初中湘教版（2024）5.4 角平分线的性质导学案

这是一份初中湘教版（2024）5.4 角平分线的性质导学案，共14页。学案主要包含了复习回顾，探究新知，例题精讲，课堂练习，课堂小结，作业布置等内容，欢迎下载使用。
► 学习目标与重难点
学习目标：
1.理解角平分线性质定理与逆定理的应用场景，能从图形条件中识别“垂直距离”“线段相等”等关键要素，运用定理解决“判断点的位置”“添加条件证明角平分线”“找特殊点”等问题。
2.通过分析例题中的条件关联，提升从复杂图形中提炼核心关系的逻辑推理能力。
3.体会几何定理在简化证明、解决实际位置问题中的价值，增强用数学知识解决几何问题的意识。
学习重点：
角平分线性质定理与逆定理的实际应用，能利用“距离相等”与“角平分线”的互逆关系解决问题。
学习难点：
从综合条件（如面积相等、中点、垂直）中提炼出“点到角两边的距离关系”，准确区分性质定理与逆定理的适用场景。
► 学习过程
一、复习回顾
【回顾】角平分线的性质定理和它的逆定理是什么？
二、探究新知
探究：角平分线的性质及逆定理的应用
教材第179页
【说一说】如图，在△ABC中，D，E，F分别是 BC，AB，AC边上的点 . 若BE=CF，S△BDE=S△CDF，则点D在∠BAC的平分线上吗？
【说一说】如图，在△ABC中，D，E，F分别是 BC，AB，AC边上的点 . 若BE=CF，S△BDE=S△CDF，则点D在∠BAC的平分线上吗？
教师提问：三角形的面积公式是什么？
三角形的面积=12×底×高
教师讲授：由于S△BDE=S△CDF，BE=CF，所以点D到BE，CF的距离相等，因而点D在∠BAC的平分线上.
【思考】如图，已知EF⊥CD于点E，EF⊥AB于点F，MN⊥AC于点N，M是EF的中点. 需要添加一个什么条件，就可使CM，AM 分别为∠ACD 和∠CAB的平分线呢？
问题1：要证明它们是平分线，根据角平分线的性质定理的逆定理，需要满足什么核心条件？
教师讲授：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.即证明MN=ME，MN=MF.
问题2：由M是EF的中点可以得到什么信息？
问题3：添加一个什么条件可以使得MN=ME，MN=MF？
解：添加条件MN=ME即可.
因为ME⊥CD，MN⊥AC，MN=ME，
所以点M在∠ACD的平分线上，
即CM是∠ACD的平分线.
又M是EF的中点，则MF=ME=MN.
同理可证AM是∠CAB的平分线.
三、例题精讲
例2如图，在△ABC的外角∠CAD的平分线上任取一点P，作PE⊥DB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F.试探索BE+PF与PB的大小关系.
例2如图，在△ABC的外角∠CAD的平分线上任取一点P，作PE⊥DB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F.试探索BE+PF与PB的大小关系.
解:因为AP是∠CAD的平分线，
又PE⊥DB，PF⊥AC，
所以PE=PF.
在△EBP中，BE+PE>PB，
因此BE+PF>PB.
【做一做】任意作一个△ABC，在△ABC内部找一点P，使其到三边的距离相等.
【做一做】任意作一个△ABC，在△ABC内部找一点P，使其到三边的距离相等.
任务1：作∠BAC的角平分线；
任务2：作∠BAC的角平分线.
教师提问：这两条角平分线有几个交点？该交点到三边的距离有什么关系？
教师讲授：在△ABC中分别作∠BAC与∠ABC的平分线，它们交于点P，如图，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别为点D，E，F.
因为AP是∠BAC的平分线，PD⊥AB，PE⊥AC，
所以PD=PE.
因为BP是∠ABC的平分线，PD⊥AB，PF⊥BC，
所以PD=PF.
故PD=PE=PF，因此P为所求作的点.
四、课堂练习
【知识技能类作业】
必做题
1.三角形中到三条边距离相等的点是（ ）
A．三条边的垂直平分线的交点B．三条中线的交点
C．三条高的交点D．三条角平分线的交点
2.∠AOB的平分线上一点P到OA的距离为5，Q是射线OB上任一点，则（ ）
A．PQ>5B．PQ≥5C．PQ