专题01 因式分解【知识串讲+十三大考点】-2025-2026学年八年级数学下册重难考点强化训练（北师大版）(原卷版+解析版）

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专题01 因式分解 模块一考点类型模块二知识点一遍过（一）因式分解的定义（1）因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． （2）因式分解的定义注意事项：①分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；②因式分解必须是恒等变形； ③因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．④因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．（二）因式分解的方法（1）提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；【提公因式法的注意事项】①定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。 ②定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母。 ③定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂。④查结果：最后检查核实，应保证含有多项式的因式中再无公因式。 （2）公式法运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；平方差公式： a2－b2＝（a＋b）（a－b）② 完全平方公式： a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝（a－b）2（3）十字相乘：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)（三）因式分解的步骤（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。模块三考点一遍过考点1：因式分解的定义典例1：下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ）A．xx+1=x2+xB．x2+xy−3=xx+y−3C．x2+2x+3=x+12+2D．−x2+y2=x+yy−x【答案】D【知识点】判断是否是因式分解【分析】此题考查因式分解的定义，解题关键在于需要掌握因式分解的定义．把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，就是因式分解，通过分析各项中，哪项等式右边为乘积的形式，即可解答题目．【详解】解：A、xx+1=x2+x，从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；B、x2+xy−3=xx+y−3，等式的右边不是几个整式的积的形式，即从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；C、x2+2x+3=x+12+2，等式的右边不是几个整式的积的形式，即从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；D、−x2+y2=x+yy−x，从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；故选：D．【变式1】下列等式中，从左到右的变化是因式分解的是（   ）A．xx+1=x2+xB．x2+xy−3=xx+y−3C．x2−2x+1=x−12D．x2+6x+4=x+32−5【答案】C【知识点】判断是否是因式分解【分析】此题考查了因式分解，理解分解因式概念是解题的关键．把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，据此进行判断即可．【详解】解：A、xx+1=x2+x从左到右的变形属于整式乘法，不是因式分解，不符合题意；B、x2+xy−3=xx+y−3等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意；C、x2−2x+1=x−12是因式分解，符合题意；D、x2+6x+4=x+32−5等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意；故选：C．【变式2】下列各式从左到右是因式分解的是 ．①x+3x−3=x2−9；      ②x2+2x+2=x+12+1；③x2−x−12=(x+3)(x−4)；      ④x2+3xy+2y2=(x+2y)(x+y)；⑤m2+1m+2=m+1m2；            ⑥a3−b3=(a−b)a2+ab+b2．【答案】③④⑥【知识点】判断是否是因式分解【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，判断求解．【详解】解：①x+3x−3=x2−9是整式的乘法，不是因式分解，故不符合题意；②x2+2x+2=x+12+1右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故不符合题意；③x2−x−12=(x+3)(x−4)是因式分解，故符合题意；④x2+3xy+2y2=(x+2y)(x+y)是因式分解，故符合题意；⑤m2+1m+2=m+1m2等号不成立，不是因式分解，故不符合题意；⑥a3−b3=(a−b)a2+ab+b2是因式分解，故符合题意；故答案为：③④⑥．【点睛】此题考查了因式分解．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．【变式3】观察下列从左到右的变形：①−6a3b3=2a2b−3ab2；②ma−mb+c=m(a−b)+c；③6x2+12xy+6y2=6(x+y)2；④(3a+2b)(3a−2b)=9a2−4b2．其中是因式分解的是 （填序号）．【答案】③【知识点】判断是否是因式分解【解析】略考点2：由因式分解求字母典例2：若x2+mx+2=(x+2)(x−n)，则m−n的值是(   )A．6B．4C．2D．−6【答案】B【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法、已知因式分解的结果求参数【分析】本题考查了因式分解与多项式乘多项式，计算(x+2)(x−n)即可求解．【详解】解：∵(x+2)(x−n)=x2+2−nx−2n=x2+mx+2∴−2n=2,2−n=m∴n=−1,m=3∴m−n=3−−1=4，故选：B．【变式1】若81−xk=9+x23+x3−x，那么k的值是（　　）A．2B．3C．4D．5【答案】C【知识点】因式分解的应用、已知因式分解的结果求参数【分析】本题考查了平方差公式的应用；先把等式右边利用平方差公式进行计算；然后与左边的81−xk比较即可求解．【详解】解：∵81−xk=9+x23+x3−x，∴81−xk=9+x29−x2=81−x4，∴k=4．故选：C．【变式2】已知二次三项式x2+mx+n因式分解的结果是(x−2)(x−3)，则(m+n)2024= ．【答案】1【知识点】已知因式分解的结果求参数、计算多项式乘多项式【分析】本题考查因式分解的应用，利用多项式乘多项式的法则，将(x−2)(x−3)展开，求出m,n的值，再代入代数式求值即可．【详解】解：∵(x−2)(x−3)=x2−5x+6，且x2+mx+n=(x−2)(x−3)，∴m=−5,n=6，∴(m+n)2024=(−5+6)2024=1；故答案为：1．【变式3】多项式2x2+mnx+n因式分解的结果是2x−1x+14，则m= ，n= 【答案】 2 −14【知识点】已知因式分解的结果求参数、（x+p）（x+q）型多项式乘法【分析】本题考查了整式的因式分解，掌握多项式乘多项式法则及乘法与因式分解的关系是解决本题的关键．先利用多项式乘多项式法则算乘法，再利用乘法与因式分解的关系得结论．【详解】解：∵(2x−1)x+14=2x2−12x−14，又∵多项式2x2+mnx+n因式分解的结果是2x−1x+14，∴2x2+mnx+n=2x2−12x−14.∴mn=−12,n=−14.∴m=2.故答案为：2,−14．考点3：因式分解的几何证明典例3：通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是（   ）A．ab−ax=ab−xB．ab−bx=ba−xC．ab−ax−bx=a−xb−xD．ab−ax−bx+x2=a−xb−x【答案】D【知识点】因式分解的应用【分析】本题主要考查因式分解，先根据图1和图2，分别用两种方法表示出阴影部分面积，然后列出等式即可；掌握数形结合思想成为解题的关键．【详解】解：图1中的阴影部分的面积为ab−ax−bx+x2，图2中的阴影部分的面积为a−xb−x，∴ab−ax−bx+x2=a−xb−x，故答案为∶D．【变式1】将几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式．例如，由图（1）可得等式：x2+p+qx+pq=x+px+q，将图（2）所示的卡片若干张进行拼图，可以将二次三项式a2+3ab+2b2分解因式为（   ）A．a+b2a+bB．a+b3a+bC．a+ba+2bD．a+ba+3b【答案】C【知识点】多项式乘多项式与图形面积、因式分解的应用【分析】本题考查了因式分解的应用，作出图形，利用所示图形的面积间的和差关系即可求解，熟练掌握因式分解是解题的关键．【详解】解：如下图：∴a2+3ab+2b2=a+ba+2b，故选：C．【变式2】有足够多如图的长方形和正方形的卡片，如果分别选取1号、2号、3号卡片各1张、2张、3张，可不重叠、无缝隙拼成右图的长方形，则运用拼图前后面积之间的关系可以写出一个因式分解的式子： ．【答案】a2+3ab+2b2=a+2ba+b【知识点】因式分解的应用【分析】用两种不同法方法求长方形的面积．【详解】解：a2+3ab+2b2=a+2ba+b，故答案为：a2+3ab+2b2=a+2ba+b．【点睛】本题考查了多项式相乘的几何背景，掌握长方形的面积公式是解题的关键．【变式3】如图，四边形ABCD是一个长方形，根据图中所标注的线段长度表示长方形ABCD的面积，可得到的表示一个多项式因式分解的代数恒等式为 ．【答案】m2+2mn=m(m+2n)【知识点】多项式乘多项式与图形面积、因式分解的应用【分析】根据长方形的面积=长×宽，长方形的面积=1个正方形的面积+2个矩形的面积，通过两种计算方法，得到代数恒等式m2+2mn=m（m+2n），得到等式．【详解】解：∵长方形ABCD的面积=m2+2mn，长方形ABCD的面积=m（m+2n），∴m2+2mn=m（m+2n）．故答案为：m2+2mn=m（m+2n）．【点睛】本题考查因式分解的应用，用两种计算方法计算长方形的面积从而得到等式．考点4：因式分解——提公因式典例4：因式分解：(1)5x2yz+10xy2z−5xyz；(2)10aba−b3−5bb−a2；【答案】(1)5xyzx+2y−1(2)5ba−b22a2−2ab−1【知识点】提公因式法分解因式【分析】本题考查了提公因式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．（1）原式提取公因式5xyz即可；（2）原式提取公因式5ba−b2即可．【详解】（1）解：5x2yz+10xy2z−5xyz=5xyz⋅x+5xyz⋅2y−5xyz⋅1=5xyzx+2y−1；（2）解：10aba−b3−5bb−a2=5ba−b2⋅2aa−b−5ba−b2⋅1=5ba−b22aa−b−1=5ba−b22a2−2ab−1．【变式1】因式分解：4(a−b)(2a−3b)+(3b−2a)b2【答案】3b−2ab2+4b−4a【知识点】提公因式法分解因式【分析】本题考查了因式分解，提公因式3b−2a，即可求解．【详解】解：4(a−b)(2a−3b)+(3b−2a)b2=3b−2ab2−4a−b=3b−2ab2+4b−4a【变式2】分解因式：(1)21xy−14xz+35x2；(2)15xy+10x2−5x；(3)2a+b3a−2b−4a2a+b；(4)x−22−x+2．【答案】(1)7x3y−2z+5x(2)5x3y+2x−1(3)−2a+ba+2b(4)x−2x−3【知识点】提公因式法分解因式【分析】本题考查的是提公因式法分解因式，掌握公因式的确定是解本题的关键；（1）直接利用提公因式分解因式即可；（2）直接利用提公因式分解因式即可；（3）直接利用提公因式分解因式即可；（4）直接利用提公因式分解因式即可；【详解】（1）解：21xy−14xz+35x2=7x3y−2z+5x；（2）解：15xy+10x2−5x=5x3y+2x−1；（3）解：2a+b3a−2b−4a2a+b=2a+b3a−2b−4a=2a+b−a−2b=−2a+ba+2b；（4）解：x−22−x+2=x−22−x−2=x−2x−2−1=x−2x−3；【变式3】把下列各式分解因式：(1)−5a2b3+20ab2−5ab；(2)x+yx−y−x+y2；(3)8ax−y2−4y−x3；(4)xx2−xy−4x2−4xy．【答案】(1)−5abab2−4b+1(2)−2yx+y(3)4x−y22a+x−y(4)xx−yx−4【知识点】提公因式法分解因式【分析】本题考查的是提公因式分解因式，确定公因式是解本题的关键；（1）直接利用提公因式法分解因式即可；（2）直接利用提公因式法分解因式即可；（3）直接利用提公因式法分解因式即可；（4）直接利用提公因式法分解因式即可；【详解】（1）解：−5a2b3+20ab2−5ab=−5abab2−4b+1；（2）解：x+yx−y−x+y2=x+yx−y−x−y=−2yx+y；（3）解：8ax−y2−4y−x3=8ax−y2+4x−y3=4x−y22a+x−y；（4）解：xx2−xy−4x2−4xy=x2x−y−4xx−y=xx−yx−4；考点5：因式分解——平方差公式典例5：在实数范围内分解因式：81a4−16b4．丽华的解题过程如下：解：原式=9a2+4b29a2−4b2．请问丽华因式分解的结果正确吗？如果不正确，请把正确的解题过程写出来．【答案】不正确，正确的解题过程见解析．【知识点】平方差公式分解因式【分析】本题考查了实数范围内分解因式，正确理解平方差公式的结构是关键．分解因式要分解彻底，根据平方差公式进行两次分解即可．【详解】解：不正确，正确的解题过程如下：原式=9a2+4b29a2−4b2=9a2+4b23a+2b3a−2b．【变式1】分解因式：(1)81−m4；(2)x+2x−2−5；【答案】(1)9+m23+m3−m(2)x+3x−3【知识点】平方差公式分解因式【分析】本题主要考查了因式分解：（1）利用平方差公式分解因式即可；（2）先利用平方差公式去括号，然后合并同类项，再利用平方差公式分解因式即可．【详解】（1）解：81−m4=9+m29−m2=9+m23+m3−m；（2）解：x+2x−2−5=x2−4−5=x2−9=x+3x−3．【变式2】阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解．归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．请同学们在阅读材料的启发下解答下列问题：分解因式：(1)x2−xy+4x−4y；(2)x2−y2+4y−4．【答案】(1)x−yx+4；(2)x+y−2x−y+2【知识点】分组分解法、平方差公式分解因式【分析】本题主要考查因式分解，理解题目中的例题的方法是解题的关键．（1）根据“两两分组”中的例题因式分解即可；（2）根据“三一分组”中的例题写出因式分解的结果．【详解】（1）解：x2−xy+4x−4y=xx−y+4x−y=x−yx+4；（2）解：x2−y2+4y−4=x2−y2−4y+4=x+y−2x−y+2．【变式3】分解因式(1)4a−b2−a+b2(2)−9m2+2m−4n2(3)x2−2y2−1−2y2【答案】(1)3a−ba−3b；(2)−5m−4nm+4n；(3)x2−4y+1x−1x+1【知识点】平方差公式分解因式【分析】本题考查了因式分解：（1）利用平方差公式进行因式分解，即可求解；（2）利用平方差公式进行因式分解，即可求解；（3）利用平方差公式进行因式分解，即可求解；【详解】（1）解：4a−b2−a+b2=2a−b+a+b2a−b−a+b=3a−ba−3b．（2）解：−9m2+2m−4n2=2m−4n2−9m2=2m−4n+3m2m−4n−3m=−5m−4nm+4n（3）解：x2−2y2−1−2y2=x2−2y+1−2yx2−2y−1+2y=x2−4y+1x2−1=x2−4y+1x−1x+1考点6：因式分解——完全平方公式典例6：参考某同学对多项式m2+3mm2+3m+2+1进行因式分解的过程：解：设m2+3m=a，则m2+3mm2+3m+2+1=a(a+2)+1=a2+2a+1=(a+1)2=m2+3m+12，请你模仿以上方法对下列多项式进行因式分解．(1)x2−5xx2−5x+4+4；(2)x2−6x+6x2−6x+12+9．【答案】(1)x2−5x+22(2)(x−3)4【知识点】完全平方公式分解因式【分析】本题主要考查换元法的运用，公式法因式分解，掌握换元思想，公式法分解因式的方法是解题的关键．（1）运用换元法设x2−5x=a，再运用完全平方公式因式分解即可；（2）方法一：设x2−6x=a；方法二：设x2−6x+6=a；再运用完全平方公式因式分解即可．【详解】（1）解：设x2−5x=a，则x2−5xx2−5x+4+4=a(a+4)+4=a2+4a+4=(a+2)2=x2−5x+22；（2）解：方法一：设x2−6x=a，则x2−6x+6x2−6x+12+9=(a+6)(a+12)+9=a2+18a+72+9=(a+9)2=x2−6x+92=(x−3)4；方法二：设x2−6x+6=a，则x2−6x+6x2−6x+12+9=a(a+6)+9=a2+6a+9=(a+3)2=x2−6x+6+32=(x−3)4．【变式1】下面是莉莉同学的数学学习笔记的部分内容，请仔细阅读并完成相应的任务．任务：(1)将学习笔记补充完整．(2)材料中的依据是指____________．（填序号）①提取公因式；②平方差公式；③完全平方公式．(3)请你模仿上述方法，对多项式a−b+12+2a−b−1进行因式分解．【答案】(1)y2+2y+1；x−14(2)③(3)a−ba−b+4【知识点】完全平方公式分解因式【分析】本题考查因式分解的应用，用换元法化繁为简进行因式分解是解决本题的关键，应注意因式分解一定要分解到底；（1）利用换元法和完全平方式进行分解即可；（2）根据完全平方公式求解即可；（3）利用换元法和完全平方式进行分解即可．【详解】（1）x2−2xx2−2x+2+1．解：设x2−2x=y，原式=yy+2+1=y2+2y+1=y+12=x2−2x+12=x−14．（2）材料中的依据是指完全平方公式（3）a−b+12+2a−b−1设a−b=t原式=t+12+2t−1=t2+2t+1+2t−1=t2+4t=tt+4=a−ba−b+4【变式2】阅读以下材料材料：因式分解：x+y2+2x+y+1解：将“x+y”看成整体，令x+y=A，则原式=A2+2A+1=A+12再将“A”还原，得原式=x+y+12上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：(1)因式分解：1−2x−y+x−y2=______；(2)因式分解：a2−4a+2a2−4a+6+4；【答案】(1)1−x+y2(2)a−24【知识点】完全平方公式分解因式【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法．（1）将“x−y”看成整体，得原式1−2x−y+x−y2，利用完全平方公式因式分解即可；（2）将“a2−4a”看成整体，令a2−4a=A，则原式=A+2A+6+4=A2+8A+16=A+42，再将“A”还原，得：原式=a2−4a+42=a−24．【详解】（1）解：1−2x−y+x−y2＝1−x−y2＝1−x+y2；故答案为：1−x+y2；（2）解：设a2−4a=A，原式=A+2A+6+4=A2+8A+16=A+42，将A还原，则原式=a2−4a+42=a−24．【变式3】【阅读材料】因式分解：(x+y)2+2x+y+1．解：将“x+y”看成整体，令x+y=A，则原式=A2+2A+1=A+12．再将“A”还原，原式=(x+y+1)2．上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法．【问题解决】(1)因式分解：1+6x−y+9(x−y)2；(2)因式分解：a2−4aa2−4a+8+16；(3)证明：若n为正整数，则代数式2n+1n+22n2+5n+1的值一定是某个整数的平方．【答案】(1)1+3x−3y2(2)a−24(3)证明见解析【知识点】完全平方公式分解因式、因式分解的应用【分析】本题考查换元法、提公因式法、公式法分解因式，理解“换元法”的意义，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．（1）用换元法设x−y=A，将原式化为1+6A+9A2，再利用完全平方公式得出1+3A2，再将A还原即可； （2）设a2−4a=B，则原式=B+42，再将B还原，最后再利用完全平方公式即可； （3）先计算2n+1n+2=2n2+5n+2，再利用完全平方公式即可．【详解】（1）解：令x−y=A，1+6(x−y)+9(x−y)2=1+6A+9A2=1+3A2，将“A”还原，可以得到：原式=1+3x−3y2；（2）解：令a2−4a=B，则a2−4aa2−4a+8+16=BB+8+16=B2+8B+16=B+42，将“B”还原，可以得到：原式=a2−4a+42=a−24；（3）解：2n+1n+22n2+5n+1=2n2+5n+22n2+5n+1=2n2+5n2+22n2+5n+1=2n2+5n+12，∵n为正整数，∴2n2+5n+1正整数．∴2n+1n+22n2+5n+1=2n2+5n+12，∴代数式2n+1n+22n2+5n+1的值一定是某个整数的平方．考点7：因式分解——十字相乘法典例7：将多项式x2+6x−16因式分解，正确的是（   ）A．x−2x+8B．x+2x−8C．x+4x−4D．x−42【答案】A【知识点】十字相乘法【分析】本题主要考查了分解因式，直接利用十字相乘法分解因式即可得到答案．【详解】解：x2+6x−16=x−2x+8，故选：A．【变式1】下列因式分解不正确的是（    ）A．x2−2x−3=x−3x+1B．x2+4x−5=x−1x+5C．4x2+4x+1=2x+12D．x2+2x+3=x+1x+3【答案】D【知识点】完全平方公式分解因式、十字相乘法【分析】本题主要考查了多项式的因式分解．据完全平方公式以及十字相乘法进行解答．【详解】解：A、x2−2x−3=x−3x+1，故本选项正确，不符合题意；B、x2+4x−5=x−1x+5，故本选项正确，不符合题意；C、4x2+4x+1=2x+12，故本选项正确，不符合题意；D、x2+4x+3=x+1x+3，故本选项错误，符合题意；故选：D【变式2】多项式a2−6ab+5b2因式分解的结果 ．【答案】a−ba−5b【知识点】十字相乘法【分析】本题考查了十字相乘法分解因式，牢记十字相乘法分解因式的方法是解题的关键：对于形如x2+px+q的二次三项式，若能找到两数a、b，使a⋅b=q，且a+b=p，那么x2+px+q就可以进行如下的因式分解，即x2+px+q=x2+a+bx+a⋅b=x+a⋅x+b．按照十字相乘法分解因式的方法进行计算即可．【详解】解：a2−6ab+5b2=a−ba−5b，故答案为：a−ba−5b．【变式3】分解因式：y3−5y2−6y= ．【答案】yy+1y−6【知识点】十字相乘法【分析】本题考查了因式分解，先提取y，再对y2−5y−6进行因式分解，即可求解；掌握因式分解的方法是解题的关键．【详解】解：原式=yy2−5y−6=yy+1y−6；故答案：yy+1y−6．考点8：平方差公式因式分解应用——整除问题典例8：如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神奇数”．如：4=22−02，12=42−22，20=62−42，因此4，12，20这三个数都是神奇数，(1)直接判断：28______（是或不是）神奇数，2024______（是或不是）神奇数；(2)设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），下面是三个同学演算后的发现，请选出正确的“发现”________（填序号），并从你所选的序号中挑一个加以说理。①莆莆发现：由这两个连续偶数构造的“神奇数”是4的倍数．②田田发现：若长方形相邻两边长为两个连续偶数，则周长一定为神奇数．③仁仁发现：若长方形相邻两边长为两个连续偶数，则面积一定为神奇数．【答案】(1)是，不是(2)①②【知识点】因式分解的应用【分析】本题主要考查了因式分解的应用，找到一般规律是解题关键．（1）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），则2k+22−2k2=2k+2+2k2k+2−2k=42k+1，据此即可判断；（2）根据（1）中的结论即可判断；【详解】（1）解：∵28=82−62，∴28是神奇数；设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），则2k+22−2k2=2k+2+2k2k+2−2k=42k+1，令42k+1=2024，解得：k=252.5（不符合题意）；∴2024不是神奇数；故答案为：是，不是（2）解：由（1）得：2k+22−2k2=2k+2+2k2k+2−2k=42k+1，∴由这两个连续偶数构造的“神奇数”是4的倍数．故①正确；若长方形相邻两边长为两个连续偶数，设其为2m+2和2m（k取正整数），则周长=22m+2+2m=42m+1，故周长一定为神奇数，故②正确；面积=2m2m+2=4mm+1，∵2k+1为奇数，而mm+1是偶数，∴面积不是神秘数．故③错误；故答案为：①②【变式1】如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．例如：4=22−02，12=42−22，20=62−42，因此4，12，20这三个数都是“神秘数”．(1)28和52这两个数是神秘数吗？为什么？(2)设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负数），由这两个连续偶数构成的“神秘数”是4的倍数吗？为什么？【答案】(1)28和52这两个数都是神秘数(2)是，见解析【知识点】运用平方差公式进行运算、因式分解的应用【分析】此题主要考查了平方差公式的应用，此题是一道新定义题目，熟练记忆平方差公式是解题关键．（1）根据“神秘数”的定义，只需看能否把28和52这两个数写成两个连续偶数的平方差即可判断；（2）运用平方差公式进行计算，进而判断即可；【详解】（1）解： 28和52这两个数是神秘数；∵28=82−62，52=142−122，∴28和52这两个数都是神秘数．（2）解：由2k+2和2k这两个连续偶数构成的“神秘数”是4的倍数．∵2k+22−2k2=2k+2+2k2k+2−2k=42k+1，∴42k+1能被4整除，∴由这两个连续偶数构成的“神秘数”是4的倍数．【变式2】观察下列各式：2+32−22=7×3；4+32−42=11×3；6+32−62=15×3，不难发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除．(1)8+32−82的结果是3的____倍；(2)设偶数为2n，试说明比2n大5的数与2n的平方差能被5整除；(3)比任意一个整数大5的数与此整数的平方差被10整除的余数是几？说明理由．【答案】(1)19(2)见解析(3)余数为5，理由见解析【知识点】因式分解的应用、平方差公式分解因式【分析】本题主要考查了运用平方差公式分解因式，分解因式的应用；（1）计算出8+32−82的结果，即可；（2）根据“比2n大5的数与2n的平方差”列式，再利用平方差公式计算即可；（3）设这个数为n，比n大5的数为n+5，再利用平方差公式计算即可．【详解】（1）解：8+32−82=112−82=11−811+8=3×19，即8+32−82的结果是3的19倍，故答案为：19；（2）解：偶数为2n，比2n大5的数为2n+5，∴2n+52−2n2=2n+5−2n2n+5+2n=54n+5，∵4n+5为整数，∴54n+5能被5整除，∴比2n大5的数与2n的平方差能被5整除；（3）解：余数为5，理由如下：设这个数为n，比n大5的数为n+5，∴n+52−n2=n+5−nn+5+n=52n+5=10n+25，∵10n+25=10n+2+5，∴10n+25被10整除的余数是5，即比任意一个整数大5的数与此整数的平方差被10整除的余数是5．【变式3】认真观察下面这些算式：①32−12=8=8×1，②52−32=16=8×2，③72−52=24=8×3，④92−72=32=8×4，……完成下列问题：(1)照上面的规律，算式⑤为________；(2)上述算式的规律可以用文字概括为：“两个连续奇数的平方差能被8整除”，若记算式中的前一个奇数为2n+1，请用含n的式子表示这个规律，并证明；(3)请直接判断“两个连续偶数的平方差能被8整除”是否正确．【答案】(1)112−92=40=8×5(2)2n+12−2n−12，证明见解析(3)不成立，理由见解析【知识点】用反证法证明命题、因式分解的应用、数字类规律探索【分析】本题考查平方差公式的应用、数字规律等知识点，将数进行合理的分解是解决整除问题的关键．对不成立的原因，举反例是行之有效的办法．（1）仿照已有等式写出答案即可；（2）根据文字概括用含n的式子表示这个规律即可；（3）采用举反例的方法即可解答．【详解】（1）解：①32−12=8=8×1，②52−32=16=8×2，③72−52=24=8×3，④92−72=32=8×4，……⑤112−92=40=8×5．故答案为112−92=40=8×5．（2）解：规律2n+12−2n−12，证明如下：两个连续奇数，前一个为2n+1，则后一个为2n−1∵两个连续奇数的平方差能被8整除，∴2n+12−2n−12=2n+1+2n−12n+1−2n+1=2×4n=8n，∵n为整数，∴两个连续奇数的平方差能被8整除．（3）解：不成立，理由如下：举反例，如42−22=4+24−2=12，∵12不是8的倍数，∴这个说法不成立．考点9：完全平方公式因式分解应用——三角形形状典例9：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2−2ab+b2叫做完全平方式．”如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等．例如：分解因式：x2+2x−3解：原式=(x2+2x+1)−4=(x+1)2−4=(x+1)+2(x+1)−2=(x+3)(x−1)例如：求代数式2x2+4x−6的最小值．解：2x2+4x−6=2(x2+2x−3)=2(x+1)2−8，因为：2(x+1)2≥0，所以：当x=−1时，2x2+4x−6有最小值，最小值是−8．根据阅读材料用配方法解决下列问题：(1)分解因式：m2−2m−3=____________．(2)当a，b为何值时，多项式a2+b2−2a+4b+9有最小值，并求出这个最小值．(3)已知a，b，c是△ABC的三条边，且满足a2−4a+b2−6b+c2−4c+17=0，试判断△ABC的形状．【答案】(1)m+1m−3(2)a=1，b=−2时多项式a2+b2−2a+4b+9有最小值，最小值4．(3)△ABC是等腰三角形．【知识点】因式分解的应用、完全平方公式分解因式、三角形的分类【分析】本题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质．本题的解答关键在于熟练的掌握因式分解的方法．（1）根据阅读材料，先将m2−2m−3变形为m2−2m+1−4，再根据完全平方公式写成(m−1)2−4，然后利用平方差公式分解即可；（2）利用配方法将多项式a2+b2−2a+4b+9转化为a−12+b+22+4，然后利用非负数的性质解答；（3）利用配方法将多项式a2−4a+b2−6b+c2−4c+17=0转化为a−22+b−32+c−22=0，然后利用非负数的性质求出a=2，b=3，c=2，即可判断△ABC的形状．【详解】（1）解：m2−2m−3=m2−2m+1−4=m−12−4=m−1+2m−1−2=m+1m−3，故答案为：m+1m−3（2）解：a2+b2−2a+4b+9=a2−2a+b2+4b+9=a2−2a+1−1+b2+4b+4−4+9=a−12+b+22+4∵a−12≥0，b+22≥0∴a−12+b+22+4≥4∴当a−1=0，b+2=0时，a2+b2−2a+4b+9有最小值，最小值为4．即a=1，b=−2原式有最小值4．（3）a2−4a+b2−6b+c2−4c+17=0∴a2−4a+4+b2−6b+9+c2−4c+4=0则a−22+b−32+c−22=0，∵a−22≥0,b−32≥0,c−22≥0，∴a−2=0，b−3=0，c−2=0，解得a=2，b=3，c=2，∴a=c，∴△ABC是等腰三角形．【变式1】我们已经学过利用提公因式法和公式法进行分解因式．对于超过三项的多项式，可以利用分组的方法进行分解因式．即先将一个多项式进行适当的分组（或组合），再利用已经学过的方法进行分解因式．如：分解因式：x2−2xy+y2−16=x2−2xy+y2−16=x−y2−16=x−y+4x−y−4．利用上述方法解决下列问题：(1)分解因式：x2−4y2−2x+4y；(2)已知△ABC的三边a,b,c满足a2−b2−ac+bc=0，判断△ABC的形状，并说明理由．【答案】(1)x−2yx+2y−2(2)等腰三角形，理由见解析【知识点】分组分解法、因式分解的应用、构成三角形的条件【分析】本题考查因式分解—分组分解法及应用，三角形三边关系，对于不能直接因式分解的式子可以用分组法因式分解，因式分解分组时要注意观察式子特点、分好组是关键．（1）依据分组分解法，把x2−4y2−2x+4y分组为x2−4y2−2x−4y，然后用平方差公式和提公因式法分别因式分解，然后再提取公因式x−2y即可求解；（2）通过分组分解法把a2−b2−ac+bc=0化成a−ba+b−c=0，然后利用三角形三边关系得出a+b−c≠0，则a−b=0，得到a=b，即可得出结论．【详解】（1）解：原式=x2−4y2−2x−4y=x+2yx−2y−2x−2y=x−2yx+2y−2；（2）解：等腰三角形．由a2−b2−ac+bc=0，可得a−ba+b−c=0．∵a+b−c≠0，∴a−b=0．∴a=b．∴△ABC是等腰三角形．【变式2】阅读材料：若m2−2mn+2n2−8n+16=0，求m、n的值．解：∵m2−2mn+2n2−8n+16=0，∴m2−2mn+n2+n2−8n+16=0∴m−n2+n−42=0，而m−n2≥0，n−42≥0，∴m−n2=0且n−42=0，∴n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：(1)a2+b2−4a+4=0，则a=_____；b=_____．(2)已知△ABC的三边a，b，c满足a2+2b2+c2−2ab−2bc=0，则此三角形的形状为_____．(3)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且a2+b2−2a−6b+10=0，求△ABC的周长．【答案】(1)2；0(2)等边三角形(3)7【知识点】运用完全平方公式进行运算、因式分解的应用、三角形三边关系的应用、等边三角形的判定【分析】本题考查完全平方公式，平方的非负性，三角形的三边关系，熟练运用完全平方公式是解题的关键．（1）由a2+b2−4a+4=0得到a−22+b2=0，根据平方的非负性求解即可；（2）由a2+2b2+c2−2ab−2bc=0得到a−b2+b−c2=0，根据平方的非负性可得a=b=c，即可解答；（3）由a2+b2−2a−6b+10=0得到a−12+b−32=0，根据平方的非负性得到a=1，b=3，再根据三角形的三边关系得到2