上任意取一点 C（不与 O 重合）；连接 AC、BC，△ABC 即为等腰三角形（依据性质定理，C 在 CD 上，故 AC=BC）；拓展：若需指定等腰三角形的腰长，可调整圆规半径（如腰长 = 5cm，以 A 为圆心，5cm 为半径画弧，与 CD 的交点即为 C）。应用 3：找关于线段的对称点问题：已知线段 AB 和点 P（不在 AB 上），找点 P 关于 AB 的对称点 P'；解法：连接 AP，作 AP 的垂直平分线，交 AP 于 M；延长 PM 至 P'，使 M P' = PM，则 P' 即为 P 关于 AB 的对称点；（简化方法）作 AB 的垂直平分线，结合 AP 的长度确定 P'，本质是利用垂直平分线的对称特征；原理：对称点的连线被对称轴（AB）垂直平分，故 P' 在 AP 的垂直平分线上，且 PM= M P'。幻灯片 8：课堂互动（分组动手实践与纠错）任务 1：基础作图练习（独立完成）材料：每人一套圆规、直尺、铅笔、白纸；任务：画线段 AB，使 AB=8cm；严格按照 4 步作图法，作 AB 的垂直平分线 CD；用 “定义验证法” 检查 CD 是否平分 AB 且垂直于 AB；在 CD 上取一点 E，用 “性质验证法” 检查 EA 是否等于 EB。评价标准：步骤完整（4 步均体现）；两弧有两个清晰交点；垂直平分线画直，标注中点与垂直符号；验证结果正确（EA=EB，AO=OB，CD⊥AB）。任务 2：小组合作 —— 解决实际问题题目：已知△ABC，用尺规作图作 BC 边的垂直平分线，交 AB 于 D，连接 CD，求证：CD=BD。要求：小组分工：1 人作图，1 人验证，1 人书写证明过程，1 人展示；作图步骤：先作 BC 的垂直平分线，确定与 AB 的交点 D；证明依据：结合线段垂直平分线的性质定理，推导 CD=BD；展示成果：说明作图步骤、验证方法及证明思路。幻灯片 9：中考真题演练（作图与应用结合）题目 1（2024・江苏中考）如图，已知线段 AB，求作：线段 AB 的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）。解析：作图痕迹要求：以 A 为圆心的两段弧（AB 上下各一段）；以 B 为圆心的两段弧（与前弧相交，半径与前者相等）；连接两交点的直线（垂直平分线）；标注交点 C、D（或仅保留弧与直线的痕迹）。题目 2（2024・浙江中考）如图，在△ABC 中，AB=AC，用尺规作图法作 BC 的垂直平分线，交 AC 于点 D，交 BC 于点 E，若 AD=2，DC=3，求 AB 的长。解析：作图：作 BC 的垂直平分线 DE（步骤略）；由垂直平分线性质得：BD=DC=3（D 在 BC 的垂直平分线上）；AB=AC=AD+DC=2+3=5；答案：AB=5。题目 3（2024・广东中考）如图，已知点 A、B 在直线 l 的同侧，求作点 P，使点 P 在直线 l 上，且 PA=PB（保留作图痕迹，不写作法）。解析：核心思路：PA=PB→P 在 AB 的垂直平分线上，故 P 为 AB 的垂直平分线与 l 的交点；作图步骤：① 作 AB 的垂直平分线 CD；② 标记 CD 与 l 的交点为 P，P 即为所求；作图痕迹：AB 的垂直平分线的弧与直线，及交点 P。幻灯片 10：课堂小结知识梳理作图核心逻辑：基于 “到线段两端点距离相等的点在垂直平分线上”，通过两弧交点确定垂直平分线；四步作图法：画线段→以 A 为圆心画弧→以 B 为圆心画弧（同半径）→连接交点；关键注意事项：半径必须大于线段长度的一半（R > 1/2 AB）；画弧过程中保持半径不变；标记清晰（交点、中点、垂直符号）；验证方法：用定义（平分 + 垂直）或性质（点到两端点距离相等）验证；实际应用：找中点、构造等腰三角形、找对称点。记忆口诀线段中垂线，尺规来作图；先画已知段，端点记清楚；A 为圆心弧，半径半长超；B 为圆心同半径，上下交点定；连接交点成直线，垂直平分标注全；验证平分与垂直，性质定理来辅助。幻灯片 11：作业布置基础题教材 PXX 练习 1-2 题（独立完成线段垂直平分线的尺规作图，保留痕迹）；已知线段 AB=5cm，用尺规作图作其垂直平分线，并在其上取两点，验证这两点到 A、B 的距离相等。提升题已知△ABC，用尺规作图作 AB、AC 的垂直平分线，标记它们的交点 O，验证 OA=OB=OC；已知直线 l 和线段 AB（AB 与 l 不垂直），用尺规作图作线段 AB 关于直线 l 的对称【2024新教材】沪科版数学 八年级上册 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1.理解和掌握线段垂直平分线的性质;（难点）2.通过观察、实验、猜测、验证与交流等活动，初步形成数学学习的方法;（难点）3.在数学学习的活动中，养成良好的思维习惯．学习目标 某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区 A、B、C 之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？ABC新课导入线段垂直平分线的尺规作图探究 怎样得到线段的垂直平分线？方法一：用刻度尺量出线段的长，找出线段的中点，再过中点用三角板画线段的垂线即可得到线段的垂直平分线.新课讲解AA'A(A')AA'lOlO方法二：通过折纸也可以得到线段的垂直平分线. 如图，在半透明纸上画一条线段 AA'，折叠使点 A 与 A' 重合，得到的折痕 l 所在的直线就是线段 AA' 的垂直平分线.新课讲解方法三：用尺规作图，作出线段 AB 的垂直平分线.(2) 过点 E，F 作直线.则直线 EF 就是线段 AB 的垂直平分线.ABEFO特别说明：这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图法，我们也可以用这种方法确定线段的中点.新课讲解例1 如图，A，B 是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站，使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？AB分析：增设的公共汽车站要满足到两个小区的路程一样长，应在线段 AB 的垂直平分线上，又要在公路边上，所以 AB 的垂直平分线与公路的交点便是.例题讲解证明：连接 PA，PB，PC.∵ 点 P 在 AB，AC 的垂直平分线上，(已知)∴ PA = PB，PA = PC. (线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等) ∴ PB = PC.∴ 点 P 在 BC 的垂直平分线上.(到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上)例2 已知：如图，已知△ABC 的边 AB，AC 的垂直平分线相交于点 P. 求证：点 P 在 BC 的垂直平分线上.BCAP例题讲解 三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等.现在你能回答讲课前提出的问题吗？你知道购物中心应该建在何处了吗？归纳总结在锐角三角形 ABC 内一点 P，满足 PA = PB = PC，则点 P 是△ABC ( )A.三条角平分线的交点B.三条中线的交点C.三条高的交点D.三边垂直平分线的交点D新课讲解D课堂练习2.如图，有 A，B，C 三个村庄，现准备要建一所希望小学，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置.BC学校在连接任意两点的两条线段的垂直平分线的交点处.A课堂练习 1.如图，在四边形OMTN中，OM＝ON，TM＝TN，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形.试探究筝形的对角线之间的位置关系，并证明你的结论.解:筝形的对角线互相垂直，即OT⊥MN.证明:如图，∵OM＝ON，TM＝TN，∴点O和T都在MN的垂直平分线上，∴OT是MN的垂直平分线，即OT⊥MN.2.如图，在△ABC中，∠BAC＝58°，O是AB、BC的垂直平分线的交点，求∠BOC的度数.解:∵O是AB、BC的垂直平分线的交点，∴OA＝OB，OB＝OC，∴OA＝OC，∴点O也在线段AC的垂直平分线上，即△OAB、△OBC、 △OAC都是轴对称图形，∴∠1＝∠3，∠4＝∠8，∠2＝∠7，∴∠BOC＝∠5＋∠6＝∠3＋∠1＋∠2＋∠7＝2(∠1＋∠2)＝2∠BAC＝116°.3.如图，跑道 l1、l2、l3 围成一块活动区域，分别交于点 A，B，C.小明和小杰分别在跑道的点 A，D 处，小明沿着射线 AC 的方向晨跑，小杰沿着射线 DC 的方向跑向小明，想与他一起晨跑.如果小明和小杰的速度相同，且同时出发.请用尺规作图法确定他们相遇时的位置 M.解：如下图示.在 AC 延长线上截取 CD′ = CD，作 AD′ 的线段垂直平分线.课堂练习方法与步骤线段垂直平分线的作法应用作图课堂小结必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！