湘教版（2024）八年级上册（2024）5.4 角平分线的性质优秀第1课时表格教案设计

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第5章 5.4 角平分线的性质
第1课时
角平分线的性质与判定
授课教师
授课类型
新授课
教学目标
1．让学生通过作图直观地理解角平分线的两个互逆定理，探究并理解角平分线的性质.
2．灵活运用角平分线的性质解决有关问题．
3.经历探究角的平分线的性质的过程，领会其应用方法.
4.激发学生的几何思维，启迪他们的灵感，使学生体会到几何的真正魅力.
教学重点、
难点
教学重点：领会角平分线的两个互逆定理.
教学难点：角平分线两个互逆定理的实际应用.
教学准备
多媒体课件、三角尺、剪刀、纸
教学过程
1.情境导入
1．复习：（1）角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线.（2）点到直线的距离：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这条垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
2．操作及思考：拿出课前准备好的折纸与剪刀，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，看到了什么？把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？
我们知道，角平分线是一条以角的顶点为端点的射线，并把这个角分成两个相等的角，下面来研究角平分线的其他特殊性质
2.讲授新课
1．探究：
如图5.4-1，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，比较线段PD，PE的长度，它们相等吗？由此你能得出什么结论？
图5.4-1
若将∠AOB沿角平分线OC折叠，则可以发现点D与点E重合，因而PD与PE重合，即PD=PE.
利用圆规，比较它们的长度，也可以发现PD=PE.
由此可猜测：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
下面来证明上述猜测成立.
因为PD⊥OA于点D，PE⊥O于点E，
所以∠PDO=∠PEO=90°.
在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO，∠DOP=∠EOP，OP=OP，
所以△PDO≌△PEO（角角边）.
因此PD=PE.
2．归纳：由此可得角平分线的性质定理：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
3．思考：角平分线的性质定理的逆命题是什么？它是真命题吗？
如图5.4-2，点P在∠AOB的内部，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，且PD=PE.
图5.4-2
过点O，P作射线OC.
因为PD⊥OA，PE⊥OB，所以∠PDO=∠PEO=90°.
在Rt△PDO和Rt△PEO中，OP=OP，PD=PE，
所以 Rt△PDO≌Rt△PEO（斜边、直角边），
从而∠AOC=∠BOC.
因此OC是∠AOB的平分线，即点P在∠AOB的平分线OC上.
由此可得：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
例1：如图5.4-3，∠BAD=∠BCD=90°，∠1=∠2.
求证：
（1）点B在∠ADC的平分线上；
（2）BD是∠ABC的平分线.
图5.4-3
证明：（1）在△ABC中，因为∠1=∠2，所以BA=BC.
又BA⊥AD，BC⊥CD，
所以点B在∠ADC的平分线上.
（2）在Rt△BAD和Rt△BCD中，BA=BC，BD=BD，
所以Rt△BAD≌Rt△BCD（斜边、直角边）.
因此∠ABD=∠CBD，从而BD平分∠ABC.
3.课堂练习
1．如图，在△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC交BC于D，BC=10cm，CD=6cm，则点D到AC的距离是 4cm .
2．如图，在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，AB=5，点D是△ABC三个内角平分线的交点，则点D到AB的距离是 1 .
3．如图，已知点C在∠A的内部，B、D分别是∠A两边上的点，且AB=AD，CB=CD，CE⊥AB边于点E，CF⊥AD于点F，求证：CE=CF.
证明：在△ABC和△ADC中，AB=AD，CB=CD，AC=AC，
所以△ABC≌△ADC（边边边），
所以∠BAC=∠DAC，即AC平分∠BAD.
又 CE⊥AB，CF⊥AD，所以 CE=CF.
4．如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，连接EF，EF与AD交于G，AD与EF垂直吗？证明你的结论.
解：垂直．
证明：因为AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
所以 \t "/questin/" DE= \t "/questin/" DF，∠AED=∠AFD=90°，
又 AD=AD，所以 Rt△ \t "/questin/" AED≌Rt△A \t "/questin/" FD（斜边、直角边），所以 AE=AF.
在△ \t "/questin/" AEG和△AFG中，AE=AF，∠EAG=∠FAG，AG=AG，
所以△ \t "/questin/" AEG≌△AFG，所以∠ \t "/questin/" AGE=∠ \t "/questin/" AGF=90°，
所以AD⊥EF.
4.课堂小结
1．角平分线的性质
角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
解题策略：角平分线与等积法—三角形三条内角平分线的交点到三边的距离相等，如已知大三角形的面积及三边长，可以利用大三角形的面积等于三个小三角形的面积和，求出这个距离.
2．角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
解题策略：应用角平分线作图解决实际问题：尺规作图题中，只要涉及两边距离相等时，由角平分线的性质定理的逆定理可知需作这两条直线夹角的角平分线.
5.板书设计
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上
教学设计
反思
在教学中要注意强调与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题，我们可以直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等，从而可以简化解题过程.