微专题02 因式分解经典应用通关专练-2025-2026学年八年级数学下册重难考点强化训练（北师大版）(原卷版+解析版）

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微专题02 因式分解经典应用通关专练 一、单选题1．若a、b、c、为△ABC的三边长，且满足a2+ab−ac−bc=0，则△ABC的形状是（   ）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形【答案】B【知识点】等腰三角形的定义、因式分解的应用【分析】由因式分解，可知a2+ab−ac−bc=aa+b−ca+b=a+ba−c=0，可得a=c，因而可判断△ABC的形状．【详解】解：∵a、b、c、为△ABC的三边长，∴a+b>0，∵a2+ab−ac−bc=aa+b−ca+b=a+ba−c=0， ∴a−c=0，∴a=c，∴△ABC是等腰三角形．故选：B．【点睛】本题考查了因式分解的应用，还考查了等腰三角形的定义，能够熟练掌握因式分解是解决本题的关键．2．小李在计算20232023−20232021时，发现其计算结果能被三个连续整数整除，则这三个整数是（    ）A．2023，2024，2025B．2022，2023，2024C．2021，2022，2023D．2020，2021，2022【答案】B【知识点】因式分解在有理数简算中的应用【分析】先提取公因式，然后利用平方差公式因式分解，即可得到答案．【详解】解：20232023−20232021=20232021×(20232−1)=20232021×(2023−1)×(2023+1)=20232021×2022×2024∴能被2022，2023，2024整除，故选B．【点睛】本题考查因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．3．如图，设k=乙图中阴影部分面积甲图中阴影部分面积（a>b>0），则k的值可以为（　　）A．35B．1C．32D．2【答案】A【知识点】列代数式、因式分解的应用、最简分式【分析】先用a、b的代数式表示出甲图阴影面积和乙图阴影面积，然后利用分式的约分可得k的最简代数式，由a>b>0即可确定k的取值范围，进而可得答案．【详解】解：由题意，S甲阴影=a2−b2，S乙阴影=a2−ab，∴k=a2−aba2−b2=a(a−b)(a+b)(a−b)=aa+b，又∵a>b>0，∴a+b>a>0，∴00，C、Δ=−22−4×5×11=−2160，只有C选项Δ小于0 ，即C选项不能分解因式，故选：C．【点睛】本题考查了二次三项式是否可因式分解，熟练运用根的判别式是解题的关键．6．下列多项式中，含有因式y+1的多项式是（　　）A．y2−2xy−3x2B．(y+1)2−(y−1)2C．(y+1)2−(y2−1)D．(y+1)2+2(y+1)+1【答案】C【知识点】十字相乘法、完全平方公式分解因式、平方差公式分解因式、因式分解的应用【分析】本题主要考查公因式的确定，先因式分解，再做判断，在解题时，仅看多项式的表面形式，不能做出判断．先对所给的多项式进行因式分解，根据分解的结果，然后进行判断即可．【详解】解：A、y2−2xy−3x2=y−3xy+x，故不含因式y+1，故A不符合题意；B、y+12−y−12=y+1−y−1y+1+y−1=4y，故不含因式y+1，故B不符合题意；C、y+12−y2−1=y+12−y+1y−1=2y+1，故含因式y+1，故C符合题意；D、y+12+2y+1+1=y+22，故不含因式y+1，故D不符合题意．故选：C．7．已知m2+n2=10，mn=3，则m3n−mn3的值为（　　）A．24B．12C．±24D．±12【答案】C【知识点】因式分解的应用、通过对完全平方公式变形求值【分析】此题考查完全平方公式的变形计算，整式的因式分解，有理数的乘法计算法则，熟练掌握解题中运用分类讨论是思想解决问题是解题的关键．根据m2+n2=10，，利用完全平方公式变形求出m+n=±4，m−n=±2，，再分情况求出答案．【详解】解：∵m2+n2=10，mn=3∴m+n2=m2+2mn+n2=16，m−n2=m2−2mn+n2=4，即m+n=±4，m−n=±2，当m+n=4，m−n=2时m3n−mn3=mnm+nm−n=3×4×2=24，当m+n=4，m−n=−2时m3n−mn3=mnm+nm−n=3×4×−2=−24，当m+n=−4，m−n=2时m3n−mn3=mnm+nm−n=3×−4×2=−24，当m+n=−4，m−n=−2时m3n−mn3=mnm+nm−n=3×−4×−2=24，综上所述：m3n−mn3的值为±24．故选：C．8．将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：am+an+bm+bn=am+an+bm+bn=am+n+bm+n=a+bm+n．以下说法：①分解因式：x2y+x2−y−1=x2−1y+1；②若a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2=ac+ab+bc，则△ABC为等边三角形；③若a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2−ab+c2=2ac−bc，则这三边能构成等腰三角形；正确的有（    ）个．A．3B．2C．1D．0【答案】B【知识点】等腰三角形的定义、等边三角形的判定、因式分解的应用【分析】本题主要考查了因式分解的应用，等边三角形的判定，非负数的性质，构成三角形的条件．先提取公因式x2−1，然后理由平方差公式分解因式即可判定①；根据已知条件式得到2a2+2b2+2c2−2ac−2ab−2bc=0，然后利用完全平方公式得到a2−2ab+b2+a2−2ac+c2+b2−2bc+c2=0，利用非负数的性质证明a=b=c即可判断②；根据已知条件式推出a−ca−c−b=0，得到，再根据构成等腰三角形的条件即可判断③．【详解】解：x2y+x2−y−1=yx2−1+x2−1=x2−1y+1=x+1x−1y+1，故①错误；∵a2+b2+c2=ac+ab+bc， ∴a2+b2+c2−ac−ab−bc=0，∴2a2+2b2+2c2−2ac−2ab−2bc=0，∴a2−2ab+b2+a2−2ac+c2+b2−2bc+c2=0，∴a−b2+a−c2+b−c2=0，又∵a−b2≥0，a−c2≥0，b−c2≥0，∴a−b=b−c=a−c=0，∴a=b=c，∴△ABC为等边三角形，故②正确；∵a2−ab+c2=2ac−bc， ∴a2−ab+c2−2ac+bc=0，∴a2−2ac+c2−ab+bc=0，∴a−c2−ba−c=0，∴a−ca−c−b=0，∵a，b，c是△ABC的三边长，∴ab，将原长方形的长和宽各增加3厘米，得到的新长方形的面积记为S1；将原长方形的长和宽各减少2厘米，得到的新长方形的面积记为S2．若a，b为正整数，请说明：S1与S2的差一定是5的倍数．【答案】见解析【知识点】多项式乘多项式与图形面积、因式分解的应用【分析】本题考查了整式乘法的应用，整式的加减以及因式分解的应用．先根据整式的乘法分别求出S1与S2，再求出它们的差即可得．【详解】解：由题意得：S1=(a+3)(b+3)=ab+3a+3b+9，S2=(a−2)(b−2)=ab−2a−2b+4，则S1−S2=ab+3a+3b+9−ab−2a−2b+4，=ab+3a+3b+9−ab+2a+2b−4，=5a+5b+5，=5a+b+1，所以S1与S2的差一定是5的倍数．23．已知a+b=2，ab=−5，求a3b+2a2b2+ab3的值．【答案】−20【知识点】因式分解的应用、已知式子的值，求代数式的值、综合提公因式和公式法分解因式【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是将a3b+2a2b2+ab3分解为aba+b2，然后整体代入求值即可．【详解】解：∵a+b=2，ab=−5，∴a3b+2a2b2+ab3=aba2+2ab+b2=aba+b2=−5×22=−20．24．用简便方法计算：(1)20172−2015×2019；(2)15×7.352−5×1.072．【答案】(1)4(2)5.08【知识点】因式分解在有理数简算中的应用、运用平方差公式进行运算【分析】（1）把原式化为20172−2017−22017+2，再进行简便运算即可；（2）把原式化为157.352−5.352，再利用平方差公式进行简便运算即可．【详解】（1）解：20172−2015×2019=20172−2017−22017+2=20172−20172+4=4；（2）15×7.352−5×1.072=15×7.352−15×52×1.072=157.352−5.352=157.35+5.357.35−5.35=15×12.7×2=5.08．【点睛】本题考查的是利用平方差公式进行简便运算，熟记平方差公式的特点是解本题的关键．25．已知a，b，c是△ABC的三边，且满足2a2+b2+c2=2ab+2ac，试判断△ABC的形状，并说明理由．【答案】△ABC为等边三角形，理由见解析【知识点】等边三角形的判定、因式分解的应用【分析】将已知等式利用配方法进行变形，再利用非负数的性质求出a-b=0，b-c=0，c-a=0，即可判断出△ABC的形状．【详解】解：△ABC为等边三角形，理由如下：∵2a2+b2+c2=2ab+2ac，∴a2−2ab+b2+a2−2ac+c2=0，∴a−b2+a−c2=0，∵a−b2≥0,a−c2≥0，∴a﹣b＝0，a﹣c＝0，∴a＝b，a＝c，∴a＝b＝c，∴△ABC为等边三角形．【点睛】本题考查了因式分解的应用、非负数的性质、等边三角形的判断．解题的关键是将已知等式利用完全平方公式变形，利用非负数的性质得出a，b，c之间的关系．26．已知a，b，c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，试求a+2b+c的值．【答案】16【知识点】运用完全平方公式进行运算、因式分解的应用【分析】本题主要考查完全平方公式的应用以及非负数的性质，根据一次项的系数将原式中常数项50拆分，分别与二次项构成完全平方式，再结合非负性分别求出a，b，c的值，然后代入代数式求值即可．【详解】解：∵a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，∴a2−6a+9+b2−8b+16+c2−10c+25=0．∴(a−3)2+(b−4)2+(c−5)2=0．∴a−3=0，b−4=0，c−5=0．∴a=3，b=4，c=5．∴a+2b+c=3+2×4+5=16．27．（1）计算：999798×49（2）计算：14×7+17×10+...+1100×103（3）计算：77×777+7777×77777【答案】（1）4899.5；（2）33412；（3）604931558【知识点】有理数四则混合运算、因式分解的应用【详解】(1)999798×49=(100−198)×49=4900−12=4899.5(2)14×7+17×10+...+1100×103=(14−17+17−110+...+1100−1103)×13=(14−1103)×13=33412(3)77×777+7777×77777=(7×11)(7×111)+(7×1111)(7×11111)=49×(11×111)+49×(1111×11111)=49(11×111+1111×11111)=49×(1221+12344321)=604931558【点睛】本题考查了因式分解的知识点，熟练掌握因式分解是解题的关键．28．用简便方法计算：(1)20232−4044×2023+20222；(2)20×11.52−40×11.5×9.5+20×9.52．【答案】(1)1(2)80【知识点】完全平方公式分解因式、因式分解在有理数简算中的应用【分析】本题考查的是完全平方公式的灵活运用，熟记完全平方公式的特点是解本题的关键；（1）把原式化为20232−2×2022×2023+20222，再利用完全平方公式进行计算即可；（2）把原式化为20×11.52−2×11.5×9.5+9.52，再利用完全平方公式进行计算即可；【详解】（1）解：20232−4044×2023+20222=20232−2×2022×2023+20222=2023-20222=1．（2）20×11.52−40×11.5×9.5+20×9.52=20×11.52−2×11.5×9.5+9.52=20×11.5−9.52=20×22=80．29．阅读下列材料，观察解题过程：已知a2−2ab+2b2+4b+4=0，求a+b的值．解：∵a2−2ab+2b2+4b+4=0，∴a2−2ab+b2+b2+4b+4=0，∴a−b2+b+22=0，∵a−b2≥0，b+22≥0，∴a−b2=0，b+22=0，∴a−b=0b+2=0，解得a=−2b=−2∴a+b=−2+−2=−4．根据你的观察，解答以下问题：(1)已知m2+4mn+5n2−2n+1=0，求m+n2023的值．(2)当x、y分别取何值时，多项式x2+y2−2x+2y+10的值最小？请你求出最小值．【答案】(1)−1(2)当x=1，y=−1时，x2+y2−2x+2y+10有最小值，最小值为8【知识点】因式分解的应用、完全平方公式分解因式【分析】本题主要考查了非负数的性质，因式分解的意义，代数式求值：（1）仿照题意得到m+2n2+n−12=0，进而求出m=−2，n=1，最后代值计算即可；（2）利用配方法把原式变形为x−12+y+12+8，则x−12+y+12+8≥8，当且仅当x−12+y+12=0时等号成立，据此求出当x=1，y=−1时，x2+y2−2x+2y+10有最小值，最小值为8．【详解】（1）解：∵m2+4mn+5n2−2n+1=0，∴m2+4mn+4n2+n2−2n+1=0，∴m+2n2+n−12=0，∵m+2n2≥0，n−12≥0，∴m+2n2=n−12=0，∴m+2n=0，n−1=0，∴m=−2，n=1，∴m+n2023=−2+12023=−1；（2）解：x2+y2−2x+2y+10=x2−2x+1+y2+2y+1+8=x−12+y+12+8，∵x−12≥0，y+12≥0，∴x−12+y+12+8≥8，当且仅当x−12+y+12=0时等号成立，∴x−12=y+12=0，∴x−1=0，y+1=0，∴x=1，y=−1，∴当x=1，y=−1时，x2+y2−2x+2y+10有最小值，最小值为8．30．已知：a2﹣3a﹣1＝0，求值：(1)a3﹣3a2﹣a+2020；(2)a2a4+a2+1．【答案】(1)2020；(2)112【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化、因式分解的应用【分析】对于（1），根据条件得a2﹣3a＝1，对原式的前两项提公因式a，然后整体代入求值即可；（2）根据条件得a−1a=3，且a≠0，将待求式的分子分母都除以a2，利用完全平方公式变形，整体代入求解即可．【详解】（1）根据条件得：a2﹣3a＝1，原式＝a(a2﹣3a)﹣a+2020＝a﹣a+2020＝2020；（2）∵当a＝0时，条件不成立，∴a≠0，∵a2﹣3a＝1，∴a-3=1a，即a−1a=3，∴原式＝1a2+1+1a2＝1（a−1a)2+2+1＝132+3＝112．【点睛】本题考查了代数式求值，掌握完全平方公式和整体代入的思想是解题的关键．31．先阅读材料，再回答问题：分解因式：a−b2−2a−b+1．解：将“a−b”看成整体，令a−b=M，则原式=M2−2M+1=M−12，再将a−b=M还原，得到：原式=a−b−12．上述解题过程中用到了“整体思想”，它是数学中常用的一种思想．请你用整体思想解决下列问题：(1)因式分解：9+6x+y+x+y2=_______．(2)因式分解：x2−2xy+y2−z2=_______．(3)若n为正整数，则n+1n+4n2+5n+4的值为某一个正整数的平方．请说明理由．【答案】(1)(3+x+y)2(2)x−y+zx−y−z(3)理由见解析【知识点】完全平方公式分解因式、因式分解的应用、平方差公式分解因式【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法．（1）把(x+y)看作一个整体，直接利用完全平方公式因式分解即可；（2）原式变形为x−y2−z2，再用平方差公式因式分解即可；（3）将原式转化为n2+5n+4n2+5n+4，令n2+5n=M，则原式=MM+4+4，=M+22 =n2+5n+22，根据n为正整数得到n2+5n+2也为正整数，从而说明原式是整数的平方．【详解】（1）9+6x+y+x+y2=(3+x+y)2，故答案为：(3+x+y)2；（2）x2−2xy+y2−z2，=x−y2−z2，=x−y+zx−y−z，故答案为：x−y+zx−y−z；（3）n+1n+4n2+5n+4=n2+5n+4n2+5n+4令n2+5n=M，则原式=MM+4+4，=M2+4M+4，=M+22，原式=n2+5n+22．∵n为正整数，∴n2+5n+2也为正整数，∴代数式n+1n+4n2+5n+4的值一定是某一个正整数的平方．32．阅读与思考：“配方法”是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的形式．巧妙地运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解．例如：x2+4x−5=x2+4x+22−22−5=x+22−9=x+22−32=x+2+3x+2−3=x+5x−1．(1)【解决问题】运用配方法将多项式进行因式分解：x2−8x−9；(2)【深入研究】试说明多项式x2−6x+12的值总是一个正数；(3)【拓展运用】已知a，b，c分别是△ABC的三边，且a2−2ab+2b2−2bc+c2=0，试判断△ABC的形状，并说明理由．【答案】(1)x2−8x−9=(x+1)(x−9)(2)证明见解析(3)△ABC为等边三角形，理由见解析【知识点】因式分解的应用、运用完全平方公式进行运算【分析】（1）根据示例即可求解；（2）将多项式配成完全平方+常数的形式，利用平方的非负性即可求证；（3）将2b2分成b2+b2分别配方即可求解．【详解】（1）解：x2−8x−9=x2−8x+42−42−9=x−42−25=x−42−52=x−4+5x−4−5=x+1x−9．（2）解：x2−6x+12=x2−6x+9+3=x−32+3．∵x−32≥0，∴x−32+3>0．∴多项式x2−6x+12的值总是一个正数．（3）解：△ABC为等边三角形．理由如下：∵a2−2ab+2b2−2bc+c2=0，∴a2−2ab+b2+b2−2bc+c2=0．∴a−b2+b−c2=0．∴a−b=0，b−c=0．∴a=b=c．∴△ABC为等边三角形．【点睛】本题考查配方法的应用．掌握完全平方公式的结构形式是解题关键．33．阅读材料，拓展知识．第一步：要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式a，再把它的后两项分成一组，提出公因式b，从而可得：am+an+bm+bn=am+an+bm+bn=am+n+bm+n=m+na+b，这种方法称为分组法．第二步：理解知识，尝试填空．（1）ab−ac+bc−b2=ab−ac+bc−b2=ab−c+bc−b=______．第三步：应用知识，解决问题．（2）因式分解：①m2+5n−mn−5m=______．②x2−2x+1−y2=______．第四步：提炼思想，拓展应用．（3）已知三角形的三边长分别是a、b、c，且满足a2+2b2+c2=2ba+c，试判断这个三角形的形状，并说明理由．【答案】（1）b−ca−b；（2）①m−nm−5；②x−1+yx−1−y；（3）这个三角形为等边三角形，理由见解析【知识点】分组分解法、因式分解的应用【分析】本题考查了因式分解的分组分解方法，等边三角形的判定，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．（1）仿照例题，先分组，再利用提取公因式法分解即可；（2）①先分组，用提取公因式法分解，再用平方差公式分解即可；②先分组，用提取公因式法分解，再用平方差公式分解即可；（3）移项后分解因式，可得出a=b=c，则可得出答案．【详解】解：（1）ab−ac+bc−b2=ab−ac+bc−b2=ab−c−bb−c=b−ca−b故答案为：b−ca−b；（2）①m2+5n−mn−5m=m2−mn+5n−5m=mm−n+5n−m=mm−n−5m−n=m−nm−5；②x2−2x+1−y2=x2−2x+1−y2=x−12−y2=x−1+yx−1−y；（3）这个三角形为等边三角形．理由如下：∵a2+2b2+c2=2ba+c，∴a2+2b2+c2−2ba−2bc=0∴a2−2ba+b2+c2−2bc+b2=0∴a−b2+b−c2=0，∵a−b2≥0，b−c2≥0，∴a−b=0，b−c=0，∴a=b=c，∴这个三角形是等边三角形．34．关于x、y、z的多项式x+y+z，x2+y2+z2，xy+yz+zx，x2y+y2z+z2x，在将字母x、y、z轮换（即将x换成y，y换成z，z换成x）时，保持不变．这样的多项式称为x、y、z的轮换式．我们可以利用轮换式的特征帮助我们进行巧妙地因式分解，我们也叫轮换式法．例题：分解因式a+b+c3−b+c−a3−c+a−b3−a+b−c3解：令a=0时，原式=0所以a是原式的因式，由于原式是a、b、c的轮换式，所以b、c也是原式的因式，从而可以设a+b+c3−b+c−a3−c+a−b3−a+b−c3=kabc，（保证两边次数相同，其中k是系数）令a=b=c=1，得33−13−13−13=k，即k=24所以a+b+c3−b+c−a3−c+a−b3−a+b−c3=24abc阅读上述材料分解因式完成下列两题：(1)对多项式ab−a−b+1令a=________，原式=0；令b=________，原式=0所以设ab−a−b+1=ka−1b−1令a=b=2得k=________(2)用轮换式法因式分解：x2y−z+y2z−x+z2x−y【答案】(1)1，1，1(2)x−yy−zx−z【知识点】因式分解的应用【分析】本题考查了因式分解，正确掌握轮换式法分解因式是解题关键．（1）观察多项式可得当a=1,b=1时，多项式ab−a−b+1的值等于0；再将a=b=2代入即可求出k的值；（2）先分别求出当y−z=0，z−x=0，x−y=0时，多项式的值等于0，从而可设x2y−z+y2z−x+z2x−y=kx−yy−zz−x，再将x=1,y=−1,z=0代入求出k的值即可得．【详解】（1）解：对多项式ab−a−b+1，令a=1，原式b−1−b+1=0；令b=1，原式a−a−1+1=0，所以设ab−a−b+1=ka−1b−1，令a=b=2得，2×2−2−2+1=k，即k=1，故答案为：1，1，1．（2）解：对多项式x2y−z+y2z−x+z2x−y，令y−z=0时，原式=z2z−x+z2x−z=0，令z−x=0时，原式=z2y−z+z2z−y=0，令x−y=0时，原式=y2y−z+y2z−y=0，所以设x2y−z+y2z−x+z2x−y=kx−yy−zz−x（保证两边次数相同，其中k是系数），令x=1,y=−1,z=0时，−1−0+−12×0−1=1+1×−1−0×0−1⋅k，解得k=−1，所以x2y−z+y2z−x+z2x−y=−x−yy−zz−x，即x2y−z+y2z−x+z2x−y=x−yy−zx−z．35．阅读与理解：(1)先阅读下面的解题过程：分解因式：a2−6a+5解：方法（1）原式=a2−a−5a+5=a2−a+−5a+5=aa−1−5a−1=a−1a−5．方法（2）原式=a2−6a+9−4=a−32−22=a−3+2a−3−2=a−1a−5．请你参考上面一种解法，对多项式x2+4x−12进行因式分解；(2)阅读下面的解题过程：已知m2+n2−4m+6n+13=0，试求m与n的值．解：由已知得m2−4m+4+n2+6n+9=0因此得到m−22+n+32=0所以只有当m−2=0并且n+3=0上式才能成立．因而得：m=2并且n=−3．请你参考上面的解题方法解答下面的问题：已知：x2+y2+8x−12y+52=0，试求x+yx的值．【答案】(1)x−2x+6(2)116【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、负整数指数幂、因式分解的应用【分析】（1）根据题意，仿照题例先用提公因式法，方法二先用完全平方公式，再用平方差公式因式分解；（2）仿照题例利用完全平方公式把方程写成两个代数式平方和的形式，先利用非负数的和为0求出x、y，再代入求代数式的值．【详解】（1）解：方法（1）：x2+4x−12 =x2+6x−2x−12=xx+6−2x+6=x−2x+6；方法（2）x2+4x−12 =x2+4x+4−16=x+22−42=x−2x+6；（2）x2+y2+8x−12y+52=0，x2+8x+16+y2−12y+36=0，x+42+y−62=0，∴x+4=0，y−6=0．∴x=−4，y=6．∴x+yx=−4+6−4=−2−4=12−4=116．【点睛】本题考查了整式的因式分解和求值，负整数指数幂的运算，看懂题例理解题例解法，掌握完全平方公式、平方差公式是解决本题的关键．36．利用完全平方公式进行因式分解，解答下列问题：(1)因式分解：x2−4x+4= ________．(2)填空：①当x=−2时，代数式x2+4x+4= _______；  ②当x=________时，代数式x2−6x+9=0．③代数式x2+8x+20的最小值是________．(3)拓展与应用：求代数式a2+b2−6a+8b+28的最小值．【答案】(1)(x−2)2(2)①0②3③4(3)3【知识点】因式分解的应用、已知字母的值 ，求代数式的值、运用完全平方公式进行运算【分析】（1）根据完全平方公式将原式进行因式分解即可；（2）①将x=−2代入求解即可；②解方程x2−6x+9=0，即可获得答案；③将代数式变形为(x+4)2+4，根据非负数的性质即可确定答案；（3）将代数式a2+b2−6a+8b+28变形为(a−3)2+(b+4)2+3，根据非负数的性质即可确定答案．【详解】（1）解：x2−4x+4=(x−2)2．故答案为：(x−2)2；（2）①当x=−2时，x2−4x+4=(−2)2−4×(−2)+4=0；②∵x2−6x+9=0，∴(x−3)2=0，∴当x=3时，代数式x2−6x+9=0；③∵x2+8x+20=(x+4)2+4，又∵(x+4)2≥0，∴当x=−4时，代数式x2+8x+20的最小值是4．故答案为：①0；②3；③4；（3）解：∵原式=a2−6a+9+b2+8b+16+3=(a−3)2+(b+4)2+3，又∵(a−3)2≥0，(b+4)≥0，∴原式≥3，代数式a2+b2−6a+8b+28的最小值是3．【点睛】本题主要考查了因式分解的应用、代数式求值、非负数的性质等知识，解题关键是理解题意，利用因式分解的方法和非负数的性质解答．37．我们已经学过将一个多项式因式分解的方法有提公因式法和运用公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等等．①分组分解法：例如：x2−2xy+y2−25=x2−2xy+y2−25=(x−y)2−52=x−y−5x−y+5．②拆项法：例如：x2+2x−3=x2+2x+1−4=x+12−22=x+1−2x+1+2=x−1x+3．(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：①用分组分解法：9x2+6x−y2+1；②用拆项法：x2−6x+8；(2)已知：a，b，c为△ABC的三条边，a2+5b2+c2−4ab−6b−10c+34=0，求△ABC的周长．【答案】(1)①3x+1+y3x+1−y，见解析；②x−2x−4，见解析(2)14【知识点】综合运用公式法分解因式、分组分解法、因式分解的应用【分析】（1）①仿照例题的方法，根据分组分解法分解因式；②仿照例题的方法，根据拆项法分解因式；（2）仿照例题的方法，根据分组分解法分解因式，根据非负数的性质，求得a,b,c的值，即可求解．【详解】（1）①9x2+6x−y2+1=9x2+6x+1−y2=3x+12−y2=3x+1+y3x+1−y；②x2−6x+8=x2−6x+9−1=x−32−1=x−3+1x−3−1=x−2x−4（2）a，b，c为△ABC的三条边，a2+5b2+c2−4ab−6b−10c+34=0，∴a2+4b2−4ab+b2−6b+9+c2−10c+25=0，∴a−2b2+b−32+c−52=0，∴a−2b=0，b−3=0，c−5=0，∴a=6，b=3，c=5，∴△ABC的周长为6+3+5=14．【点睛】本题考查了因式分解以及因式分解的应用，仿照例题的方法因式分解是解题的关键．38．把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积.例如，由图①，可得等式：(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2．  (1)如图②，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来，(2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=10,a2+b2+c2=38，求ab+bc+ac的值．(3)如图③，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一条直线上，连结BD和BF，若这两个正方形的边长满足a+b=10,ab=20，请求出阴影部分的面积．【答案】(1)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac(2)31(3)20【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、因式分解的应用【分析】本题考查了因式分解的应用，多项式乘多项式，完全平方公式的几何背景，完全平方式熟练掌握因式分解是解题的关键；（1）图②大正方形的面积通过两种不同的方法计算，即可解答；（2）利用（1）的结论，进行计算即可解答：（3）根据题意可得阴影部分的面积=△BCD的面积+正方形ECGF的面积- △BGF的面积，进行计算即可解答．【详解】（1）解：图②大正方形的面积=(a+b+c)2图②大正方形的面积=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac（2）解：由（1）可得：ab+bc+ac=12[(a+b+c)2−(a2+b2+c2)]∵a+b+c=10,a2+b2+c2=38∴ab+bc+ac=12×(102−38)=31（3）解：∵a+b=10,ab=20，∴阴影部分的面积=12a2+b2−12b(a+b)=12a2+b2−12ab−12b2=12a2+12b2−12ab=12(a2+b2)−12ab=12(a+b)2−2ab−12ab=12×(102−2×20)−12×20=2039．数与形是数学研究的两大部分，它们间的联系称为数形结合，数形结合大致分为两种情形，或者借助图形的直观来阐明数之间的关系，或者借助数的精确性来阐明图形的属性，即“以形助数”或“以数解形”，整式乘法中也利用图形面积来论证数量关系．现用砖块相同的面（如材料图，长为a，宽为b的小长方形）拼出以下图形，延长部分边框，则把这些拼图置于如图所示的正方形或大长方形内，请解答下列问题．(1)求图1中空白部分的面积S1（用含ab的代数式表示）．(2)图1，图2中空白部分面积S1、S2分别为19、68，求ab值．(3)图3中空白面积为S，根据图形中的数量关系，将下列式子写成含a、b的整式乘积的形式：①S3+7ab=______；②S3−a2+5ab=______．【答案】(1)S1=a2−ab+b2(2)ab=15；(3)①(3a+b)(a+2b)；(2a+b)(a+2b)；【知识点】因式分解的应用、多项式乘多项式与图形面积【分析】（1）结合图形，求图1中空白部分的面积S1即可；（2）根据图形，列出关于a，b的方程组并解方程组即可；（3）结合图形，将S3+7ab及S3−a2+5ab写成含a、b的整式乘积的形式；【详解】（1）∵图1小正方形的边长为a+b，其中阴影部分面积为3ab，，∴S1=a+b2−3ab=a2−ab+b2，（2）∵图2小长方形的长为2a+b，宽为a+2b，其中阴影部分面积为5ab，，∴S2=2a+b(a+2b)−5ab=2a2+2b2，∵S1、S2面积分别为19、68，∴a2−ab+b2=19①，2a2+2b2②，由②-①×2，得2ab=30，∴ab=15；（3）∵图3小长方形的长为3a+b，宽为a+2b，其中阴影部分面积为7ab，，∴S3=3a+b(a+2b)−7ab=3a2+2b2，∴①S3+7ab=3a2+2b2+7ab=(3a+b)(a+2b)，②S3−a2+5ab=3a2+2b2−a2+5ab=2a2+5ab+2b2=(2a+b)(a+2b)，故答案为：①(3a+b)(a+2b)；(2a+b)(a+2b)；【点睛】本题考查了分解因式的应用，长方形的面积，完全平方公式的应用，主要考查学生的观察图形的能力和化简能力．40．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：a2+6a+8，解：原式=a2+6a+8+1-1=a2+6a+9-1=(a+3)2－12=[(a+3)+1][(a+3)−1]=(a+4)(a+2)②M=a2-2a－1，利用配方法求M的最小值．解：a2−2a−1=a2−2a+1−2=(a−1)2−2∵(a-b)2≥0，∴当a=1时，M有最小值－2．请根据上述材料解决下列问题：（1）用配方法因式分解：x2+2x−3．（2）若M=2x2−8x，求M的最小值．（3）已知x2+2y2+z2-2xy-2y-4z+5=0，求x+y+z的值．【答案】（1）(x+3)(x−1)；（2）−8；（3）4．【知识点】因式分解的应用、完全平方公式分解因式【分析】（1）根据配方法，配凑出一个完全平方公式，再利用公式法进行因式分解即可；（2）先利用配方法，配凑出一个完全平方公式，再根据偶次方的非负性求解即可；（3）先利用配方法进行因式分解，再利用偶次方的非负性求出x、y、z的值，然后代入求解即可．【详解】（1）原式=x2+2x−3+4−4=x2+2x+1−4=(x+1)2−22=(x+1)+2(x+1)−2=(x+3)(x−1)；（2）2x2−8x=2(x2−4x)=2(x2−4x+4−4)=2(x−2)2−4=2(x−2)2−8∵(x−2)2≥0∴当x=2时，M有最小值−8；（3）x2+2y2+z2−2xy−2y−4z+5=(x2−2xy+y2)+(y2−2y+1)+(z2−4z+4)=(x−y)2+(y−1)2+(z−2)2∵(x−y)2+(y−1)2+(z−2)2=0∴x−y=0y−1=0z−2=0解得x=1y=1z=2则x+y+z=1+1+2=4．【点睛】本题考查了利用配方法进行因式分解、偶次方的非负性等知识点，读懂题意，掌握配方法是解题关键．题目：将2x+y2−x+2y2分解因式小彬的解法：2x+y2−x+2y2=4x2+4xy+y2−x2+4xy+4y2……第1步=3x2−3y2……………………………………第2步=3x+yx−y……………………………第3步小颖的解法：2x+y2−x+2y2=2x+y+x+2y2x+y−x+2y……第1步=3x+3yx+3y………………………第2步=3x+yx+3y………………………第3步