4.6.2线段垂直平分线的作法（教学课件）湘教版2025-2026学年八年级数学上册

4.6.2 线段垂直平分线的作法教学幻灯片分页内容第 1 页：标题页标题：4.6.2 线段垂直平分线的作法副标题：初中数学 [对应年级]授课教师：[教师姓名]日期：[授课日期]第 2 页：复习引入复习回顾：上节课我们学习了线段垂直平分线的性质和判定定理，知道线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。问题提出：根据这些性质和判定，我们如何用尺规准确作出一条线段的垂直平分线呢？这就是本节课要学习的内容。学习意义：掌握线段垂直平分线的尺规作图方法，是解决几何作图问题的重要基础，能帮助我们更直观地理解线段垂直平分线的本质，为后续复杂图形的作图和证明提供支持。第 3 页：学习目标知识目标：理解线段垂直平分线尺规作图的依据；掌握用尺规作线段垂直平分线的具体步骤；能运用线段垂直平分线的作法解决相关几何作图问题。能力目标：通过动手操作，提高尺规作图的技能和规范作图的能力；培养运用数学知识解决实际作图问题的能力。情感目标：在作图过程中感受数学的严谨性和逻辑性，体会理论知识与实践操作的结合，激发对几何作图的兴趣。第 4 页：知识点 1—— 线段垂直平分线作图的依据依据原理：根据线段垂直平分线的判定定理 —— 到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。推理说明：如果我们能找到两个到线段两端点距离相等的点，那么过这两点的直线就是该线段的垂直平分线（因为两点确定一条直线）。操作思路：利用圆规以线段两端点为圆心，以大于线段一半的长度为半径画弧，两弧会产生两个交点，这两个交点到线段两端点的距离相等，因此过这两个交点的直线就是线段的垂直平分线。第 5 页：知识点 2—— 线段垂直平分线的尺规作图步骤已知：线段\(AB\)（给出线段\(AB\)的图形）。求作：线段\(AB\)的垂直平分线。作图步骤：以点\(A\)为圆心，以大于\(\frac{1}{2}AB\)的长为半径画弧（确保两弧能相交于两点，半径不能小于或等于线段一半，否则弧可能不相交或仅交于一点）。以点\(B\)为圆心，以同样的长（与步骤 1 相同的半径）为半径画弧，与步骤 1 中所画的弧分别交于点\(C\)和点\(D\)。过点\(C\)和点\(D\)作直线\(CD\)。直线\(CD\)即为所求作的线段\(AB\)的垂直平分线。图形演示：分步展示作图过程，标注弧的交点\(C\)、\(D\)和直线\(CD\)，明确每一步的操作要点。第 6 页：例题 1—— 作已知线段的垂直平分线例 1：已知线段\(MN = 4cm\)，用尺规作出它的垂直平分线。解析：已知：线段\(MN = 4cm\)。求作：线段\(MN\)的垂直平分线。作法：以点\(M\)为圆心，以大于\(2cm\)（\(\frac{1}{2}MN\)）的长为半径画弧。以点\(N\)为圆心，以同样的长为半径画弧，与步骤 1 中的弧交于点\(P\)和点\(Q\)。过点\(P\)、\(Q\)作直线\(PQ\)。直线\(PQ\)就是线段\(MN\)的垂直平分线。验证：在直线\(PQ\)上任取一点\(R\)，连接\(RM\)、\(RN\)，测量\(RM\)和\(RN\)的长度，发现\(RM = RN\)，验证直线\(PQ\)是线段\(MN\)的垂直平分线。第 7 页：知识点 3—— 作图中的注意事项半径要求：画弧时，半径必须大于线段长度的一半，否则两弧无法相交于两点，不能确定直线。半径统一：以线段两端点为圆心画弧时，必须使用相同的半径，这样才能保证两个交点到两端点的距离相等。直线规范：过两弧交点作直线时，要用直尺确保直线画得笔直，且经过两个交点。标注清晰：作图完成后，要标注出弧的交点和所作的垂直平分线，必要时可标注垂直符号和中点符号。第 8 页：例题 2—— 利用线段垂直平分线作图解决问题例 2：如图，已知△\(ABC\)，用尺规作出边\(BC\)的垂直平分线，并说明该垂直平分线与边\(AB\)、\(AC\)的交点到点\(B\)、\(C\)的距离关系。解析：作法：以点\(B\)为圆心，以大于\(\frac{1}{2}BC\)的长为半径画弧。以点\(C\)为圆心，以同样的长为半径画弧，两弧交于点\(D\)、\(E\)。过点\(D\)、\(E\)作直线\(DE\)，直线\(DE\)即为边\(BC\)的垂直平分线。距离关系：设直线\(DE\)与\(AB\)交于点\(F\)，与\(AC\)交于点\(G\)。根据线段垂直平分线的性质定理，可得\(FB = FC\)，\(GB = GC\)。第 9 页：知识点 4—— 线段垂直平分线作图的应用应用 1：找线段中点。因为线段的垂直平分线经过线段的中点，所以作出线段的垂直平分线后，垂直平分线与线段的交点就是该线段的中点。应用 2：构造等腰三角形。在线段的垂直平分线上任取一点，连接该点与线段两端点，可得到等腰三角形（因为该点到两端点距离相等）。应用 3：解决实际选址问题。如在公路旁建一个设施，使它到两个村庄的距离相等，可通过作两村庄连线的垂直平分线与公路的交点确定选址。第 10 页：例题 3—— 综合应用线段垂直平分线作图例 3：已知线段\(AB\)，用尺规作出一点\(P\)，使\(PA = PB\)，且点\(P\)到直线\(l\)的距离为\(2cm\)（保留作图痕迹，不写作法）。解析：第一步：作线段\(AB\)的垂直平分线\(m\)（确保点\(P\)在\(m\)上时\(PA = PB\)）。第二步：在直线\(l\)的两侧，分别作与直线\(l\)平行且距离为\(2cm\)的直线\(n_1\)和\(n_2\)。第三步：直线\(m\)与\(n_1\)、\(n_2\)的交点即为所求的点\(P\)（可能有两个交点）。图形展示：展示作图后的图形，标注出点\(P\)的位置和相关线段、直线。第 11 页：课堂练习练习 1：已知线段\(a\)，用尺规作出它的垂直平分线，并标出线段的中点。练习 2：如图，已知△\(ABC\)，用尺规作出边\(AB\)和边\(AC\)的垂直平分线，观察两条垂直平分线的交点到三个顶点的距离有什么关系。练习 3：用尺规作图，在直线\(l\)上找一点\(Q\)，使点\(Q\)到点\(A\)和点\(B\)的距离相等（点\(A\)、\(B\)在直线\(l\)两侧）。第 12 页：知识总结作图依据：线段垂直平分线的判定定理（到线段两端距离相等的点在线段垂直平分线上）。作图步骤：以线段两端点为圆心画弧（半径大于线段一半且相等）→得两交点→过交点作直线，该直线即为垂直平分线。注意事项：半径需大于线段一半且保持一致，直线要过两交点，作图要规范。主要应用：找线段中点、构造等腰三角形、解决实际选址等问题。第 13 页：课后作业作业 1：已知线段\(AB = 5cm\)，用尺规作出它的垂直平分线，并测量垂直平分线上任意一点到\(A\)、\(B\)两点的距离，验证是否相等。作业 2：如图，在△\(ABC\)中，\(AB = AC = 6cm\)，用尺规作出底边\(BC\)的垂直平分线，交\(AC\)于点\(D\)，连接\(BD\)，测量\(BD\)的长度。作业 3：用尺规作图，作出一个三角形三条边的垂直平分线，观察这三条垂直平分线的交点位置有什么特点，并说明理由。2025-2026学年湘教版数学八年级上册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1. 理解线段的垂直平分线的作法，能正确作图； 2. 理解过一点作已知直线的垂线的方法，能正确作图； 3. 能运用作线段的垂直平分线的方法解决实际问题； 4. 学会交流学习过程和结果，取长补短，增强合作意识.1. 什么叫作线段的垂直平分线？2. 说出线段垂直平分线的性质定理和逆定理。垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.如图，点A，点B是公路一旁的两个村庄。村委会计划选定公路边的某地点C作为开挖点向两个村庄各修建一条笔直的车道，请你画出点C的位置，使点C到两个村庄的距离相等. 因为到线段的两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此，只要连接AB，作出线段AB的垂直平分线，找出其与公路边的交点，就是所画的点C的位置。那么，怎样作出一条已知线段的垂直平分线呢？ 如图，已知线段AB，作线段AB的垂直平分线。线. 要作线段AB的垂直平分线，关键是找出到线段AB两端距离相等的两点。如何作线段AB的垂直平分线呢？如何找出这样的两个点？我们可以利用圆规来作图.线段AB的垂直平分线的作法:CD2、以点B为圆心，以第一步的同样长为半径，在线段AB的两侧画弧，交第一步所画的弧于点C和点D；3、过点C，D作直线CD，则直线CD就是线段AB的垂直平分线. 因为线段AB的垂直平分线CD与线段AB的交点就是线段AB的中点，所以可以用这种方法作出线段的中点.如图点O为AB的中点. 如何过一点P作已知直线l的垂线呢？ 因为点P与已知直线的位置关系有两种：点P在直线l上或点P在直线l外，因此，我们需要分两种情况作图。(1)当点P在直线l上①在直线l上点P的两旁分别截取线段PA，PB，使PA=PB.③过点C，P作直线CP，则直线CP为所求作的直线.ABC②分别以A，B为圆心，以大于AP的长为半径画弧，两弧相交于点C.①以点P为圆心，以大于点P到直线l的距离的线段为半径画弧，交直线l于点A，B；③过点C,P作直线CP,则直线CP为所求作的直线.Pl●ABC(2)当点P在直线l外 BA. B. C. D. 返回2. 如图，下列是四种用无刻度直尺和圆规作角平分线的方法，其中不正确的个数是( )AA. 1 B. 2 C. 3 D. 4 返回（第3题） B  返回（第4题） AA. 2 B. 3 C. 4 D. 5  返回  （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）.【解】如图.    返回 （1）请用直尺、圆规作出等腰三角形，不写作法，保留作图痕迹；     返回1.作线段的垂直平分线运用的定理是什么？思路是什么？运用的定理是线段垂直平分线的性质定理的逆定理。思路是用尺规作出到线段两端距离相等的两点，经过这两点画出直线，就是线段的垂直平分线。2.“过一点作直线的垂线”尺规作图的思路是什么？ 先在直线上作一条线段，使已知点在这条线段的平分线上。再作出这条线段垂直平分线上的另一点，经过这两点的直线就是已知直线的垂线。必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！