湘教版（2024）八年级上册（2024）5.1 直角三角形的性质定理获奖第2课时表格教学设计

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第5章 5.1 直角三角形的性质定理
第2课时
含30角的直角三角形的性质及其应用
授课教师
授课类型
新授课
教学目标
1．进一步掌握直角三角形的性质——在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
2．能利用直角三角形的性质解决一些实际问题.
3.经历“在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半”性质的发现过程.掌握直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半.会运用直角三角形的性质进行简单的推理和计算.
4.体会从“一般到特殊”的思维方法和“逆向思维”方法，培养逆向思维能力.
教学重点、
难点
教学重点：直角三角形性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
教学难点：直角三角形性质：“在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半”的应用.
教学准备
多媒体课件、三角尺
教学过程
1.情境导入
1．直角三角形有哪些性质？
（1）直角三角形的两个锐角互余；
（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
2．用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一个等边三角形吗？说说理由，并把你的发现和大家交流一下．
能，理由：如图，两个全等的含30°角的直角三角尺拼成的三角形是有一个角是60°的等腰三角形，所以是等边三角形.
观察然后思考：由此你可以发现什么规律？
在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
为什么会有这个规律呢？这节课我们就来研究这个问题.
2.讲授新课
1．探究直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边为什么等于斜边的一半.
思考：在一个锐角为30°的直角三角板中，这个锐角所对直角边的长度与斜边的长度存在怎样的数量关系？
如图5.1-15，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，那么直角边BC与斜边AB有什么关系呢?
图5.1-15
分析：根据猜想要判断BC=AB，可以考虑取AB的中点，如果BD=BC，那么BC=AB，由于∠A=30°，所以∠B=60°，如果BD=BC，则△BDC一定是等边三角形，所以考虑判断△BDC是等边三角形，你会判断吗？（由学生完成）
解：如图5.1-15，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，取斜边AB的中点D，连接CD.
根据直角三角形的性质定理得，CD=AB=BD，
于是△DBC是等腰三角形.
由于∠ACB=90°，且∠A=30°，
因此∠B=60°.
于是△DBC是等边三角形，
因此BC=BD=AB.
由此可得：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
可以运用轴对称知识证明结论成立吗？
（让学生交流，可以得出把△ABC沿着AC翻折，利用等边三角形的性质证明）
2．实际应用
例2：在A岛周围20海里水域内有暗礁，一轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东60°的方向，且与轮船相距海里，如图5.1-6所示.若该轮船继续保持由西向东的航向，会有触礁的危险吗？（已知3≈1.732）
图5.1-6
分析：如图5.1-6，取轮船航向所在的直线为OB.过点A作AD⊥OB，垂足为D.AD长为A岛到轮船航道的最短距离，若AD大于20海里，则轮船由西向东航行不会有触礁的危险.
解：如图5.1-6，取轮船航向所在的直线为OB.过点A作ADOB，垂足为D，连接AO.
在Rt△AOD中，AO=303海里，∠AOD=30°，
于是AD=12AO=12×303=153≈25.98（海里）.
由于AD≈25.98＞20海里，
所以轮船由西向东航行不会有触礁的危险.
练习
1．如图， 在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，垂足为点E，交BC边于点D，BD=16cm，则AC的长为 8 cm .
2．如下右图，在△ABC中，若∠BAC=120°，AB=AC，AD⊥AC于点A，BD=3，则BC= 9 .
3．逆向思考：
把条件“∠A=30°”与结论“BC=AB”交换，结论还成立吗？
动脑筋：
例3：如图5.1-7，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，若BC=AB，求证：∠A=30°.
图5.1-7
学生交流与分析：
（1）取AB的中点，连接CD，判断△BCD是等边三角形，得出∠B=60°，从而∠A=30°；（2）沿着AC翻折，利用等边三角形性质得出；（3）你能把上面问题用文字语言表达吗？
证明：（方法一）如图5.1-7，取斜边AB的中点D，连接CD.
因为CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
所以CD=AB=BD.
因为BC=AB，所以BC=BD=CD，
即△BDC为等边三角形.于是∠B=60°.
因为∠A+∠B=90°，所以∠A=30°.
(方法二）如图5.1-8，延长BC到F，使CF＝BC，连接AF.
图5.1-8
因为∠BCA=90°，BC=CF，
所以AC垂直平分BF，
于是AB=AF（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）.
又BC=12AB，BC=CF=12BF.
所以BF=AB，因此BF=AB=AF，
即△ABF是等边三角形.所以∠B=60°，
因此∠CAB=90°-∠B=30°.
由例3得出：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.
3.课堂练习
1．等腰三角形的一个底角为75°，腰长4cm，那么腰上的高是 2 cm，这个三角形的面积是 4 cm2.
解析：因为75°不是特殊角，但是根据“三角形内角和为180°”可知等腰三角形的顶角为30°，依题意画出图形，则有∠A=30°，BD⊥AC，AB=4 cm，所以BD=2cm，S△ABC=eq \f(1,2)AC·BD=eq \f(1,2)×4×2=4(cm2)．
方法总结：作出准确的图形，构造含30°角的直角三角形是解决此题的关键．
2．轮船向东航行到C处，观测到海岛B在北偏东30°方向；航行到D处，观测到海岛B在北偏西30°方向；当船到达C处时恰与海岛B相距20海里．
请你确定轮船到达C处和D处的时间．
解析：根据题意得出∠BAC，∠BCD，∠BDA的度数，根据直角三角形的性质求出BC、AC、CD的长度，根据速度、时间、路程关系式求出时间．
解：因为∠BCD=90°-30°=60°，∠BDC=90°-30°=60°，
所以∠BCD=∠BDC=60°，
所以△BCD为等边三角形.
在△ABD中，因为∠BAD=90°-60°=30°，∠BDC=60°，
所以∠ABD=90°，即△ABD为直角三角形，
所以∠ABC=30°.
因为BC=20海里，所以CD=BD=20海里，
又BD=eq \f(1,2)AD，所以AD=40海里，
所以AC=AD-CD=20(海里).
因为船的速度为每小时10海里，因此轮船从A处到C处的时间为＝2（h），从A处到D处的时间为＝4（h），所以轮船到达C处的时间为13时30分，到达D处的时间为15时30分．
方法总结：方位角是遵循“上北下南左西右东”的原则，弄清楚方位角是解决这类题的关键，再利用含30°角的直角三角形的性质解题．
4.课堂小结
5.板书设计
1．含30°角的直角三角形的性质
（1）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
（2）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.
2．含30°角的直角三角形的性质的应用．
教学设计反思
在教学中，应该要注意强调这两个性质都是在直角三角形中得到的，如果是一般三角形是不能得到的；两边的二倍关系是斜边和直角边之间的关系，不是两直角边的关系，这在教学中要注意强调，这是学生常犯的错误.