初中数学北师大版（2024）八年级下册（2024）3 分式方程优秀达标测试

这是一份初中数学北师大版（2024）八年级下册（2024）3 分式方程优秀达标测试，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若关于的方程无解，则的值是（ ）
A．-3B．3C．2D．-2
2．若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．且D．且
3．如图所示，小琳总结了“解可化为一元一次方程的分式方程”的运算流程，那么A和分别代表的是（ ）

A．分式的基本性质1，最简公分母B．分式的基本性质1，最简公分母
C．等式的基本性质2，最简公分母D．等式的基本性质2，最简公分母
4．分式方程的解为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，某路口的斑马线路段A-B-C横穿双向行驶车道，其中．在绿灯亮时，小敏共用22s通过AC路段，其中通过BC路段的速度是通过AB路段速度的1.2倍，则小敏通过AB路段的速度是（ ）
A．0.5m/sB．1m/sC．1.5m/sD．2m/s
6．为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，某校投入2万元购进了一批劳动工具．开展课后服务后，学生的劳动实践需求明显增强，需再次采购一批相同的劳动工具，已知采购数量与第一次相同，但采购单价比第一次降低15元，总费用降低了．设第二次采购单价为元，则所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．解分式方程时，去分母后得到的整式方程是（ ）
A．2（x－8）＋5x＝16（x－7）B．2（x－8）＋5x＝8
C．2（x－8）－5x＝16（x－7）D．2（x－8）－5x＝8
8．端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售．细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是元，所得方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．若关于的方程的解与方程的解相同，则等于（ ）
A．3B．C．2D．
10．某公司欲查询某款商品的进价，发现进货单（如图）已被墨水污染，商品采购员甲和仓库保管员乙对采购情况回忆如下．
甲：①号商品进价比②号商品进价每件高；
乙：①号商品比②号商品的数量多40件．
若两人所说的内容均符合实际情况，则下列判断正确的是（ ）
A．①号商品的进价为60元/件B．②号商品的进价为80元/件
C．①号商品的数量为80件D．②号商品的数量为40件
11．方程的解是（ ）
A．2B．3C．4D．
12．一艘轮船在静水中的速度为，它沿江顺流航行与逆流航行所用时间相等，江水的流速为多少？设江水流速为，则符合题意的方程是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
13．在一个不透明的袋子中装有4个白球，a个红球．这些球除颜色外都相同．若从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为，则 ．
14．如果分式的值为0，那么x的值是 ．
15．若分式方程有增根，则 ．
16．在实数范围内规定ab＝，若x（x＋2）＝，则
17．方程的解为 ．
三、解答题
18．宁古高速是福建省境内连接宁德市与古田县的一条高速公路，预计将于2025年底建成通车．宁古高速全线通车后，从宁德城区到古田县城将有两条路线可供选择，路线一：走省道，全长大约125千米；路线二：走高速公路，全长大约75千米．走高速公路的平均速度是走省道的1.5倍，行驶时间比走省道节省1.5小时．求通车前宁德城区到古田县城走省道大约需要多长时间？
19．解方程：
20．某商店销售一批服装，每件售价150元，可获利．求这种服装的成本价．
21．解分式方程：
(1)
(2)
22．数学课上，李老师和同学们做一个游戏：他在三张硬纸片上分别写出一个代数式，背面分别标上序号①、②、③，摆成如图所示的一个等式，然后翻开纸片②是，翻开纸片③是．
(1)求纸片①上的代数式．
(2)李老师说，他心里想着一个数，能使①与相等，请求出李老师心中的数．
23．先化简，再求值：，其中x是分式方程的解．
24．关于x的方程．
(1)m为何值时，方程有增根？
(2)m为何值时，方程无解？
《5.3分式方程》参考答案
1．B
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
【详解】解：
方程两边都乘以（x-3）得，
x=2(x-3)+m
∵原方程无解，即原方程有增根
∴最简公分母x-3=0
解得，x=3
当x=3时，3=2×（3-3）+m
解得，m=3
故选：B
【点睛】此题考查了分式方程的解，弄清分式方程无解的条件是解本题的关键．
2．C
【分析】本题考查分式方程的解，掌握分式方程的解法，理解分式方程增根的定义是正确解答的关键．根据分式方程的解法和增根的定义即可确定的取值范围．
【详解】解：将关于的分式方程的两边都乘以得，
，
解得，
由于分式方程的解为正数，
所以，
解得，
又因为分式方程的增根是，
所以，
解得，
综上所述，且．
故选：C．
3．C
【分析】根据等式的基本性质：去分母变形是两边同时乘以最简公分母；当整式方程的解使最简公分母为0时，原方程无解．
【详解】解：根据分式方程的解题步骤，去分母依据是等式的基本性质2，整式方程的根使分母为0时，原方程无解．
故选：C
【点睛】本题考分式方程的求解，理解分式方程求解步骤的依据是解题的关键．
4．B
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：去分母得：3x＝2，
解得：x，
经检验x是分式方程的解．
故选：B．
【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
5．B
【分析】设小敏通过路段的速度是，则小敏通过BC路段的速度是，利用时间＝路程速度，结合小敏共用通过路段，可列出关于x的分式方程，解之，经检验后，即可得出结论．
【详解】解：设小敏通过路段的速度是，则小敏通过路段的速度是， 根据题意得：
，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴小敏通过路段的速度是．
故选：．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，解决问题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程．
6．B
【分析】设第二次采购单价为x元，则第一次采购单价为元，根据单价总价数量，结合总费用降低了，采购数量与第一次相同，即可得关于x的分式方程．
本题主要考查了分式方程的应用——购买问题．熟练掌握总价与单价和数量的关系，再次采购数量与第一次相同，是解决问题的关键．
【详解】设第二次采购单价为x元，则第一次采购单价为元，
依题意得： ．
故选：B．
7．A
【分析】分式方程两边乘以2（x−7）去分母得到结果，即可作出判断．
【详解】解：去分母得：
2（x−8）＋5x＝16（x−7）．
故选：A．
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
8．C
【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．根据降价后用240元可以比降价前多购买10袋，可以列出相应的分式方程．
【详解】解：由题意可得，
，
故选：C．
9．B
【分析】本题考查的是解分式方程，求出第二个分式方程的解，代入第一个方程求出a的值即可．
【详解】解：方程，
去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解，
把代入得：，
即
去分母整理得：，
解得：，
经检验是分式方程的解，
故选：B．
10．A
【分析】本题考查了分式方程的应用，设②号商品进价为元，则①号商品进价为元，根据题意列出分式方程，求解即可得出答案．
【详解】解：设②号商品进价为元，则①号商品进价为元，
由题意可得：，
解得：，
∴，，，
故①号商品的进价为60元/件，②号商品的进价为4元/件，①号商品的数量为120件，②号商品的数量为80件．
故选：A．
11．D
【分析】本题考查了解分式方程，通过去分母将分式方程转化为整式方程，解出后代入分母检验即可求解．
【详解】解：
即
解得
检验：将代入原方程的分母，，，故符合题意；
故选： D．
12．A
【分析】本题考查了根据实际问题列分式方程．根据顺流速度和逆流速度与静水速度的关系，顺流速度为静水速度加水流速度，逆流速度为静水速度减水流速度，再根据时间相等列方程．
【详解】解：∵顺流速度，逆流速度，
顺流时间，逆流时间，
∵时间相等，
∴．
故选：A．
13．
【分析】本题考查了概率公式，分式方程的应用．
根据概率公式列方程计算即可．
【详解】∵在一个不透明的袋子中装有4个白球，a个红球．这些球除颜色外都相同．若从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为，
∴，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
故答案为：．
14．3
【分析】去分母转换成整式方程即可解得．
【详解】由题意得：，
等式两边同时乘以x+3得，，
解得：x=3．
经检验得x =3是原方程的解．
故答案为：3．
【点睛】此题考查了分式方程，解题的关键是去分母转化成整式方程．
15．2
【分析】本题主要考查了解分式方程，根据分式方程根的情况求参数等知识点，解题的关键是熟练掌握分式方程的求解．
先对分式方程进行整理，得出，然后根据增根进行求解即可．
【详解】解：
，
∵原分式方程有增根，即，
∴，
故答案为：2．
16．－1
【分析】试题分析：先把x（x＋2）＝，转化为，解该分式方程即可．
【详解】解：∵x（x＋2）＝
∴
去分母得：x＋2﹣x＝2（x＋2）
去括号得：x＋2﹣x＝2x＋4
移项、合并同类项得：2x＝－2
系数化为1得：x＝－1
经检验x＝－1是原分式方程的解．
故答案为：－1．
【点睛】本题考查了新定义运算和分式方程的解法，解题时注意要按照题中定义的运算法则进行运算，所得的结果还要进行检验．
17．
【分析】根据方程两边同时乘以，化为整式方程，进而进行计算即可求解，最后注意检验．
【详解】解：方程两边同时乘以，
解得
经检验，是原方程的解
故答案为：
【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程一定要注意检验．
18．2.5小时
【分析】本题考查分式方程的实际应用，设通车前宁德至古田走省道大约需要小时，根据走高速公路的平均速度是走省道的1.5倍，行驶时间比走省道节省1.5小时，列出方程进行求解即可．
【详解】解：设通车前宁德至古田走省道大约需要小时，则
，
解得．
经检验，是所列方程的根．
答：通车前宁德至古田走省道大约需要2.5小时．
19．
【分析】根据等式的基本性质，去分母化整式方程求解，注意检验．
【详解】解：去分母，得，
，
，
时，，
∴是原方程的解．
【点睛】本题考查分式方程的求解，注意检验是解题的关键．
，
20．这种服装的成本价为120元．
【分析】根据每件利润÷每件成本=每件利润得出即可．
【详解】解：设这种服装的成本价为x元，根据题意，得
．
解得 x=120，
经检验：x=120是分式方程的解，且符合题意，
答：这种服装的成本价为120元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用；得到售价的等量关系是解决本题的关键；注意利润率是相对于成本来说的．
21．(1)
(2)无解
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程是解题的关键
（1）先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程最后检验即可求解
（2）先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程最后检验即可求解．
【详解】（1）解：，
去分母，得，
去括号，得，
解得，
经检验，是原方程的根，
则分式方程的解为；
（2）解：，
去分母，得
去括号，得
解得
经检验，是原方程的增根
所以，原分式方程无解．
22．(1)
(2)李老师心中的数为
【分析】（1）由①=②+③，利用分式的加减运算法则求解即可；
（2）根据题意列出分式方程，再化为整式方程，然后求得整式方程的解并检验即可解答．
【详解】（1）解：由题意，
+
=
=
=，
故纸片①上的代数式为．
（2）解：由题意，=，
去分母，得：，
则，
解得：，
经检验，是所列分式方程的解，
故李老师心中的数为．
【点睛】本题考查分式的加减、解分式方程，理解题意，正确列出代数式和分式方程是解答的关键．
23．x﹣2，4
【分析】先计算括号内的分式的减法，再把分式的除法转化为分式的乘法，约分后可得结果，再解分式方程，最后代入求值即可．
【详解】解：
＝÷
＝
＝x﹣2，
∵
∴，
解得，x＝6，
检验：当x＝6时，x﹣2≠0，
∴方程的解是x＝6，
当x＝6时，原式＝6﹣2＝4．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，分式方程的解法，掌握“分式的混合运算的运算顺序与分式方程的解法步骤”是解本题的关键．
24．(1)当或时，方程有增根；
(2)当或或时，方程无解
【分析】本题考查了分式方程的增根和无解问题，熟练掌握解分式方程的步骤和增根问题是解题的关键．
（1）去分母把分式方程化为整式方程，再把增根代入，即可求出m的值；
（2）分式方程无解，即化成整式方程时无解，或者求得的能令最简公分母为0，据此进行解答．
【详解】（1）解：
方程两边都乘，
得，
∵原方程有增根，
∴最简公分母，
解得或，
当时，则，
解得；
当时，则，
解得，
∴当或时，方程有增根；
（2）解：由（1）可得，
则，即，
当，即时整式方程无解，
当，即时整式方程无解，
当，即时整式方程无解，
∴当或或时，方程无解．
商品
进价（元/件）
数量（件）
总金额（元）
①
7200
②
3200
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
C
B
B
B
A
C
B
A
题号
11
12








答案
D
A