湘教版（2024）八年级上册（2024）第5章 直角三角形5.3 直角三角形全等的判定一等奖表格教案及反思

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第5章 5.3 直角三角形全等的判定
授课教师
授课类型
新授课
教学目标
1．已知斜边和直角边会作直角三角形.
2．熟练掌握“斜边、直角边公理”，以及熟练地利用这个公理和判定一般三角形全等的方法判定两个直角三角形全等.
3．熟练使用“分析综合法”探求解题思路.
3．通过探究性学习，营造民主和谐的课堂气氛，初步学会科学研究的思维方法.
4．通过一题多变、一题多解，培养学生的发散思维能力，增强学生的创新意识和创新能力.
5．通过实践探究，培养学生读题、识图能力，提高学生观察与分析，归纳与概括的能力.
6.通过对一般三角形与直角三角形全等判定方法的比较，初步感受普遍性与特殊性之间的辩证关系；在探究性学习活动中培养学生刻苦钻研、实事求是的态度，勇于探索创新的精神，增强学生的自主性和合作精神.
教学重点、
难点
教学重点：熟练掌握“斜边、直角边定理”，以及熟练地利用这个定理和判定一般三角形全等的方法判定两个直角三角形全等.
教学难点：熟练使用“分析综合法”探求解题思路.
教学准备
多媒体课件、三角尺
教学过程
1.情境导入
1．复习：说出判定一般三角形全等的依据，并说出它们的共同点.（四个判定定理：边角边、角边角、角角边、边边边，共同点：三组条件，至少一组对应边相等）
2．判断：
如图，具有下列条件的Rt△ABC与Rt△A′B′C′（其中∠C＝∠C′＝90°）是否全等，在（ ）里填写理由；如果不全等，在（ ）里打“×”：
（1）AC=A′C′，∠A=∠A′ （角边角）
（2）AC=A′C′，BC=B′C （边角边）
（3）AB=A′B′，∠B=∠B′ （角角边）
（4）∠A=∠A′，∠B=∠B′ （×）
（5）AC=A′C′，AB=A′B′ （？）（引发思考）
3．问：有斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形是否全等？
2.讲授新课
1．思考：
对于两个直角三角形，已有一个直角相等，于是，由判定两个三角形全等的条件可知，若有一锐角和一边分别相等，则由角角边或角边角就可以判定两个直角三角形全等；若有两直角边分别相等，则由边角边也可以判定两个直角三角形全等.若有一条直角边和斜边分别相等，这两个三角形全等吗？
如图5.3-1，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'
=90°，AB=A'B'，AC=A'C'.
图5.3-1
在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC2=AB2-AC2，
同理，在Rt△A'B'C'中，B'C'2=A'B'2-A'C'2.
由于AB=A'B'，AC=A'C'，
因此BC2=B'C'2，从而BC=B'C'.
在△ABC与△A'B'C'中，AB=A'B'，BC=B'C'，AC=A'C'，
因此△ABC≌△A'B'C'（边边边）.
由此可得判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理：
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
例1：如图5.3-2，BD，CE是△ABC的高，且BE=CD，求证：Rt△BEC≌Rt△CDB.
图5.3-2
证明：因为BD，CE是△ABC的高，
所以∠BEC=∠CDB=90°.
在Rt△BEC和Rt△CDB中，BC=CB，BE=CD，
所以Rt△BEC≌Rt△CDB(斜边、直角边).
注意：（1）“斜边、直角边”定理是仅适用于直角三角形的特殊方法.因此，判断两个直角三角形全等的方法除了可以使用“边角边”、“角边角”、“角角边”、“边边边”外，还可以使用“斜边、直角边”.（2）应用“斜边、直角边”定理时，虽只有两个条件，但必须先有两个直角三角形.书写格式为：
在Rt△______和Rt△______中，
∵_____=_____，_____=_____，
∴Rt△______≌Rt△______（斜边、直角边）.
例2：已知一直角边和斜边作直角三角形.
如图5.3-3，已知线段a、c(c＞a)，求作Rt△ABC，使得斜边AB=c，一条直角边BC=a，.
图5.3-3
作法：（1）作一条直线l，在直线l上截取BC=a；
（2）过点C作直线l的垂线CD；
（3）以点B为圆心，以c为半径画弧，交CD于点A，连接AB，于是△ABC为所求作的直角三角形（如图5.3-4）.
图5.3-4
3.课堂练习
1．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是高，则△ABD≌△ACD.依据是角角边，BD=CD，∠BAD=∠CAD .

2．如图，已知∠ACB=∠BDA=90°，若要使△ACB≌△BDA，还需要什么条件？把它们分别写出来.
解：还需要的条件可能是：（1）CB=DA；（2）CA=DB；（3）∠C=∠D；（4）∠ABC=∠BAD.
3．如图，在△ABC和△A'B'C'中，CD、C'D'分别是高，并且AC=A'C'，CD=C'D'，∠ACB=∠A'C'B'.求证：△ABC≌△A'B'C'.
解：因为CD、C'D'分别是△ABC和△A'B'C'高，
所以∠ADC=∠A'D'C'=90.
又因为AC=A'C'，CD=C'D'，
所以Rt△ADC≌Rt△A'D'C'(斜边、直角边)，
所以∠A=∠A'.
又因为AC=A'C'，∠ACB=∠A'C'B'，
所以△ABC≌△A'B'C'(角边角).
变式1：若例题中的∠ACB=∠A'C'B'改为AB=A'B'，△ABC与△A'B'C'全等吗？请说明思路.
变式2：若例题中的∠ACB=∠A'C'B'改为BC=B'C'，△ABC与△A'B'C'全等吗？请说明思路.
变式3：请你把例题中的∠ACB=∠A'C'B'改为另一个适当条件，使△ABC与△A'B'C'仍能全等.试说明证明思路.
变式1：△ABC与△A'B'C'全等，思路：同例1，先证Rt△ADC≌Rt△A'D'C'，得出∠A=∠A'，再结合AC=A'C'，AB=A'B'，利用边角边可证得△ABC≌△A'B'C'.
变式2：△ABC与△A'B'C'全等，思路：同例1，先证Rt△ADC≌Rt△A'D'C'，得∠A=∠A'，同理可证Rt△CDB≌Rt△C'D'B'，得∠B=∠B'，再结合AC=A'C'
(或BC=B'C')，利用角角边可证得△ABC≌△A'B'C'.
变式3：该条件为BD=B'D'，思路：同例1，先证Rt△ADC≌Rt△A'D'C'，得出∠A=∠A'，AD=A'D'，结合BD=B'D'得出AB=A'B'，再结合AC=A'C'，利用边角边即可证得△ABC≌△A'B'C'.
4．如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD=BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F.求证：CE=DF.
证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠ACB=∠ADB=90°，在Rt△ABC和Rt△BAD中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AB＝BA，,BC＝AD，))
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)，
∴AC=BD，∠CAB=∠DBA.
∵CE⊥AB，DF⊥AB，∴∠CEA=∠DFB=90°.
在△CAE和△DBF中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠CEA＝∠DFB＝90°，,∠CAE＝∠DBF，,AC＝BD，))
∴△CAE≌△DBF(AAS)，∴CE＝DF.
方法总结：一般三角形全等的判定方法仍然适用于直角三角形，因此判定直角三角形全等的方法有五种，不要只限于“斜边、直角边”．
5.如图，AB=AC，∠BAC=90°，AE是过A点的一条直线，且B、C在DE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求证：BD=DE+CE.
证明：因为BD⊥AE，CE⊥AE，
所以∠ADB=∠AEC=90°.
又因为∠BAC=90°，
所以∠ABD+∠BAD=∠CAE+∠BAD，
所以∠ABD=∠CAE，
又因为AB=CA，所以△ABD≌△CAE，
所以BD=AE，AD=CE.
因为AE=AD+DE，所以BD=CE+DE.
方法总结：当看到题目中要证线段和差关系时，而且这三边分别在两个全等三角形中时，可先判定两三角形全等，再证明线段关系．在证明全等时可灵活选用判定方法．
4.课堂小结
1．斜边、直角边定理
2．直角三角形全等的判定方法有五项依据：“边角边”、“角边角”、“角角边”、“边边边”、“斜边、直角边”其中，“斜边、直角边”公理只适用判定直角三角形全等.
3．使用“斜边、直角边”公理时，必须先得出两个直角三角形，然后证明斜边和一直角边对应相等.
4．熟练使用“分析综合法”探求解题思路.
5.板书设计
1．斜边、直角边定理：斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等.
2．直角三角形判定方法的灵活应用
教学设计
反思
使用“斜边、直角边”定理时，必须先得出两个直角三角形，然后证明斜边和一直角边对应相等．这在课堂教学中要反复强调，这是与前面四种方法的区别，是学生很容易犯的错误，同时学生利用尺规作直角三角形还不熟练，要注重培养他们的动手操作能力.