初中数学湘教版（2024）八年级上册（2024）5.1 直角三角形的性质定理优质ppt课件

这是一份初中数学湘教版（2024）八年级上册（2024）5.1 直角三角形的性质定理优质ppt课件，共36页。PPT课件主要包含了锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，基本图形，∠A∠C，∠A∠D，直角三角形的判定，第10题，°－α等内容，欢迎下载使用。
3.会运用直角三角形的性质和判定进行相关计算.
1. 根据三角形的分类知识填空.
2. 三角形全等的证明方法有哪些？
边边边 边角边 角边角 角角边
问题1：如下图所示是我们常用的三角板，它们两锐角的度数之和分别为多少度?
直角三角形的两个锐角互余
问题2：如图，在直角 △ABC 中， ∠C = 90°，两锐角的和等于多少呢？
思考：由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？
在直角△ABC 中，由三角形内角和定理，得∠A +∠B +∠C = 180°，因为 ∠C = 90°，故∠A + ∠B = 90°.
直角三角形的两个锐角互余．　　
应用格式：在 Rt△ABC 中，因为∠C = 90°，所以∠A +∠B = 90°．　
直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形 ABC 可以写成 Rt△ABC ．
方法一（利用平行的判定和性质）：∵∠B = ∠C = 90°，∴AB∥CD，∴∠A = ∠D.方法二（利用直角三角形的性质）：∵∠B = ∠C = 90°，∴∠A+∠AOB = 90°，∠D+∠COD = 90°.∵∠AOB = ∠COD，∴∠A = ∠D.
例1（1）如图①，∠B =∠C = 90°，AD 交BC 于点 O，∠A 与∠D 有什么关系？
解：∠A = ∠C. 理由如下：∵∠B = ∠D = 90°，∴∠A +∠AOB = 90°，∠C +∠COD = 90°.∵∠AOB = ∠COD，∴∠A = ∠C.
（2）如图②，∠B = ∠D = 90°，AD 交 BC 于点 O，∠A 与 ∠C 有什么关系？请说明理由.
与图①有哪些共同点与不同点？
思考：通过前面的例题，你能画出这些题型的基本 图形吗？
如图，在 △ABC 中， ∠A +∠B = 90°， 那么 △ABC 是直角三角形吗？
问题：有两个角互余的三角形是直角三角形吗？
在 △ABC 中，因为 ∠A +∠B +∠C = 180°， 又∠A +∠B = 90°，所以∠C = 90°. 于是 △ABC 是直角三角形.
应用格式：在 △ABC 中，∵ ∠A +∠B = 90°，∴ △ABC 是直角三角形．
有两个角互余的三角形是直角三角形.　　
例2 如图，∠C = 90°，∠1 = ∠2，△ADE 是直角三 角形吗？为什么？
解：在 Rt△ABC 中，∠2 + ∠A = 90°.
∵∠1 = ∠2， ∴∠1 + ∠A = 90°.
即 △ADE 是直角三角形.
例3 如图，CE⊥AD，垂足为 E，∠A = ∠C，△ABD是直角三角形吗？为什么？
解：△ABD 是直角三角形. 理由如下：∵CE⊥AD，∴∠CED = 90°．∴∠C +∠D = 90°．∵∠A = ∠C，∴∠A +∠D = 90°．∴△ABD 是直角三角形.
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
如图，用三角板画一个Rt△ABC，取线段 AB 的中点 D，连接 DC .以点 D 为圆心， DB 为半径画圆弧，则所画的弧经过点 C 吗？DC 与 AB 之间有怎样的数量关系？
过点 D 作 DE∥BC，DF∥AC，分别交 AC，BC 于点 E，F，
在 △ADE 与 △DBF 中， ∠AED =∠DFB， ∠ADE =∠B， AD = DB，所以∠ADE≌△DBF(角角边)，
如图，在Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CD 是斜边 AB 上的中线.
于是∠ADE =∠B，∠AED =∠ACB = 90°，∠FDC =∠ECD，∠DFB =∠ACB = 90°.
从而 DE = BF. ①
在 △DFC 与△CED 中，∠DFC = ∠CED，∠FDC = ∠ECD， DC = CD，所以△DFC≌∠CED(角角边)，从而 CF＝DE . ②由 ① 式和 ② 式得，CF = BF.因此，直线 DF 是线段 BC 的垂直平分线.根据线段垂直平分线的性质定理得，DC = DB.
由此可得直角三角形的性质定理：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
例4 如图，已知 CD 是 △ABC 的边 AB 上的中线，且 . 求证：△ABC 是直角三角形.
所以 ∠1 = ∠A，∠2 = ∠B.
因为∠A +∠B +∠ACB = 180°，
因为∠A +∠B = 90°.
所以△ABC 是直角三角形.
从而 2(∠A +∠B) = 180°.
所以∠A +∠B +∠1 +∠2 = 180°，
∠ACB = ∠1 + ∠2，
解：∵AD 是△ABC 的高，E、F 分别是 AB、AC 的中 点，∴DE＝AE＝ AB＝ ×10＝5， DF＝AF＝ AC＝ ×8＝4．
例5 如图，在 △ABC 中，AD 是高，E、F 分别是 AB、AC 的中点． (1) 若AB ＝ 10，AC ＝ 8，求四边形 AEDF 的周长；
∴四边形 AEDF 的周长＝ AE＋DE＋DF＋AF ＝ 5＋5＋4＋4 ＝ 18．
(2)求证：EF 垂直平分 AD.
证明：∵DE ＝ AE，DF ＝ AF，∴E、F 在线段 AD 的垂直平分线上． ∴EF 垂直平分 AD.
当已知条件含有线段的中点、直角三角形时，可联想到直角三角形斜边上的中线的性质进行求解．
如图，在 △ABC 中，∠ABC = 90°，BD 是斜边 AC 上的中线.(1)若 BD = 3 cm，则 AC =_____cm；(2)若∠C = 30°， AB = 5 cm，则 AC =_____cm， BD = _____cm.
体现直角三角形斜边上中线的性质的常见图形
2．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B－3∠A＝10°，则∠B＝________.
3．在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC.(1)如图①，已知∠C＝50°，BE平分∠ABC，求∠BED的度数；
【解】因为在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝50°，所以∠ABC＝90°－50°＝40°.因为BE平分∠ABC，所以∠DBE＝20°，因为AD⊥BC，所以∠ADB＝90°，所以∠BED＝90°－20°＝70°.
(2)如图②，DF⊥AC，DG⊥AB，请直接写出与∠C相等的角(不包括∠C)．
【解】与∠C相等的角有∠GDB，∠ADF，∠GAD.
A. 变小B. 不变C. 变大D. 无法判断
8．如图，在由25个边长为1的小正方形拼成的网格中以AB为边画Rt△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C共有(　　)A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【点拨】以AB为边画Rt△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C共有8个，如图所示．故选D.
10. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，线段DE的两个端点D，E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝4，若点M，N分别是DE，AB的中点，则MN的最小值为_____________________________．
11. 在如图所示的Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，D是斜边AB的中点，把纸片沿着CD折叠，点B落到点E处，连接AE.若AE∥DC，∠B＝α，则∠EAC的大小为________．
【点拨】因为△ABC为直角三角形，点D是斜边AB的中点，所以CD＝BD＝AD.因为△CDE由△CDB沿CD折叠得到，所以∠B＝∠CED，∠DCB＝∠DCE，ED＝BD＝AD＝CD，所以∠B＝∠DCB＝∠DCE＝∠DEC＝α，所以∠EDC＝180°－2α.