湘教版（2024）八年级上册（2024）5.4 角平分线的性质优质课第2课时表格教学设计

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第5章 5.4 角平分线的性质
第2课时
角平分线的综合运用
授课教师
授课类型
新授课
教学目标
1.让学生在掌握角平分线的性质的基础上能应用角平分线的两个性质解决一些简单的实际问题．
2.通过让学生经历动手实践，合作交流，演绎推理的过程，使学生学会理性思考，从而提高解决简单问题的能力.
3.经历对角的平分线的性质的探索与形成的过程.发展应用数学知识的意识与能力，培养学生的联想、探索、概括归纳的能力，激发学生学习数学的兴趣.
教学重点、
难点
教学重点：角平分线的性质及其应用.
教学难点：灵活应用两个性质解决问题.
教学准备
多媒体课件、三角尺、剪刀、纸
教学过程
1.情境导入
1．问题：在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路．
问题1：怎样修建道路最短？
问题2：往哪条路走更近呢？
2．引入：上节课我们学习了角平分线的性质，随着学习的深入，解决问题越来越简便了．像与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题，我们可以直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等而得出线段相等．
2.讲授新课
1．说一说：
如图5.4-4，在△ABC中，D，E，F分别是BC，
AB，AC边上的点，若BE=CF，S△BDE=S△CDF，则点D在∠BAC的平分线上吗？
图5.4-4
由于S△BDE=S△CDF，BE=CF，所以点D到BE，CF的距离相等，因而点D在∠BAC的平分线上.
2.思考：
如图5.4-5，已知EFCD于点E，EFAB于点F，MNAC于点N，M是EF的中点，需要添加一个什么条件，就可使CM，AM分别为∠ACD和∠CAB的平分线呢？
图5.4-5
添加条件MN=ME即可.
因为ME⊥CD，MN⊥AC，MN=ME，
所以点M在∠ACD的平分线上，
即CM是∠ACD的平分线.
又M是EF的中点，则MF=ME=MN.
同理可得AM是∠CAB的平分线.
老师提出：“添加条件MN=MF可以吗？”
学生自己考虑解答，并写出证明过程.
例2：如图5.4-6，在△ABC的外角∠CAD的平分线上任取一点P，作PE⊥DB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F.试探索BE+PF与PB的大小关系.
图5.4-6
解：因为AP是∠DAC的平分线，又PE⊥DB，PF⊥AC，所以 PE=PF.
在△EBP中，BE+PE>PB，
因此BE+PF>PB.
3．做一做：
任意作一个△ABC，在△ABC内部找一点P，使其到三边的距离相等.
由角平分线的性质定理不难想到，所求作的点应
在△ABC中任意两个内角的角平分线上，于是，在
△ABC中分别作∠BAC与∠ABC的平分线，它们交
于点P，如图5.4-7.过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别为点D，E，F.
图5.4-7
因为AP是∠BAC的平分线，PD⊥AB，PE⊥AC，所以PD=PE.
因为BP是∠ABC的平分线，PD⊥AB，PF⊥BC，
所以PD=PF.
故PD=PE=PF，因此P为所求作的点.
3.课堂练习
1．如图，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC且交BC的延长线于点F.若AB=18cm，BC=12cm，DE=2.4cm，求△ABC的面积．
解：因为BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BF，
所以DE=DF.
所以S△ABC=S△BCD+S△ABD=12BC·DF+12AB·DE
=12(BC+AB)·DE=12×30×2.4=36(cm2)．
方法总结：如果求三角形面积出现困难可将此三角形分成几个三角形再利用一些性质，如角平分线的性质或等腰三角形的性质，求这几个三角形面积的和
2．如图，在△ABC外作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，且使它们的顶角∠DAB=∠EAC，连接BE、CD相交于P点，AP的延长线交BC于F点，试判断∠BPF与∠CPF的关系，并加以说明．
解：∠BPF＝∠CPF，理由如下：
过A点作AM⊥DC于M，作AN⊥BE于N，如图，
因为∠DAB=∠EAC，
所以∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
所以∠DAC=∠BAE.
在△BAE和△DAC中，AB=AD，∠BAE=∠DAC，AE=AC，
所以△BAE≌△DAC（边角边），
所以BE=DC，S△BAE=S△DAC.
因为AM⊥DC，AN⊥BE，所以12BE·AN=12DC·AM，
所以AN=AM，所以PA平分∠DPE，
所以∠DPA=∠APE.
又∠DPA=∠CPF，∠EPA=∠BPF，
所以∠BPF=∠CPF.
方法总结：证明两个角相等：①如果在一个三角形里，通常利用等边对等角；②如果在两个三角形里，通常证所在的两个三角形全等或利用角平分线的判定．
4．如图所示，一条南北走向的铁路与一条东西走向的公路交叉通过，一工厂在铁路的东面，公路的南面，距交叉路口300 m，并且工厂到铁路与公路的距离相等．请在图上标出工厂的位置，并说明理由（比例尺为1∶20 000）．
解：画出∠AOB的平分线OC，在射线OC上量出表示实际距离300 m长度的图上距离线段OP，OP＝300×eq \f(1,20000)=0.015（m）=1.5（cm）．
因为角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以点P即是工厂在图中的位置．
方法总结：解决此类问题的关键是把实际问题转化为数学模型，进一步运用数学知识来解决．
4.课堂小结
角平分线性质的应用
（1）利用角平分线的性质比较线段的大小关系
（2）角平分线性质的综合应用
5.板书设计
角平分线的性质：角的平分线上的点到角得两边的距离相等.
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
教学设计
反思
在教学中要注意强调与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题，我们可以直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等，从而可以简化解题过程.