初中数学湘教版（2024）八年级上册（2024）5.1 直角三角形的性质定理优质课课件ppt

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1. 理解和掌握有关30°角的直角三角形的性质和应用
2. 通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力
问题1 如图，将两个含30°角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？
问题2 将剪一张等边三角形纸片，沿一边上的高对折，如图所示，你有什么发现？
动手：用刻度尺测量含30°角的直角三角形的斜边和短直角边，比较它们之间的数量关系.
如图，△ADC是△ABC的轴对称图形，
因此AB=AD, ∠BAD=2×30°=60°，
从而△ABD是一个等边三角形.
证明：取线段AB的中点D，连接CD.∵CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，
∵∠BCA =90°，且∠A=30°，
∴△CBD为等边三角形，
证明：在△ABC 中，∵　∠C =90°，∠A =30°, ∴　∠B =60°．延长BC 到D，使BD =AB，连接AD，则△ABD 是等边三角形．
证明： 在BA上截取BE=BC，连接EC. ∵ ∠B= 60° ，BE=BC. ∴ △BCE是等边三角形， ∴ ∠BEC= 60°，BE=EC. ∵ ∠A= 30°， ∴ ∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30° = 30°. ∴ AE=EC， ∴ AE=BE=BC， ∴ AB=AE+BE=2BC.
含30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一直角等于30°，那么这个直角所对的边等于斜边的一半.
应用格式：∵　在Rt△ABC 中，　　∠C =90°，∠A =30°，　　
(1)直角三角形中30°角所对的直角边等于另一直角边的 一半．(2)三角形中30°角所对的边等于最长边的一半.(3)直角三角形中最小的直角边是斜边的一半.(4)直角三角形的斜边是30°角所对直角边的2倍．
例1 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是(　　)A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
注意：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．
解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的长度是12cm.
例2 已知:等腰三角形的底角为15 °,腰长为20.求腰上的高.
解:过C作CD⊥BA交BA的延长线于点D.
∵∠B=∠ACB=15° (已知),∴∠DAC= ∠B+ ∠ACB= 15°+15°=30°，
方法总结：在求三角形边长的一些问题中，可以构造含30°角的直角三角形来解决．
解：∵∠AOD=30°， AO= 海里，∴AD= AO= 海里＞20海里，所以无危险.
解：如图，取线段AB的中点D，连接CD.∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴CD= AB=BD=AD,即△BDC为等边三角形,∴∠B=60°.∵∠B+∠A=90°，∴∠A=30°.
在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.
应用格式：∵　在Rt△ABC 中，∠C =90°，　
例4：如图所示，在四边形ACBD中，AD∥BC，AB⊥AC，且AC＝ BC，求∠DAC的度数．
解：∵AB⊥AC，∴∠CAB＝90°.∵AC＝ BC，∴∠CBA＝30°.∵AD∥BC，∴∠BAD＝30°，∴∠CAD＝∠CAB＋∠BAD＝120°.
1.如图，一棵树在一次强台风中，于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为( )A．6米 B．9米 C．12米 D．15米
2.某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要( )A．300a元 B．150a元C．450a元 D．225a元
3.如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD 是高，∠A =30°，AB =4．则BD = .
4.在△ABC中,∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,若AB=10,则BC = .
5.如图，Rt△ABC中，∠A= 30°，AB+BC=12cm，则AB=______.
6.在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE是AB的垂直平分线，BE=5，求AC的长．
解：连接AE，∵DE是AB的垂直平分线，∴BE=AE，∴∠B=∠EAB=15°，∴∠AEC=30°，∵∠C=90°，
7.在 △ABC中, AB=AC,∠BAC=120°，D是BC的中点，DE⊥AB于E点，求证：BE=3EA.
证明:∵AB=AC,∠BAC=120°， ∴∠B=∠C=30°.∵ D是BC的中点,∴AD⊥BC∴∠ADC=90°, ∠BAD=∠DAC=60°.∴AB=2AD.∵DE⊥AB，∴∠AED==90°，∴∠ADE=30°，∴AD=2AE.∴AB=4AE，∴BE=3AE.
解：∵DE⊥AC,BC ⊥AC, ∠A=30 °，
答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m.
8.如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC，DE 垂直于横梁AC，AB =7.4 cm，∠A =30°，立柱BC、DE 有多长.
9.如图，已知△ABC是等边三角形，D,E分别为BC、AC上的点，且CD=AE，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q, 求证:BP=2PQ.
∴△ADC≌△BEA.
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴ AC=BC=AB ,∠C=∠BAC=60°，
∴∠CAD=∠ABE,∠BAP+∠CAD=60°.∴∠ABE+∠BAP=60°.∴∠BPQ=60°.又∵ BQ⊥AD，