2026年八年级下册北师版数学电子教案 第四章 因式分解

这是一份2026年八年级下册北师版数学电子教案 第四章 因式分解，共25页。
 ◎0○ 名校课堂 · 新教案 · 数学 · 八年级下 ·1(BS) 0○ 本章教材分析 因式分解是代数式的一种重要恒等变形，它是学习分式的基础，又在恒等变形、代数式的运算、解方程、 函数中有广泛的应用.因此，它起到了承上启下的作用.本章着重阐述了三个方面： 一是因式分解的概念；二 是因式分解的方法；三是因式分解的应用.中考中关于因式分解的题目大多以填空、选择为主.通过本章的 学习，不仅要使学生掌握因式分解的概念和方法，更重要的是使学生掌握因式分解应用中逆向变形的思维 方法，为后面其他知识的学习做好准备.1 因式分解 备课素材 新课导入设计【情境导入】手工课上，老师给玲玲同学发下一张形状如图1所示的纸张，要求她在不浪费纸张的前提下恰好剪拼成 形状如图2所示的长方形，作为一幅精美剪纸的衬底.请问你能帮助玲玲同学解决这个问题，并给出数学解 释吗?ba图 1 图 2【复习导入】回忆七年级下册学习的整式乘法运算，填写下列空格.公式类：(a+b)(a—b)= ;(a+b)²= ;(a—b)²= :(1)单项式×单项式：3a·4ab= ;(2)单项式×多项式：a(3a—5b)= ;(3)多项式×多项式：(x—3y)(2x+y)= ;(4)多个单项式与多项式混合相乘：a(a+1)(a—1)= 数 学 文 化 拓 展 阅 读欧拉巧用因式分解大数学家欧拉出生于瑞士的巴塞尔，因父亲带他到尼古拉 · 贝努利家里去，他的数学才能得以被贝努 利兄弟发现.他13岁就成为大学生，16岁读完硕士，并由丹尼尔保荐到俄国圣彼得堡科学院做客籍教授，在 那里度过了14个寒暑.1729年12月1日，22岁的欧拉收到哥德巴赫写来的一封信，信中有这么一段：你知道费马在一本书中提出的一个质数表达式吗?这就是“一切形如22”+1(n 是自然数)的数都是质 数”,费马本人说这是证明不了的，据我所知，之后已过了半个世纪，迄今为止还没有人能证明它.虽然如此， ◎ ○ 名校课堂 · 同步练习全国领导者 ◇○ 人们还是相信这个结论.费马曾作出如下验算：当 n=0 时，22"+1=22⁰+1=2+1=3;当n=1 时，2²"+1=2²¹+1=2²+1=5;当 n=4 时，22"+1=22⁴+1=2¹⁶+1=65537 .以上结果都是质数，但是 n 取任意自然数时情况又会怎样呢?欧拉对这个问题深思起来：逐一验算，不 可能!要推翻这个质数公式，又从何处着手呢?欧拉对 n=5 时的情况进行了研究：当 n=5 时，22”+1=22⁵+1=2³2+1=(2×2⁷)⁴+1=2⁴×128⁴+1=(1+15)×128⁴+1=[1+5(128—125)]×128⁴+1=(1+5×128)×128⁴+1—5⁴×128⁴=(1+5×128)×128⁴+(1+5²×128²)(1+5×128)(1-5×128)=(1+5×128)[128⁴+(1+5²×128²)(1—5×128)]=641×6700417.这里，欧拉一改繁琐的传统方法，用了一个很不起眼的因式分解法给出了一个惊人答案——形如22"+1 (n 是自然数)的数不一定是质数，从而推翻了费马的猜想.此后，人们把一切形如22”+1(n 是自然数)的数称 为“费马数”,数学家们借助于欧拉的方法又发现了45个费马数是合数.但费马数中究竟有几个质数、几个合 数，至今仍是一个诱人的谜.教学设计 教学活动 课题1因式分解授课人素养目标1.理解因分式分解的概念，能判断一个式子的变形是不是因式分解.2.在学习过程中培养学生类比的数学思想和逆向运算的能力.3.通过观察，发现因式分解与整式的乘法的关系，培养学生的观察能力和语言概括能力.4.在活动中培养与同伴交流及团结协作的精神，以及独立思考的能力.教学重点理解因式分解的意义，准确地辨析整式乘法与因式分解这两个变形.教学难点对因式分解与整式乘法关系的理解.授课类型新授课课时教学步骤师生活动设计意图回顾1.什么是整式乘法?2.整式乘法有哪些公式?回忆旧知，引出新知. ○ 名校课堂 ·新教案 ·数学 ·八年级下 ·1(BS)《 ◎◎ 续表教学步骤师生活动设计意图活动一：创设情境、导 入新课【课堂引入】活动内容：我们来做一个数学游戏，游戏规则是：(多媒体出示)(1)大家说出一个大于1的正整数；(2)写出它的立方减去它本身的代数式，如：4³—4;(3)不通过计算，说出这个代数式能被哪些正整数整除.你能做到吗? 教师随之提问：游戏好玩吗?游戏的关键是什么?你知道99³-99能被100整除吗?你是怎么做的?(教师多媒体展示)小明同学是这样做的：99³-99=99×99²—99×1=99×(99²-1)=99×9800=98×99×100,所以，99³-99能被100整除.通过数学游戏，学生兴起 探究的欲望，并且体会到 把数式化成几个数的积的 形式是解决这类问题的关 键，从而为引出因式分解 的概念奠定基础.活动二：实践探究、交 流新知【探究新知】1.【课堂引入】中99³-99还能被哪些正整数整除?学生思考得出还能被99,98,980,990,9702等整除.师生活动：教师进一步引导学生，提出问题：这里，解决问题的关键是什么? 学生讨论得出：关键是把一个数式(左边)化成了几个数的积的形式.教师出示教材第111页“尝试 ·交流”.你能尝试把a³—a化成几个整式的乘积的形式吗?学生先独立思考，再与同伴交流.2.课件出示第111页“观察 · 思考”(多媒体展示)观察下面拼图过程，写出相应的代数式.等号两边的代数式有什么不同?1.以拼图前后面积不变的 方式，丰富学生对因式分 解的理解，形象地说明因 式分解是整式的恒等变 形，有助于发展学生的几 何直观思维，对学生的思 维发展具有实际价值.本 环节关注的是代数思维与 几何思维的互相促进，以 几何直观来解释因式分解 的意义，从另一个角度理 解因式分解.2.通过这组练习，可以渗 透整式乘法与因式分解的 关系，感受因式分解是否 正确可以用整式乘法来 检验 .h11三启发学生归纳总结因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式乘积的形 式，这种变形叫作因式分解.我们这一章仅限于在有理数范围内、整式范畴内的 因式分解.3.教师出示课件课本第112页“操作 · 思考”计算下列各式：(1)3x(x-1)= ;(2)m(a+b—1)= ;(3)(m+4)(m-4)= ;(4)(y-3)²= 学生独立思考完成.师生活动：教师提出问题：这是什么运算?学生积极回答. ○ 名校课堂 · 同步练习全国领导者 ◎ 续表教学步骤师生活动设计意图活动二：实践探究、交 流新知根据上面的算式进行因式分解：(1)3x²—3x=( )( );(2)ma+mb—m=( )( );(3)m²—16=( )( );(4)y²—6y+9=( )( ).师生活动：教师提出问题：你能举例说明因式分解与整式乘法有什么关系吗? 学生讨论得出：如： m(a+b+c)=ma+mb+mc,①ma+mb+mc=m(a+b+c).②等式①是把几个整式的积化成一个多项式的形式，是整式乘法.等式②是 把一个多项式化成几个整式的积的形式，是因式分解.所以因式分解与整式乘法是相反方向的变形.活动三：开放训练、体 现应用【典型例题】例1下列从左到右的变形，哪些是因式分解?(1)4a(a+2b)=4a²+8ab;(2)6ax—3ax²=3ax(2—x);(3)a²—4=(a+2)(a-2);(4)x²—3x+2=x(x-3)+2;(5)36a²b=3a · 12ab;解：(2)(3)是因式分解。例2把左右两边对应的式子连起来，并说明由左到右的变形中，哪些是因 式分解，哪些是整式乘法?x²-y²(3-5x)(3+5x) - (x+1)² 、 xy-y²y(x-y)9-25x²(x-y)(x+y)x²+2x+1解：x²—y²=(x-y)(x+y),xy-y²=y(x-y)是因式分解.(3-5x)(3+5x)=9-25x²,(x+1)²=x²+2x+1是整式乘法.【变式训练】1.下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是 ( C)A.x(x—1)=x²-x B. (x+1)²=x²+2x+1C.z²-1=(x+1)(x—1) D.z+1= 2.把多项式x²+4mx+5因式分解得(x+5)(x+n),则m+n的值为 师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法.1.此环节让学生体验因式 分解概念产生的过程，通 过一定的练习，加深学生 对因式分解概念的理解.2.变式训练，提高学生应 用知识的能力. ○名校课堂 · 新教案 · 数学 · 八年级下 ·1(BS)◎00 续表经 典 导 学 设 计详见电子资源教学步骤师生活动设计意图活动四：课 堂检测【课堂检测】1 . 如果多项式x² -mx- 35因式分解为(x- 5)(x+7),那么m的值为(A)A.—2 B.2C.12 D.-122.下列变形：①(x+1)(x—1)=x²—1;②9a²—12a+4=(3a—2)²;③3abc³= 3c ·abc²;④3a²—6a=3a(a-2)中，是因式分解的有②④(填序号).3.请利用因式分解与整式乘法的关系，检验下列因式分解是否正确.(1)x²—7x—10=(x—2)(x—5);(2)4m²—4m+1=4m(m-1);(3)10x²y—5xy²=5xy(2x—y);(4)a³b²—a²b+a²=a²(ab²—b).解：(1)不正确.理由：(x—2)(x-5)=x²—7x+10.(2)不正确.正确分解为：4m²—4m+1=(2m—1)².(3)正确.(4)不正确.正确分解为： a³b²—a²b+a²=a²(ab²-b+1).师生活动：学生进行课堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.通过设置课堂检测，进一 步巩固新知，及时检测学 习效果，做到“堂堂清”.课堂小结1.课堂小结：归纳本节课的收获.2.布置作业：(1)教材第112页随堂练习第1,2题；(2)教材第113页习题4.1第1,2,3,4题.注重课堂小结，激发学生 参与课堂总结的主动性， 为每一个学生的发展与表 现创造机会.板书设计1 因 式 分 解1.因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式2.因式分解与整式乘法的关系：提纲挈领，重点突出.教学反思教学过程中把因式分解作为培养学生逆向思维、全面思考、灵活解决矛盾 的载体.在教师的指导下，学生通过整式分解类比出因式分解，对学生类比的数 学思想进行培养.到概念强化阶段，又以整式的乘法与因式分解的对比，对学生 的逆向思维能力进行培养，也使得学生对于因式分解概念的引入接受更加自 然.这种循序渐进的思维进程有助于学生理解和接受新知识.总之，教学的着眼 点，不是熟练技能，而是发展思维，使学生在学习的情感态度与价值观上发生深 刻的变化.反思，更进一步提升.◎ ○ 名校课堂 · 同步练习全国领导者2 提公因式法第1课时 提单项式因式分解 备课素材 》新课导入设计【情境导入】由于教育形势发展的需要，某市第一中学决定购买m 台电脑和m 套桌子.现在知道每台电脑的售价是 a 元，每套桌子的售价是b 元，那么怎样表示这个学校购买电脑和桌子总共需要的资金呢?方法一：购买一台电脑和一套桌子需(a+b) 元，则购买m 台电脑和m 套桌子共需m(a+b) 元 ；方法二：购买m 台电脑需要ma 元，购买m 套桌子需mb 元，则购买m 台电脑和m 套桌子共需(ma+ mb) 元.从这两种方法中，你能得到什么启发? 教学设计 教学活动 课题第1课时 提单项式因式分解授课人素养目标1.能确定多项式各项的公因式.2.会用提公因式法把多项式因式分解.3.在探究的过程中培养学生独立思考的习惯，在交流的过程中学会向别人清晰地表达自己的思维和想法，在解 决问题的过程中培养学生解决问题的能力.教学重点会用提公因式法因式分解.教学难点准确地找出多项式各项的公因式，并注意各种变形的符号问题.授课类型新授课课时教学步骤师生活动设计意图回顾什么叫因式分解?学生回忆并回答，为本课的学习提供迁移或类比 方法 .活动一：创设情境、导 入新课【课堂引入】教师顺次出示下列问题：①因式分解的意义；②因式分解与整式乘法的关系；③公因数及最大公因数的意义.学生以小组为单位，用抢答的方式回答，看哪个组回答的最多.以抢答的方式提高学生参 与教学的积极性，同时复习了与本节课相关的知 识，为本节课的学习做好 铺垫 . ○ 名校课堂 ·新教案 ·数学 ·八年级下 ·1(BS)◎00 续表教学步骤师生活动设计意图活动二：实践探究、交 流新知【探究新知】一块场地由三个长方形组成，这些长方形的长分别为 · ,宽都是,求这块场地的面积.学生讨论得出两种解法：1.教材第114页的提公因 式法的概念采用纯文字的 形式，学生理解起来有困 难，用具体的式子给出提 公因式法因式分解的一般 形式有助于学生的理解.2.提出公因式后各项剩余部分的确定也是一个难点，通过引导启发，帮助学 生掌握方法.解4=2.师生活动：教师分析上面的解题过程：解法一是按运算顺序：先算乘，再算和进行的；解法二是先逆用分配律算 和，再计算一次乘，由此可知解法二要简单一些.这个事实说明，有时我们需要 将多项式化为积的形式，而提取公因式就是化积的一种方法.并指出：若将刚才的问题一般化，即三个长方形的长分别为a,b,c,宽都是m,则这 块场地的面积为ma+mb+mc或m(a+b+c),可以用等号来连接：ma+mb+mc=m(a+b+c).进一步提出问题：从上面的等式中，大家注意观察等式左边的每一项有什么特点?各项之间 有什么联系?等式右边的项有什么特点?学生讨论得出：等式左边的每一项都含有因式m、等式右边是m与多项式(a+b+c)的乘 积，从左边到右边是因式分解.教师归纳得出公因式及提公因式法分解因式的意义：由于m是左边多项式ma+mb+mc的各项ma,mb,mc的一个公共因式，因 此m叫作这个多项式的各项的公因式.由上式可知，把多项式ma+mb+mc写成m与(a+b+c)的乘积的形式，相 当于把公因式m从各项中提出来，作为多项式ma+mb+mc的一个因式，把m 从多项式ma+mb+mc各项中提出后形成的多项式(a+b+c),作为多项式ma+mb+mc的另一个因式，这种因式分解的方法叫作提公因式法.想一想：1.提公因式法因式分解的步骤.2.用提公因式法因式分解应注意的问题.3.提公因式法因式分解与单项式乘多项式有什么关系?说说我们在用提公因式法时有哪些心得和体会.学生回顾，交流，总结.续表教学步骤师生活动设计意图活动二：实践探究、交 流新知1.提公因式法因式分解的步骤：第一步，找出公因式； 第二步，提公因式；第三步，将多项式化成两个因式乘积的形式.2.用提公因式法因式分解应注意的问题：(1)公因式要提尽；(2)小心不要漏掉项；(3)多项式的首项取正号.3.提公因式法因式分解与单项式乘多项式之间是互逆过程.活动三：开放训练、体 现应用【典型例题】例(教材第114页例1)把下列各式因式分解：(1)2mn+4m²;(2)7p²-21p;(3)8a³b²—12ab³c+ab;(4)-24x³+12x²—28x.解：(1)原式=2m ·n+2m ·2m=2m(n+2m).(2)原式=7p ·p-7p ·3=7p(p—3).(3)原式=ab ·8a²b—ab · 12b²c+ab ·1=ab(8a²b—12b²c+1).(4)原式=—(24x³-12x²+28x)=—(4x ·6x²—4x ·3x+4x ·7)=-4x(6x²—3x+7).【变式训练】1.多项式一6x²y+12xy²—3xy提公因式—3xy后，另一个因式为2x—4y+1.2.把下列各式因式分解：(1)3ax—9ay=3a(x—3y);(2)4a³b²—2a²b= 2a²b(2ab—1).3.计算：4.3×202.2+7.6×202.2—1.9×202.2=2022.师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法.通过举例，学生进一步熟 练掌握提公因式法因式分 解的步骤，并进一步理解 因式分解与整式乘法是一 个互逆的过程.活动四：课 堂检测【课堂检测】1.因式分解2x+x³的正确结果是 ( B)A.2(x+x³) B.x(2+x²)C.2x(1+x) D.x(2+x³)2.已知x+y=6,xy=-4,则x²y+xy²的值为 ( C)A.12 B.—12C.—24 D.243.把多项式—16x³+40x²y提出一个公因式-8x²后，另一个因式是2x-5y. ○ 名校课堂 · 新教案 · 数学 · 八年级下 ·1(BS) ◎ ◎◎ 续表详见电子资源教学步骤师生活动设计意图活动四：课 堂检测4.把下列各式因式分解：(1)3xy-5y²+y;(2)—6m³n²—4m²n³+10m²n²;(3)4x³yz²—8x²yz⁴+12x⁴y²z³.解：(1)原式=y(3x—5y+1).(2)原式=-2m²n²(3m+2n-5).(3)原式=4x²yz²(x—2z²+3xz²yz).师生活动：学生进行课堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.加深对所学知识的理解， 在问题的选择上以基础为 主，让学生能灵活运用所学知识解决问题，巩固 新知 .课堂小结1.课堂小结：让学生畅谈本节课的收获.2.布置作业：(1)教材第115页随堂练习；(2)教材第116～117页习题4.2第1,2题.鼓励学生畅所欲言，总结 本节课的收获和体会，自 主建构知识体系，锻炼学 生的口头表达能力，进一 步加深对所学知识的理解 和记忆.板书设计第1课时 提单项式因式分解1.公因式的定义2.提公因式法的定义3.运用提公因式法因式分解的步骤提纲挈领，重点突出.教学反思在提公因式法的教学中使学生弄清楚提公因式法因式分解的关键是找准公因式.教学时通过各种形式调动学生的探究能力和意识，渗透数学思想方法， 学生数学素养得以逐步提高.学生的主体性得到了体现，自然产生求知和探究 的欲望，将学习当作乐事，最终达到学会、会学和乐学的境地.反思教学过程和教师表 现，进一步提升操作流程和自身素质.◎◇○ 名校课堂 · 同步练习全国领导者 ◎ 0第2课时 提多项式因式分解备课素材新课导入设计【质疑导入】1.把下列各式因式分解：(1)am+an;(2)a²b—5ab;(3)m²n+mn²—mn;(4)—2x²y+4xy²—2xy.2. 某学校有三块草坪，第一块草坪的面积为(a+b)²m², 第二块草坪的面积为a(a+b)m², 第三块草坪的 面积为 b(a+b)m², 这三块草坪的总面积是多少?教学设计 教学活动 课题第2课时 提多项式因式分解授课人素养目标1.会用提公因式法把多项式因式分解.2.从提取的公因式是一个单项式过渡到提取的公因式是多项式，进一步发展类比思想.3.进一步理解因式分解的意义，引导学生感受整体代换思想，渗透化归思想.教学重点能观察出公因式是多项式的情况，并能合理地进行因式分解.教学难点准确找出公因式，并能正确进行因式分解.授课类型新授课课时教学步骤师生活动设计意图回顾1.什么是多项式的公因式?如何确定公因式?2.什么是提公因式法?其依据是什么?用提公因式法因式分解的步骤有哪些?学生回忆并回答，为本课 的学习提供迁移或类比 方法 .活动一：创设情境、导 入新课【课堂引入】问题1:把下列各式因式分解.(1)2am-3m;(2)a²+ab+2a;(3)3x²—6xy+x.问题2:如何利用提公因式法对多项式a(x-3)+2b(x—3)进行因式分 解呢?回顾旧知并自然引入本节 课要学习的内容. ◎0○ 名校课堂 · 新教案 ·数学 ·八年级下 ·1(BS)◎0○ 续表教学步骤师生活动设计意图活动二：实践探究、交 流新知【探究新知】【 探 究 1 】1.【课堂引入】问题2中多项式中每一项的公因式是什么?2.你能类比提单项式因式分解的方法对【课堂引入】中的多项式进行因式 分解吗?3.做一做：把下列各式因式分解：(1)x(a+b)+y(a+b);(2)a(m-2)+b(2—m).【 探 究 2 】1.请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“一”,使等式成立：(1)2—a= (a—2);(2)y—x=_ (x—y);(3)b+a=_ (a+b);(4)(b—a)²= _ (a—b)²;(5)-m-n= _ (m+n);(6)—s²+t²= _ (s²—t²).2.做一做：把下列各式因式分解：(1)6(p+q)²—12(q+p);(2)2(y-x)²+3(x—y).师生活动：教师通过PPT展示习题，让学生讨论并解答.总结：口诀“找准公因式，一次要提尽；全家都搬走，留1把家守；提负要变 号，变形看奇偶”.留给学生充分的时间去讨 论、交流，学生通过类比将 提取单项式公因式的方法 与步骤推广应用于提取多 项式公因式，在讨论、交流 的过程中，归纳所发现的 规律 .活动三：开放训练、体 现应用【典型例题】例1 (教材第115页例2)把下列各式因式分解：(1)a(x—3)+2b(x—3);(2)y(x+1)+y²(x+1)².解：(1)原式=(x—3)(a+2b).(2)原式=y(x+1[1+y(x+1)]=y y(x+1)(xy+y+1).例2(教材第115页例3)把下列各式因式分解：(1)a(x—y)+b(y—x);(2)6(m—n)³—12(n-m)².解：(1)原式=a(x-y)—b(x-y)=(x-y)(a—b).(2)原式=6(m—n)³—12[—(m-n)]²=6(m-n)³-12(m-n)²=6(m-n)²(m-n-2).1.通过例题练习反馈，教 师能全面了解学生对符号 的转换的理解是否到位， 提取公因式的方法与步骤 是否掌握，以便教师能及 时地进行查缺补漏. ◎ ○ 名校课堂 · 同步练习全国领导者 ◇◎ 续表设计意图教学步骤 师生活动【变式训练】把下列各式因式分解：2.变式训练有助于进一步(1)3(a—b)²+6(b—a);活动三：开 放训练、体 现应用(2)a(a²+b²)—b(a²+b²).提高学生应用知识解决具解：(1)原式=3(a—b)(a—b—2).体问题的能力，培养其独立(2)原式=(a²+b²)(a-b).思考能力以及应变能力.师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法.【课堂检测】1.把下列各式因式分解：(1)7(a—1)+x(a-1);(2)18(a-b)²—12b(b—a)².学以致用，通过课堂检测 及时荻知学生对所学知识 的掌握情况，并最大限度 地调动全体学生学习数学 的积极性，帮助每个学生 都能有所收益、有所提高.解：(1)原式=(a-1)(7+x).(2)原式=6(a—b)²(3-2b).活动四：课 堂检测2.先因式分解，再计算求值：4a(b—2)—3a(b—2)²,其中a=1.5,b=6.解：原式=a(b—2)(10-3b).当a=1 . 5,b=6时，原式=1.5×(6—2)×(10—3×6)=-48.师生活动：学生进行课堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.课堂小结是知识沉淀的过 程，引导学生对本节课所 学内容进行梳理，并养成 反思与总结的习惯，培养 学生自我反馈、自主发展 的意识 .1.课堂小结：本节课你有哪些收获?2.布置作业：课堂小结(1)教材第116页随堂练习；(2)教材第117页习题4.2第3,4,5,6题.第2课时 提多项式因式分解板书设计提纲挈领，重点突出.1.找多项式公因式的步骤2.提多项式因式分解的步骤本节课在上节课的基础上进一步探究公因式为多项式的提公因式法因式教学反思反思，更进一步提升.教学中不分解.学生经历观察、思考、交流、总结等活动，加强学生的自主探究能力，培养 学生类比思想、转化思想和整体思想，同时加强学生的直觉思维能力.仅要重视讲授表层知识，也要注重渗透数学思想、方法，这样有利于学生对所学 知识的真正理解和掌握.详见电子资源○ 名校课堂 · 新教案 · 数学 · 八年级下 ·1(BS) ◎0○3 公式法第 1 课 时 运用平方差公式因式分解 备课素材 新 课 导 入 设 计【质疑导入】我们来做下面两题：1.计算下列各式：(1)(a+2)(a—2)= a²—4;(2)(a+b)(a—b)=a²—b² ;(3)(3a+2b)(3a—2b)= 9a²—4b² .2.下面请你根据上面的算式填空：(1)a²—4=(a+2)(a—2) ;(2)a²—b²=(a+b)(a—b) ;(3)9a²—4b²= (3a+2b)(3a—2b) .请同学们对比以上两题，你发现了什么?事实上，像上面第2题那样的因式分解是利用平方差公式进行的，这种利用乘法公式进行因式分解的方 法称为公式法.【情境导入】问题：为美化校园，现在有一块边长为a 米的正方形草皮要建成花园草坪，但在运输的过程中一角遭到 损坏，使得正方形草皮一角有边长为b 米的小正方形草皮无法使用，请你帮助设计一下，将不规则草皮通过 剪拼变成规则的图形来建成校园花园，看谁的方法多!思考：不规则草皮的面积怎样用代数式表示?规则草皮的面积怎样表示?它们之间又有什么关系?学生讨论交流：a²—b²=(a+b)(a—b).(小组讨论交流通过剪拼图形求面积的不同方法.看哪个小组的方法多!) 教学设计 课题第1课时 运用平方差公式因式分解授课人素养目标1.了解运用平方差公式进行因式分解的意义，会用平方差公式进行因式分解.2.了解提公因式法是因式分解首先考虑的方法，再考虑用平方差公式因式分解.3.经历通过平方差公式逆向运算的推导得出用公式因式分解的方法的过程，发展学生的逆向思维和推理能力.教学重点掌握用平方差公式进行因式分解.教学难点公式a²—b²=(a+b)(a—b)中的a,b为多项式时的因式分解.授课类型新授课课时○ 名校课堂 · 同步练习全国领导者 教学活动 教学步骤师生活动设计意图回顾什么是提公因式法?其依据是什么?用提公因式法因式分解的步骤有哪些?学生回忆并回答，为本节 课的学习提供迁移或类比 方法 .活动一：创设情境、导 入新课【课堂引入】问题1:我们在学习整式乘法时所学习的平方差公式用字母是如何表示的?问题2:填空：(1)(x+5)(x—5)= ;(2)(3x+y)(3x—y)= ;(3)(3m+2n)(3m-2n)=_ .从学生已有的知识出发， 激发学生强烈的好奇心和求知欲，增强学生的自 信心 .活动二：实践探究、交 流新知【探究新知】一、利用平方差公式进行因式分解问题1:观察多项式(1)x²—25,(2)9x²-y²,(3)9m²—4n²的特点，并尝试把 它们分别写成两个因式的乘积的形式.问题2:如果把乘法公式(a+b)(a—b)=a²—b²反过来，你能发现有什么 特点?答案：问题1:(1)(x+5)(x—5);(2)(3x+y)(3x-y);(3)(3m+2n)(3m—2n).问题2:a²—b²=(a+b)(a-b),特点是将一个多项式转化成了两个因式的乘积的形式.结论：整式乘法公式的逆向变形得到因式分解的方法.这种因式分解的方 法称为公式法.因式分解的平方差公式：a²—b²=(a+b)(a—b).公式特点：(1)公式左边：是一个多项式，含有两项，且这两项异号，并且能表示成 ( )²—( )²的形式.(2)公式右边：是分解的结果，是乘积的形式，是两个底数的和乘两个底数 的差 .首先让学生进行几个具体 题目的训练，再引导学生 将乘法公式中的平方差公 式颠倒过来，从而得到因 式分解的平方差公式.同 时促使学生对公式的特点 加以分析，以便学生能够 更好地掌握和运用. ○ 名校课堂 ·新教案 ·数学 ·八年级下 ·1(BS)《 ◎◎ 续表教学步骤师生活动设计意图活动二：实践探究、交 流新知二、提公因式法与平方差公式结合进行因式分解请同学们认真观察下面的式子，看看如何进行分解?(多媒体展示) 把下列各式因式分解：(1)3x²y-27y; (2)x²(x—y)—(x—y). 解：(1)原式=3y(x²-9)=3y(x+3)(x—3).(2)原式=(x-y)(x²—1)=(x-y)(x+1)(x-1).总结因式分解的一般步骤：一提二套，即当多项式的各项含有公因式时，通 常先提出公因式，然后能套用公式的再套用公式，多项式的因式分解要分解到 不能再分解为止.活动三：开放训练、体 现应用【典型例题】例1 (教材第118页例1)把下列各式因式分解：1.例题主要是让学生能够 掌握运用平方差公式因式 分解，分清公式中的a和 b,明确解题的格式和步骤.然后通过练习，进一步 促进学生熟练掌握公式的 应用 .2.进一步让学生理解平方差公式中的a,b不仅可以 表示具体的数，而且可以 表示其他代数式(多项式).同时让学生明白因式 分解的一般步骤：一提二 套，分解的结果必须彻底. 然后通过练习，促进学生 熟练掌握公式的应用.(1)25—16x²;解：(1)原式=5²—(4x)²=(5+4x)(5—4x).例2 (教材第118页例2)把下列各式因式分解：(1)2x³-8x; (2)9(m+n)²—(m-n)².解：(1)原式=2x(x²—4)=2x(x²—2²)=2x(x+2)(x—2).(2)原式=[3(m+n)]²—(m-n)²=[3(m+n)+(m—n)][3(m+n)一 (m-n)]=(3m+3n+m-n)(3m+3n-m+n)=(4m+2n)(2m+4n)=4(2m+n)(m+2n).【变式训练】把下列各式因式分解：(1)25x²y²-1;(2) (3)16(a-b)²—25(a+b)²;(4)x⁴—16.解：(1)原式=(5xy+1)(5xy-1).(3)原式=—(9a+b)(a+9b).(4)原式=(x²+4)(x+2)(x—2).师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法.. ○ 名校课堂 · 同步练习全国领导者 ◎0 续表详见电子资源教学步骤师生活动设计意图活动四：课 堂检测【课堂检测】1.下列各式中不能用平方差公式分解的是 ( D) A.—a²+b² B.49x²y²-m² C.16m⁴—25n² D.—x²-y²2.对多项式4x²-1进行因式分解，正确的是 ( B) A.4x²—1=(x+1)(x—1) B.4x²-1=(2x+1)(2x—1)C.4x²-1=(4x+1)(4x—1) D.4x²—1=(1+2x)(1—2x)3.利用因式分解简便运算：52.8²—47.2²=560.4.把下列各式因式分解：(1)4a²-9;(2)—16x²+y²;(3)4a²(x-y)+9(y-x);(4)9(a—b)²—25(a+b)².解：(1)原式=(2a+3)(2a-3).(2)原式=(一4x+y)(4x+y).(3)原式=4a²(x—y)-9(x—y)=(x—y)(4a²-9)=(x—y)(2a+3)(2a-3).(4)原式=[3(a—b)+5(a+b)][3(a-b)-5(a+b)]=(8a+2b)(—2a—8b)=-4(4a+b)(a+4b).师生活动：学生进行课堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.通过设置课堂检测，进一 步巩固新知，及时检测学 习效果，做到“堂堂清”课堂小结1.课堂小结：本节课你有哪些收获?还有哪些困惑?2.布置作业：(1)教材第119页随堂练习第1,2题；(2)教材第121～122页习题4.3第1,4,5,6,7题.鼓励学生畅所欲言，总结 本节课的收获和体会，自 主建构知识体系，锻炼学 生的口头表达能力，进一 步加深对所学知识的理解 和记忆.板书设计第1课时 运用平方差公式因式分解 运用平方差公式因式分解：a²—b²=(a+b)(a—b)提纲挈领，重点突出.教学反思因式分解虽然与整式乘法是互逆运算，但是对于学生而言，它是一个新的 知识，学生在之前的学习中虽然已经掌握了平方差公式，然而受思维定势的影 响，学生对公式的逆用会产生混淆，所以在练习中，需要根据学生的个体差异设 置难易程度不同的题，有效分层，开展课内技能训练，让每个学生都学有所成反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程 和自身素质.◎0◎ 名校课堂 · 新教案 ·数学 ·八年级下 ·1(BS) ◎第 2 课 时 运用完全平方公式因式分解 备课素材 新课导入设计【归纳导入】1.用整式乘法的完全平方公式填空：(1)(a+1)²=( a)²+2·a·1+(1)²= a²+2a+1 ;(2)(a-b)²=(a)²-2·a·b+(b)²= a²—2ab+b² .2.观察第1题你会有什么发现?用你的发现尝试把下列多项式因式分解：(1)a²+2a+1=(a)²+2·a·1+(1)²= (a+1)² ;(2)a²—2ab+b²=( a)²—2·a·b+(b)²= (a-b)² .3.根据上面的填空完成下面的知识归纳.(1)第1题由左到右的变形是整式乘法，第2题由左到右的变形是因式分解；(2)我们知道整式乘法的完全平方公式：(a+b)²= a²+2ab+b² ,(a—b)²= a²—2ab+b² ,反过来就得到因式分解的完全平方公式：a²+2ab+b² =(a+b)²; a²—2ab+b² =(a—b)².用文字语言描述为：两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的1 .【情境导入】由前面的学习，我们知道了因式分解与整式乘法是互逆的恒等变形.逆用整式乘法，我们找到了因式分 解的两种方法：提公因式法和运用平方差公式法.现在，大家自然会想，因式分解还有其他的方法吗?本节 课就让我们一起来研究因式分解的另一种方法.例 在某中学教学区有一块边长为a 米的正方形草坪，现在校长想把这块草坪改种花卉，要求边长增加 b 米，形成四块区域，以种植不同的花卉，如图.为了估算所需购买花卉的总量，你能帮校长计算一下这块种 植区的总面积吗?(多媒体展示)○ 名校课堂 · 同步练习全国领导者 ◎0教学设计教学活动 课题第2课时 运用完全平方公式因式分解授课人素养目标1.了解运用公式法进行因式分解的意义，会用完全平方公式进行因式分解.2.在导出完全平方公式法因式分解及对其特点进行辨析的过程中，培养学生观察、归纳和逆向思维的能力.3.能通过综合运用提公因式法、完全平方公式法因式分解，进一步培养学生的观察和联想能力.教学重点掌握用完全平方公式进行因式分解，掌握多步骤、多方法因式分解的技巧.教学难点灵活地运用公式法或以前学过的提公因式法进行因式分解，正确地判断因式分解的彻底性问题.授课类型新授课课时教学步骤师生活动设计意图回顾1.我们学习了哪些因式分解的方法?2.把下列各式因式分解：(1)ax⁴-9ay²;(2)x⁴—16.学生回忆并回答，为本课的学习提供迁移或类比 方法 .活动一：创设情境、导 入新课【课堂引入】我们知道，因式分解是整式乘法的逆过程，逆用乘法公式，我们找到了因式 分解的两种方法：提公因式法、运用平方差公式法.现在，大家自然会想，还有哪 些乘法公式可以用来分解因式呢?计算：(1)(m—4n)²=_ ;(2)(m+4n)²= ;反 过 来 ( 1 ) =(m-4n)²;(2) =(m+4n)².以上运算，哪些是整式乘法，哪些是因式分解?你能说明整式乘法与因式 分解的关系吗?引导学生在复习旧知识的基础上，找出自己不能解决的问题，然后对照七年级的整式乘法的学习基础，识别完全平方式，从而理解整式乘法与因式分解 的关系 .活动二：实践探究、交 流新知【探究新知】在上面的等式中，我们用到了整式乘法中的哪个公式?(a+b)²=a²+2ab+b²;(a—b)²=a²—2ab+b².归纳：1. 由【课堂引入】我们发现，根据完全平方公式可以把某些多项式因式分 解.根据因式分解与整式乘法的关系，利用乘法公式将某些多项式因式分解的 方法统称公式法.2.议一议：下列各式能用完全平方公式因式分解吗?如果能，把它分解出 来；如果不能，请说明理由.(1)a²—4a+4;(2)x²+4zy+4y²+16;(3)4a²+2ab+b²;(4)a²—ab+b²;(5)x²—6x-9.学生认真观察、比较，得出能够用完全平方公式因式分解的式子特征.师生活动：通过议一议让师生归纳能够用完全平方公式因式分解的式子的 特征 .(1)必须是三项式(或可以看成三项的);(2)有两个同号的平方项；(3)有一个乘积项(等于平方项底数积的±2倍).简记口诀：头平方，尾平方，乘积2倍在中央.练一练(体验用完全平方公式因式分解的过程): ◎0◎ 名校课堂 · 新教案 ·数学 ·八年级下 ·1(BS) ◎ ◎ 续表教学步骤师生活动设计意图活动二：实践探究、交 流新知a²+6a+9=a²+2 · · 十()²=( )²;a²—12a+36=a²—2 · · +( )²=( )²;m²+8m+16=m²+2 · ·_ +( )²=( )²;x²—4xy+4y²=x²-2 · · +()²=( )².师生提炼：利用完全平方公式因式分解的一般步骤：1.一提：多项式各项有公因式时，应先提取公因式；首项负号提前后，括号 里各项要注意变号.2.二套：观察、分析和判断所给出的多项式能不能套用完全平方公式把它 进行因式分解.3.三查：检查是否分解彻底.学生在以前的学习中虽然 已经掌握了平方差公式和 完全平方公式，但是受思 维定势的影响，他们对公 式的逆用会产生混淆.通 过这样的分析，帮助学生 掌握这种公式的特点，以 更好地运用完全平方公式 法进行因式分解.活动三：开放训练、体 现应用【典型例题】例1 (教材第119页例3)把下列各式因式分解：(1)x²+14x+49; (2)(m+n)²—6(m+n)+9.解：(1)原式=x²+2×7x+7²=(x+7)².(2)原式=[(m+n)- 3]=(m+n-3)².例2 (教材第120页例4)把下列各式因式分解：(1)3ax²+6axy+3ay²; (2)-x²-4y²+4xy.解：(1)原式=3a(x²+2xy+y²)=3a(x+y)².(2)原式=—(x²+4y²—4xy)=—(x²—4xy+4y²)=—[x²—2 ·x ·2y+(2y)²]=—(x—2y)².【变式训练】1.若多项式4x²—6mx+9能用完全平方公式分解因式，则m的值是 (A)A.m=±2 B.m=±1 C.m=2 D.m=-22.分解因式： x⁴—8x²y²+16y⁴= (x+2y)²(x-2y)² .师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法.学生在探究、交流中能获 得一些初步概念和技能， 但真正掌握知识与技能， 还需要教师示范典型例题 来帮助学生模仿学习.经 过规范化的示范，才能逐 步培养学生严谨的思维和 计算能力.◎ ○名校课堂 · 同步练习全国领导者 ◇ 续表经典导学设计详见电子资源教学步骤师生活动设计意图活动四：课 堂检测【课堂检测】1.下列各式中，能用完全平方公式因式分解的有 (A)①z²+2x+1;②4a²-4a-1;( ;④4m²+2mn+n²;⑤1+16y².A.2个 B.3个 C.4个 D.5个2.已知x²+mx+16能用完全平方公式因式分解，则m的值为 (D) A.4 B. ±4 C.8 D. ±83.把下列各式因式分解：(1)81a²+16b²—72ab; (2)-a²+6ab—9b²;(3)2mx²—4mxy+2my²; (4)a²-2a(b+c)+(b+c)².解：(1)原式=(9a-4b)² .(2)原式=—(a²—6ab+9b²)=—(a-3b)².(3)原式=2m(x-y)² .(4)原式=(a—b—c)².师生活动：学生进行课堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.通过设置课堂检测，及时 获知学生对所学知识的掌 握情况，明确哪些学生需 要在课后加强辅导，达到 全面提高的目的.课堂小结1.课堂小结：(1)本节课我们学习了用完全平方公式进行因式分解，它与平方差公式有哪 些不同?(2)本节课你收获了什么?2.布置作业：(1)教材第120页随堂练习第1,2题.(2)教材第122页习题4.3第2,3题.课堂小结是知识沉淀的过 程，它能促进学生对本节 课所学内容进行梳理，养 成反思与总结的习惯，培 养自我反馈、自主发展的 意识 .板书设计第2课时 运用完全平方公式因式分解 运用完全平方公式因式分解： a²±2ab+b²=(a±b)²提纲挈领，重点突出.教学反思导入时注意引导学生关注公式的结构特征，在教学过程中，始终关注学生 思维品质的培养和锻炼，由乘法公式得到因式分解公式的探索中，运用逆向思 维发现新知识.反思教学过程和教师表 现，进一步优化操作流程 和提升自身素质.