初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）15.1.2 线段的垂直平分线优秀课件ppt

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）15.1.2 线段的垂直平分线优秀课件ppt，共38页。PPT课件主要包含了如何证明，三角形外接圆的圆心，第4题，第5题，第8题，第9题，第10题等内容，欢迎下载使用。
通过学生自主探究，理解并掌握线段垂直平分线的性质和判定，会用线段的垂直平分线的性质和判定解决简单的数学问题
学生经历动手实践、合作交流、演绎推理的过程，培养学生的动手操作能力和逻辑推理能力.
了解互逆命题，会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立.
轴对称图形的对称轴是连接其对称点的线段的垂直平分线，为作出对称轴，需要研究线段的垂直平分线的性质. 我们类比角的平分线研究线段的垂直平分线.角的平分线的性质反映了角的平分线上的点到角两边的距离的关系，类似地，我们研究线段的垂直平分线上的点与线段两个端点的距离的关系.
探究 如图，直线l垂直平分线段AB，点P1，P2，P3，···在l上，分别比较点P1，P2，P3 ，···与点A的距离和这些点与点B的距离，你有什么发现？
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
可以发现，P1A=P1B，P2A=P2B，P3A=P3B，…，如果把线段AB沿直线l对折，线段P1A与P1B、线段P2A与P2B、线段P3A与P3B······都是重合的，因此它们也分别相等. 由此猜想线段的垂直平分线有以下性质：
通过证明两个三角形全等，可以证明这个性质.如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =BC，点P在l上．求证PA=PB．
证明：当点P与点C不重合时，∵l⊥AB，∴∠PCA=∠PCB．又AC=CB，PC=PC，∴△PCA≌△PCB（SAS）．∴PA=PB．
当点P与点C重合时，显然成立.
线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
符号语言：如图，∵直线l⊥AB，垂足为C，AC=BC，点P在l上，∴PA=PB.
例1如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线.若AB=5，AC=8，则△ABD的周长是______.
思考把上面线段的垂直平分线的性质的题设和结论反过来，得到的命题还成立吗？即如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？
知识点2 点在线段垂直平分线上的判定
如图，PA=PB．求证：点P在线段AB的垂直平分线上．
符号语言：如图，已知线段AB，∵PA=PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上．
同样地，通过证明两个三角形全等，可以得到： 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
所以线段的垂直平分线可以看成与这条线段两个端点距离相等的所有点的集合.
从上面两个结论可以看出:
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
例2如图，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线相交于点P.(1)求证：PA=PB=PC.
(1)证明：∵边AB，BC的垂直平分线相交于点P，∴PA=PB，PB=PC，∴PA=PB=PC.
例2如图，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线相交于点P.(2)点P是否也在边AC的垂直平分线上？由此你还能得出什么结论？
(2)解：∵PA=PC，∴点P在边AC的垂直平分线上.由此可得出结论：①三角形三边的垂直平分线相交于一点；②这个点与这个三角形三个顶点的距离相等.
思考 分析下面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系？你还学习过其他具有类似关系的命题吗？
这两个命题的题设、结论正好相反.
如果两个命题的题设、结论正好相反，那么这两个命题叫作互逆命题.如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题.
一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立.例如，上面关于垂直平分线的两个互逆命题都是成立的；而命题“对顶角相等”成立，它的逆命题“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”却不成立.
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理.
在几何中，有许多互逆的定理.例如，上面关于垂直平分线的两个互逆命题是互逆定理，“两直线平行，内错角相等”和“内错角相等，两直线平行”也是互逆定理.
例3 写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立.(1)同位角相等，两直线平行.(2)如果x=3，那么x2=9.(3)如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数的平方也相等.
解：(1)逆命题：两直线平行，同位角相等. 成立.(2)逆命题：如果x2=9，那么x=3.不成立，如：(-3)2=9，-3≠3.(3)逆命题：如果两个实数的平方相等，那么这两个实数的绝对值也相等. 成立.
2. 下列说法中错误的个数是( )①任何一个命题都有逆命题；②若原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题；③任何一个定理都有逆定理；④若原命题是真命题，则它的逆命题也是真命题.
A. 4B. 3C. 2D. 1
3. ［2025无锡期中］有三名同学在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，如果将三人视为三角形的三个顶点，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在三角形的( )
A. 三边中线的交点处B. 三边垂直平分线的交点处C. 三条角平分线的交点处D. 三边上高的交点处
A. 8B. 16C. 18D. 20