第四章 因式分解 章综合复习课件 （新教材）初中数学北师大版（2024）八年级下册(2024)

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第四章 因式分解 数学北师大版八年级下册通过完成导学任务，请同学展示本章的知识结构图.知识结构知识结构因式分解定义提公因式法公式法一提平方差公式二套三检查完全平方公式方法步骤把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫作因式分解.知识要点提炼定义 (1)因式分解的对象是多项式，结果是几个整式乘积的形式；(2)本章仅限于在有理数范围内因式分解；(3)因式分解是恒等变形.因式分解与整式乘法互为逆变形.与整式乘法的关系多项式各项都含有的相同因式，叫作这个多项式各项的公因式.知识要点提炼公因式 多项式中各项的公因式是各项系数的最大公因数与各项都含有的相同字母的最低次幂的乘积.一定“系数”，二定“字母”，三定“指数”.确定公因式的方法如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种因式分解的方法叫作提公因式法.知识要点提炼提公因式法(1)确定公因式；(2)提出公因式；(3)确定另一个因式；(4)写成乘积的形式.提公因式法因式分解的步骤 公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.根据因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫作公式法.知识要点提炼定义平方差公式知识要点提炼完全平方公式 平方差公式和完全平方公式中的字母a，b不仅可以表示具体的数，还可以表示其他代数式，如一个单项式或一个多项式等.一提：有公因式的先提公因式；二套：套用公式，两项式考虑平方差公式，三项式考虑完全平方公式(不能直接套公式时，可适当变形整理)；三检查：检查乘积中的每一个多项式的因式是否分解彻底.知识要点提炼因式分解的步骤 (1)因式分解要分解到每个因式都不能分解为止；(2)当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“－”号，使括号内第一项的系数成为正数，再进行因式分解.题型1 因式分解的定义题型2 公因式的确定题型3 提公因式法 题型4 公式法—平方差公式题型5 公式法—完全平方公式题型6 提公因式法与公式法综合题型7 利用因式分解简便计算题型9 利用因式分解判断是否整除 题型8 利用因式分解化简求值题型10 利用因式分解解决面积问题 题型归纳·内容归纳重点知识巩固重点知识巩固D判定是否为因式分解的方法：看形式：必须是多项式→几个整式的积；看结果：不能出现加减或非整式；与整式乘法互逆，但方向相反.重点知识巩固方法总结重点知识巩固 多项式3ma²+15mab的公因式是(     )A. 3m B. 3ma² C. 3ma D. 3mabC重点知识巩固 观察式子结构，若无法直接提公因式，可通过变号等方式，凑出公因式，再进行提公因式.重点知识巩固 下列各式中，能用平方差公式因式分解的是(     )A. x²+4y² B. x²−2y+1 C. −x²+4y² D. −x²−4y²C判断能否用平方差公式因式分解的方法：看项数：必须是两项或可整理为两项(有时可能需要把某个多项式看成一个整体)；看符号：两项的符号必须一正一负；看形式：两项都能写成某个数(或整式)的平方的形式.重点知识巩固方法总结重点知识巩固重点知识巩固 分解因式：(1)9m2−81n2；(2)3ax2+6axy+3ay2；(3)(3m−n)2−3m+n. 用简便方法计算：(1) 1252−50×125+252；(2) 652×11−352×11重点知识巩固利用因式分解简便计算的核心思路： 观察式子结构，优先判断是否符合乘法公式(平方差公式、完全平方公式)的一般形式； 有公因式先提公因式，再用公式进一步化简； 最终将计算转化为口算级的简单运算.重点知识巩固方法总结123重点知识巩固 对于任意自然数n，(n+7)2−(n−5)2能否被24整除，为什么？重点知识巩固利用因式分解判断是否整除：核心思路：判断一个代数式能否被某个数整除，关键是把代数式因式分解，变形出这个数作为因数的式子，再证明剩余部分是整数.步骤：①对代数式进行因式分解，将其化为“除数 × 整数式”的形式；②说明其中的“整数式”在给定条件下(如n为自然数、整数等)一定是整数；③得出结论：原式含有除数这个因数，因此能被除数整除.重点知识巩固方法总结 如图，长方形的长为a，宽为b，已知长比宽多1，且面积为12，求下列各式的值：(1)a2b−ab2；(2) 3a3b−6a2b2+3ab3.重点知识巩固ab综合能力提升 阅读材料：常用的分解因式方法有提公因式法、公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解，如x2−4y2−2x+4y，细心观察这个式子发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式，过程如下：x2−4y2−2x+4y=(x2−4y2)−(2x−4y)=(x+2y)(x−2y)−2(x−2y)=(x−2y)(x+2y−2).这种分解因式的方法叫作分组分解法.综合能力提升 利用这种方法解决下列问题：(1)分解因式：x2−2xy+y2−25；(2)拓展运用：△ABC三边长a，b，c满足a2−ab−ac+bc=0，判断△ABC的形状.综合能力提升分组分解法因式分解的步骤：一分组：根据项数、符号、公式特征分组，对于四项式，常采用“2+2”(两两分组)或“3+1”(三项一组+一项一组)分组；对于五项式，常采用“3+2”(三项一组+两项一组)分组；二分解：先把每组进行因式分解，再组间进行分解；三检查：检查是否分解彻底.方法总结 阅读理解：用“十字相乘法”分解因式2x2−x−3的方法.第一步：分解二次项系数，2=1×2；第二步：分解常数项，−3=−1×3=1×(−3)；第三步：如图所示，验算“交叉相乘之和”：①1×3+2×(−1)=1；②1×(−1)+2×3=5；③1×(−3)+2×1=−1；④1×1+2×(−3)=−5.发现③中“交叉相乘之和”的结果为−1，等于一次项系数.综合能力提升 将十字交叉线上的系数对应写在两个相乘的多项式中：(x+1)(2x−3)=2x2−3x+2x−3=2x2−x−3，则2x2−x−3=(x+1)(2x−3).像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫作“十字相乘法”.仿照以上方法分解因式：3x2−5x−2.综合能力提升综合能力提升十字相乘法因式分解的步骤：一拆系数：将二次项系数和常数项分别写成两个整数的乘积(需考虑正负号的所有组合)；二验证：计算交叉相乘之和是否等于一次项系数，若不等于，要更换常数项的拆分组合，重复验证，直至等于一次项系数；三分解：验证通过后，横向组合因式；四检查：检查分解是否彻底.方法总结 如果一个非零整数a能被3整除，那么就称a是“3倍数”.(1)蛟蛟说“252−212”是“3倍数”，川川说“122−6×12+92”也是“3倍数”，请判断谁的说法正确，并说明理由．综合能力提升 如果一个非零整数a能被3整除，那么就称a是“3倍数”.(2)如果一个正整数是“3倍数”，且各个数位上的数字都不为0，满足千位数字与百位数字的平方差是十位数字的平方，千位数字与十位数字的和为9，请写出满足条件的所有“3倍数”，并说明理由.综合能力提升 如果一个非零整数a能被3整除，那么就称a是“3倍数”.(2)如果一个正整数是“3倍数”，且各个数位上的数字都不为0，满足千位数字与百位数字的平方差是十位数字的平方，千位数字与十位数字的和为9，请写出满足条件的所有“3倍数”，并说明理由.综合能力提升 如果一个非零整数a能被3整除，那么就称a是“3倍数”.(2)如果一个正整数是“3倍数”，且各个数位上的数字都不为0，满足千位数字与百位数字的平方差是十位数字的平方，千位数字与十位数字的和为9，请写出满足条件的所有“3倍数”，并说明理由.综合能力提升 如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“优数”，如8=32−12，因此8是“优数”.(1) 16，36，2 008是“优数”吗？为什么？综合能力提升 如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“优数”，如8=32−12，因此8是“优数”.(2)“优数”有什么特征？请说明理由，并回答不大于500的正整数中有几个“优数”？综合能力提升 如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“优数”，如8=32−12，因此8是“优数”.(3)两个连续偶数的平方差是一个“优数”吗？为什么？综合能力提升