专题02 因式分解单元过关【基础版】-2025-2026学年八年级数学下册重难考点强化训练（北师大版）(原卷版+解析版）

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专题02 因式分解单元过关（基础版） 考试范围：第4章；考试时间：120分钟；总分：150分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）1．一个大正方形被分割成四部分的面积分别为mn,n2,m2,mn，则大正方形的边长为（   ）A．2m+nB．m−nC．2m−nD．m+n【答案】D【知识点】完全平方公式分解因式【分析】本题考查用完全平方公式因式分解的应用，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．根据四部分的面积和为m2+2mn+n2，即(m+n)2，因此正方形的边长为m+n．【详解】解：∵n2+mn+m2+mn=m2+2mn+n2=(m+n)2，∴大正方形的边长为m+n，故选：D．2．将多项式ax2−4ay2分解因式所得结果为（   ）A．ax2−4y2B．ax+2yx−2yC．ax+4yx−4yD．ax+2yax−2y【答案】B【知识点】综合提公因式和公式法分解因式【分析】此题考查因式分解．先提取公因式a，再将括号中的利用平方差公式分解因式．【详解】解：ax2−4ay2=ax2−4y2=ax+2yx−2y，故选：B．3．下列从左到右的运算是因式分解的是（   ）A．ma+mb−c=m(a+b)−cB．9x2−25y2=(3x+5y)(3x−5y)C．a2+ab+b2=(a+b)2D．−a2+3ab−a=−a(a+3b−1)【答案】B【知识点】提公因式法分解因式、平方差公式分解因式、判断是否是因式分解【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．本题考查了因式分解，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．【详解】解：A．ma+mb−c=m(a+b)−c，没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故本选项不符合题意；B．9x2−25y2=(3x+5y)(3x−5y)，利用平方差公式直接分解，故此选项符合题意；C．a2+ab+b2≠(a+b)2，故本选项不符合题意；D．−a2+3ab−a=−a(a−3b+1)，故本选项不符合题意．故选：B．4．下列因式分解正确的是（    ）A．2m2−4m=2m2−2mB．m3−m2=m31−1mC．m2−2m+1=(m−1)2D．−m2+4=(m+2)(m−2)【答案】C【知识点】完全平方公式分解因式、判断是否是因式分解【分析】本题考查的是多项式的因式分解，掌握因式分解的定义“把一个整式化为几个因式的积的形式”是解题关键．【详解】解：A. 2m2−4m=2mm−2，原式分解不完全，故不正确；B. m3−m2=m2m−1，原式分解有分式，故不正确；C. m2−2m+1=(m−1)2，分解正确；D. −m2+4=−(m+2)(m−2)，原式分解左右不相等，故不正确；故选：C．5．对任意整数n，2n−12−25都能（　　）A．被3整除B．被4整除C．被5整除D．被6整除【答案】B【知识点】因式分解的应用、平方差公式分解因式、数的整除、综合提公因式和公式法分解因式【分析】本题考查因式分解的应用，涉及平方差公式因式分解、提公因式因式分解等知识，先由平方差公式因式分解，再由提公因式因式分解，得到2n−12−25 =4n−3n+2即可确定答案，熟练掌握因式分解的方法是解决问题的关键．【详解】解：∵ 2n−12−25=2n−12−52=2n−1−52n−1+5=2n−62n+4=4n−3n+2，∴对任意整数n，2n−12−25都能被4整除，故选：B．6．下面是某同学在一次测验中的计算摘录，其中正确的有（    ）（1）3x3⋅−2x2=−6x5（2）4a3b÷−2a2b=−2a（3）a(−a+2b)=−a2−2ab（4）(2x−3y)4x2+6xy+9y2=8x3+27y3A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【知识点】计算多项式乘多项式、计算单项式除以单项式、计算单项式乘单项式、计算单项式乘多项式及求值【分析】本题主要考查整式的乘除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据整式的乘除运算法则进行判断即可．【详解】解：3x3⋅−2x2=−6x5，原选项正确；4a3b÷−2a2b=−2a，原选项正确；a(−a+2b)=−a2+2ab，原选项错误；(2x−3y)4x2+6xy+9y2=8x3−27y3，原选项错误；故选B．7．不能被20213−2021整除的是（   ）A．2019B．2020C．2021D．2022【答案】A【知识点】因式分解的应用、综合提公因式和公式法分解因式【分析】此题考查了因式分解的应用，先提取公因式，再利用平方差公式因式分解得到20213−2021=2021×2021+12021−1=2021×2022×2020，即可作出判断和选择．【详解】解：∵20213−2021=202120212−1=2021×2021+12021−1=2021×2022×2020，∴不能被20213−2021整除的是2019，故选：A．8．当n为自然数时，(n+1)2−(n−3)2一定能（   ）A．被5整除B．被6整除C．被7整除D．被8整除【答案】D【知识点】平方差公式分解因式、因式分解的应用【分析】本题考查的是利用平方差公式分解因式，掌握“a2−b2=(a+b)(a−b)”是解题的关键．先把(n+1)2−(n−3)2分解因式可得结果为：8(n−1)，从而可得答案．【详解】解：(n+1)2−(n−3)2=(n+1+n−3)[n+1−(n−3)]=(2n−2)×4=8(n−1)∵n为自然数所以(n+1)2−(n−3)2一定能被8整除，故选D9．下列因式分解正确的是（   ）A．x2+1=x+12B．x2+2x−1=x−12C．2x2−2=2x2−1=2x+1x−1D．x2−x+2=xx−1+2【答案】C【知识点】判断是否是因式分解、综合提公因式和公式法分解因式【分析】根据因式分解的定义及方法逐项分析即可．本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法． 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．【详解】解：选项A，B中的等式不成立；选项C中，2x2−2=2x2−1=2x+1x−1，正确．D选项中，多项式x2−x+2在实数范围内不能因式分解；故选C．10．因式分解：2a2−12a+18=（　　）A．2a2−6a+9B．a−32C．2a−3a+3D．2a−32【答案】D【知识点】综合提公因式和公式法分解因式【分析】本题考查用提公因式法及公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．先提公因式2，再利用完全平方公式因式分解即可．【详解】解：原式=2a2−6a+9=2a−32，故选：D．第II卷（非选择题）11．4x2−y2因式分解的结果为 ．【答案】2x+y2x−y【知识点】平方差公式分解因式【分析】本题考查了因式分解；用平方差公式“a2−b2=a+ba−b”进行分解因式，即可求解；掌握因式分解的方法是解题的关键．【详解】解：原式=2x+y2x−y；故答案：2x+y2x−y．12．如果x2−m+1x+25是一个完全平方式，那么m的值是 ．【答案】−11或9/9或−11【知识点】求完全平方式中的字母系数【分析】本题主要考查了完全平方式，根据所给式子可知两平方项分别为x2，52，那么一次项为±2⋅x⋅5，据此可得−m+1=±10，解方程即可得到答案．【详解】解：x2−m+1x+25=x2−m+1x+52是一个完全平方式，∴−m+1x=±2⋅x⋅5，∴−m+1x=±10x，∴−m+1=±10∴m=9或m=−11，故答案为：−11或9．13．代数式2a+1与a+4互为相反数，则a= ．【答案】−53【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、相反数的应用【分析】本题考查了互为相反数的两个数的运算特征：互为相反数的两个的和为零，解一元一次方程；由题意得：2a+1+a+4=0，由此式求得a的值．【详解】解：因为2a+1与a+4互为相反数，所以2a+1+a+4=0，即3a+5=0，解得：a=−53；故答案为：−53．14．若2x+y=32x−y=5，则4x2−y2的值为 ．【答案】15【知识点】平方差公式分解因式【分析】本题考查的是利用平方差公式分解因式，把4x2−y2化为2x+y2x−y，再代入计算即可．【详解】解：∵2x+y=32x−y=5，∴4x2−y2=2x+y2x−y=3×5=15；故答案为：1515．若x2+2x−8=(x+m)(x+n)，且m>n，则mn的值为 ．【答案】116【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法、因式分解法解一元二次方程、负整数指数幂【分析】本题考查了多项式与多项式的乘法运算，解一元二次方程，负整数指数幂的意义，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．先根据多项式与多项式的乘法法则得出m+n=2，mn=−8，然后求出m，n的值代入mn计算即可．【详解】解：∵x2+2x−8=(x+m)(x+n)，∴x2+2x−8=x2+m+nx+mn，∴m+n=2，mn=−8，∴m=4n=−2或m=−2n=4（舍去），∴mn=4−2=116．故答案为：116．16．已知x5+x+1=0，则x3−x2的值是 ．【答案】−1【知识点】因式分解的应用、完全平方公式分解因式【分析】本题考查了因式分解的应用．将x5+x+1=0左边分解因式得x3−x2+1x2+x+1=0，由x2+x+1=x+122+34>0，则x3−x2+1=0，据此求解即可．【详解】解：∵x5+x+1=0，∴x5+x4+x3−x4−x3−x2+x2+x+1=0，∴x3−x2+1x2+x+1=0，∴x3−x2+1=0或x2+x+1=0，∵x2+x+1=x+122+34>0，∴x2+x+1=0（舍去），∴x3−x2=−1，故答案为：−1．17．多项式a2−b2+2a添加一个单项式后能用分组分解法进行因式分解．如果将a2和+2a分成一组，−b2和此单项式分成一组，那么这个单项式为 ．【答案】14a2b2或−12ab2【知识点】分组分解法、综合提公因式和公式法分解因式【分析】本题考查的是因式分解，掌握分组分解因式的方法是解本题的关键，先分解a2+2a得到分组后的公因式是a+2，由此可得−b2和此单项式分成一组后应得到公因式a+2，从而可得答案．【详解】解：∵a2+2a=aa+2，∴第一种情况，−b2与14a2b2一组，∴a2−b2+2a+14a2b2=a2+2a+14a2b2−b2=aa+2+14b2a2−4=aa+2+14b2a+2a−2=a+2a+14b2a−2=a+2a+14ab2−12b2；第二种情况，−b2与−12ab2一组，∴a2−b2+2a−12ab2=a2+2a−b2+12ab2=aa+2−12b22+a=aa+2−12b2a+2=a+2a−12b2；故答案为：14a2b2或−12ab2．18．在本学期第六章《整式的运算》的学习中，我们用如图中面积的割补来解释某个乘法公式几何意义，这个乘法公式是 （用图中的字母表示）．  【答案】a2−b2=a+ba−b【知识点】平方差公式与几何图形【分析】本题考查了平方差公式几何意义的理解，将整式运算与几何图形结合，注意各个量的变化．分别表示出两种情况下的阴影部分的面积，而面积是相等的，故可得到结果．【详解】解：在图(1)中，大正方形面积为a2，小正方形面积为b2，所以阴影部分的面积为a2−b2，在图(2)中，阴影部分为一长方形，长为a+b，宽为a−b，则面积为a+ba−b，由于两个阴影部分面积相等，所以有a2−b2=a+ba−b．故答案为a2−b2=a+ba−b2．19．因式分解(1)−9+6x−x2；(2)(x−1)(x−3)+1．【答案】(1)−3−x2(2)x−22【知识点】综合提公因式和公式法分解因式【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．（1）先提取负号，再用完全平方公式分解；（2）整理后用完全平方公式分解．【详解】（1）解：−9+6x−x2=−9−6x+x2=−3−x2（2）解：(x−1)(x−3)+1=x2−4x+3+1=x2−4x+4=x−2220．利用整式乘法公式计算下列各题：(1)2032−1200；(2)95×105．【答案】(1)40009(2)9975【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算【分析】本题考查完全平方公式和平方差公式，熟记乘法公式并灵活运用是解答的关键．（1）将原式化为200+32−1200，然后利用完全平方公式求解即可；（2）将原式化为95×105=100−5100+5，然后利用平方差公式求解即可．【详解】（1）解：2032−1200=200+32−1200=2002+2×3×200+32−1200=40000+1200+9−1200=40009；（2）解：95×105=100−5100+5=1002−52=10000−25=9975．21．小聪学习多项式时研究了多项式值为0的问题，发现当mx+n=0或px+q=0时，多项式A=mx+npx+q=mpx2+mq+npx+nq的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点．(1)已知多项式2x+1x+3，则此多项式的零点为_______．(2)已知多项式B=x−2bx+c=ax2−a−1x−a2有一个零点为2，求多项式B的另一个零点．【答案】(1)x=−12和x=−3(2)x=−14【知识点】已知因式分解的结果求参数、十字相乘法【分析】本题主要考查了多项式乘法与因式分解：（1）根据题意求出2x+1=0和x+3=0时x的值即可得到答案；（2）先把x=2代入ax2−a−1x−a2=0中，求出a的值，再把多项式ax2−a−1x−a2进行分解因式，最后根据零点的定义求解即可．【详解】（1）解：当2x+1=0时，x=−12，当x+3=0时，x=−3，∴多项式2x+1x+3的零点为x=−12和x=−3，故答案为：x=−12和x=−3；（2）解：∵多项式B=x−2bx+c=ax2−a−1x−a2有一个零点为2，∴4a−2a−1−a2=0，解得a=−43，∴B=−4x23+73x+23=−134x2−7x−2=−134x+1x−2，当4x+1=0时，x=−14，∴多项式B的另一个零点为x=−14．22．综合实践课上老师展示了如下例题：这种解决问题的方法叫特殊值法，即将题目中某个未知量取一个特殊值，通过运算，得出答案的一种方法．(1)数学思考：例题中“■”处m的值为________；(2)方法运用：已知三次四项式2x3−x2−x−n有一个因式是2x−3，求n的值；(3)深入探究：已知关于x的多项式x3+ax2+bx−6分解因式得M⋅x−1x−2．①求a、b的值；②M=________．【答案】(1)24(2)n=−3(3)①a=−6b=11；②x−3【知识点】因式分解的应用、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、加减消元法【分析】本题主要考查了因式分解的应用：（1）解方程2×−23−2×−22+m=0可得出m的值；（2）依照示例即可求出n的值；（3）①由题意得x3+ax2+bx−6=M⋅x−1x−2，令x=1，则1+a+b−6=0，即a+b=5；令x=2，则8+4a+2b−6=0，即2a+b=−1，解方程组解求解；②则由题意得x3−6x2+11x−6=M⋅x−1x−2，设M=mx+n，则得到x3−6x2+11x−6=mx+n⋅x−1x−2，化简得到x3−6x2+11x−6=mx3+n−3mx2+2m−3nx+2n，使得等式恒成立，则m=1n−3m=−6，即可求解M．【详解】（1）解：2×−23−2×−22+m=0，−24+m=0，∴m=24，故答案为：24；（2）解：设2x3−x2−x+n=A2x−3，令x=32，则有：2×323−322−32+n=0，解得，n=−3；（3）解：①由题意得x3+ax2+bx−6=M⋅x−1x−2，令x=1，则1+a+b−6=0，即a+b=5；令x=2，则8+4a+2b−6=0，即2a+b=−1，∴a+b=52a+b=−1，解得：a=−6b=11；②此时关于x的多项式x3+ax2+bx−6为x3−6x2+11x−6，则由题意得：x3−6x2+11x−6=M⋅x−1x−2，设M=mx+n，∴x3−6x2+11x−6=mx+n⋅x−1x−2，x3−6x2+11x−6=mx+n⋅x2−3x+2x3−6x2+11x−6=mx3+n−3mx2+2m−3nx+2n，∴m=1n−3m=−6，解得：m=1n=−3，经检验，符合题意，∴M=x−3，故答案为：x−3．23．阅读材料：若m2−2mn+2n2−4n+4=0，求m，n的值．解：∵m2−2mn+2n2−4n+4=0，∴m2−2mn+n2+n2−4n+4=0∴m−n2+n−22=0，∴m−n2=0,n−22=0，∴n=2，m=2．根据你的观察，探究下面的问题：(1)a2+b2+6a−2b+10=0，则a= ，b= ．(2)已知x2+2y2−2xy+8y+16=0，求xy的值．(3)已知等腰△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足2a2+b2−4a−8b+18=0，求△ABC的周长．【答案】(1)−3，1(2)xy=16(3)9【知识点】三角形三边关系的应用、运用完全平方公式进行运算【分析】（1）a2+b2+6a−2b+10=a+32+b−12，据此即可求解；（2）x2+2y2−2xy+8y+16=x−y2+y+42，据此即可求解；（3）2a2+b2−4a−8b+18=2a−12+b−42，据此即可求解．【详解】（1）解：∵a2+b2+6a−2b+10=a+32+b−12，∴a+32=0,b−12=0，∴a=−3，b=1；故答案为：−3，1；（2）解：∵x2+2y2−2xy+8y+16=x−y2+y+42，∴x−y2=0,y+42=0，∴y=−4，x=−4，∴xy=16；（3）解：∵2a2+b2−4a−8b+18=2a−12+b−42，∴2a−12=0,b−42=0，∴a=1，b=4，①c=1,∵a+c=2