初中数学北师大版（2024）八年级下册（2024）2 三角形的中位数精品同步测试题

这是一份初中数学北师大版（2024）八年级下册（2024）2 三角形的中位数精品同步测试题，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如图，为的角平分线，于为中点，连接，若，则（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在中，，，， D为的中点，若动点E以每秒的速度从A点出发，沿着A→B的方向运动，点E运动t秒后，是直角三角形，则t的值为（ ）
A．2B．0.5
C．2或3.5D．2或0.5
3．如图，A、B为上两点，，为上一动点（不与，重合），为的中点．若的半径为2，则的最大值为（ ）
A．1B．
C．3D．2
4．在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①GN＝NE；②AE⊥GF；③AC平分∠BCD；④AC⊥BD，其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．厨房角柜的台面是三角形（如图），如果把各边中点连线所围成的三角形铺成黑色大理石（图中阴影部分），其余部分铺成白色大理石，那么黑色大理石的面积与白色大理石面积的比是（ ）
A．B．C．D．
6．为了倡导全民健身，某小区在公共活动区域安装了健身器材，其中跷跷板很受欢迎．如图，点O为跷跷板的中点，支柱垂直于地面，垂足为C，．当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为（ ）
A． B．C．D．
7．中，点D、E分别为边上的一点．给出命题：①如果D为的中点，且，那么E也是的中点；②如果，那么．其中（ ）．
A．只有①正确B．只有②正确C．①②都正确D．①②都不正确
8．如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是各边的中点．甲说：若四边形是平行四边形，则四边形也是平行四边形；乙说：若四边形是平行四边形，则四边形也是平行四边形．下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙都正确B．甲正确，乙错误
C．甲错误，乙正确D．甲、乙都错误
9．如图，点D，E，F分别为三边的中点．若的周长为10，则的周长为（ ）

A．5B．6C．D．8
10．如图，是的中位线，若，则的长是（ ）

A．4B．5C．6D．7
11．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，若∠DAC＝20°，∠ACB＝84°，则∠FEG等于（ ）
A．32°B．38°C．64°D．30°
12．已知：如图所示：点D，E分别是的边的中点．
求证：，且．
证明：延长到点F，使EF＝DE，连接．∵，∴四边形是平行四边形，接着以下是排序错误的证明过程：①∴；②．即；③四边形是平行四边形；④，且．则正确的证明顺序应是（ ）
A．①→③→②→④B．①→③→④→②C．②→③→①→④D．②→③→④→①
二、填空题
13．已知，在中，，点D为一动点，且，连接BD，点E为BD中点，则CE的最小值为 ．
14．如图，每个小正方形的边长为1，在中，D，E分别为的中点，则线段的长为 ．
15．如图，在中，对角线、相交于点O，，点E是边的中点，则 ．
16．如图，中，，点，分别在，边上，且，，分别连接，，点，分别是，的中点，连接，则线段的长为 ．
17．如图，在中，，点D，E，F分别是，，的中点，则四边形的周长为 ．
三、解答题
18．如图，在中，，点D，E分别是边上的点，连接，，点F，G，H分别为的中点．求证：．

19．如图，在四边形中，E，F分别是的中点，若， ．求证：．
20．如图，的中线，相交于点G，已知P，Q分别是，的中点．求证：四边形是平行四边形．

21．在中，E是的中点，相交于点F，．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)连接交于点O，若，则的长为_____________．
22．如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，连接EB并延长至F，使BF＝BE；连接EC并延长至G，使CG＝CE，连接FG，点H为FG的中点，连接DH，AF．
（1）若∠BAE＝70°，∠DCE＝20°，求∠DEC的度数；
（2）求证：四边形AFHD为平行四边形．
23．如图1，直线和直线相交于A点，B、C分别在y轴的正半轴和负半轴上，且，C点坐标为．
(1)求直线的函数表达式；
(2)在线段上找一点P，使得，求P点的坐标；
(3)如图2，D点为线段的中点，若点Q是线段（不与点A、B重合）上一点，且使得，请求出Q点坐标．
24．如图，是四边形的对角线，E、F分别为的中点，G、H分别为的中点．请你判断与的关系，并证明你的结论．
《6.2三角形的中位线》参考答案
1．C
【分析】延长BE交AC于点G，可得△ABE≌△AGE，从而E是BG的中点，得到EF是△BCG的中位线，从而EF//GC，可得到∠EFD=∠C，即可求解．
【详解】如图，延长BE交AC于点G，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE=∠GAE，
∵，
∴∠BEA=∠GEA=90°，
∵AE=AE，
∴△ABE≌△AGE，
∴E是BG的中点，
∵F是BC的中点，
∴EF是△BCG的中位线，
∴EF//GC，
∴∠EFD=∠C=180°-∠BAC-∠ABC，
∵AD平分∠BAC，，
∴∠BAE =40°，
∴∠ABE=90°-∠BAE=50°，
∴∠ABC=∠ABE+∠EBD=50°+20°=70°，
∴∠EFD=∠C=180°-80°-70°=30°．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形中位线的性质，三角形内角和，熟练掌握三角形全等的判定和性质，三角形中位线的性质，三角形内角和是解题的关键．
2．C
【分析】分当时，当时，再结合运动方向分两种情况求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴，，
当时，，
∴，
∵D为的中点，
∴，
∴，
∴，
点E从时，(秒)，
当时，如图所示：
∵，，D为的中点，
∴，
点E从时，(秒)，
故选：C．
【点睛】本题主要考查含30度角的直角三角形的性质，动点问题，理解题意，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键．
3．A
【分析】本题考查了中位线的性质，三角形边长关系，勾股定理，连接，取的中点，连接，根据中位线的性质可得，再利用勾股定理求得，根据三角形边长关系可得，即可解答，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，取的中点，连接，
为的中点，的中点为，
，，
，
，
根据三角形边长关系可得，
的最大值为，
故选：A．
4．B
【分析】证明四边形BGFE是平行四边形可判断①， BO＝BC，结合点E是OC的中点，可得BE⊥AC，再利用四边形BGFE是平行四边形可判断②，证明∠BOC＝∠BCO，结合∠BOC＝∠ACD+∠BDC，可判断③，由BE⊥AC，可得∠BOE＜90°，可判断④，从而可得答案.
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，AB＝CD，
∵E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，
∴CD＝2EF，，AB＝2BG，
∴BG＝EF，，
∴四边形BGFE是平行四边形，
∴GN＝NE，故①正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AD＝BC，
∵BD＝2AD＝2BC，
∴BO＝BC，
又∵点E是OC的中点，
∴BE⊥AC，
∵四边形BGFE是平行四边形，
∴，
∴GF⊥AC，
即GF⊥AE，故②正确；
∵BO＝BC，
∴∠BOC＝∠BCO，
∵∠BOC＝∠ACD+∠BDC，
∴∠BOC＞∠ACD，
∴∠BCO≠∠ACD，
∴AC不平分∠BCD，故③错误；
∵BO＝BC，点E是OC的中点，
∴BE⊥AC，
∴∠BOE＜90°，
∴AC与BD不垂直，故④错误，
故选：B．
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，三角形的中位线的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练的利用平行四边形的性质解题是关键.
5．C
【分析】根据三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．易证明此图中分割的四个三角形的面积都相等．所以黑色大理石的面积与白色大理石面积的比是1：3．
【详解】解：如图，
∵D、E、F分别是AB、BC、AC的中点
∴DF=BE=EC，EF=AD=BD，DE=AF=FC
∴△BDE≌△ADF≌△CEF≌△DEF
∴S△BDE=S△ADF=S△CEF=S△DEF
∴黑色大理石的面积与白色大理石面积的比是1：3．
故选：C．
【点睛】本题构造的问题情境经常考查：根据三角形的中位线定理可以证明三角形被它的三条中位线分成的四个三角形全等．
6．B
【分析】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理是解题的关键．过点B作垂直底面于点D，判断出是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得．
【详解】解：如图，过点B作垂直底面于点D，
，
，
点O为跷跷板的中点，
是的中位线，
，
，
故选：B．
7．A
【分析】根据三角形中位线性质可判定①正确；由BC=2DE，不能得到DE//BC，据此判断②错误．
【详解】解：如图，
①中，
D为的中点，且，
是的中位线，
E也是的中点，
故①正确；
② D为的中点，
无法判断与是否相等，故不能判断，
故②错误，
故选：A．
【点睛】本题考查三角形中位线的性质，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
8．B
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，三角形中位线定理，根据三角形中位线定理推出，则可证明四边形是平行四边形，根据现有条件无法证明四边形是平行四边形，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，连接，
∵在四边形中，点E，F，G，H分别是各边的中点，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
根据现有条件无法证明四边形是平行四边形，故甲说法正确，乙说法不正确，
故选：B．
9．A
【分析】根据中位线定理可得，，，继而结合的周长为10，可得出的周长．
【详解】解：∵点D，E，F分别为三边的中点，
∴，，，
∴，
∵的周长为10，
∴，即的周长为5．
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
10．B
【分析】本题考查三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．已知是的中位线，，根据中位线定理即可求得的长．
【详解】解：∵是的中位线，，
∴．
故选：B．
11．A
【分析】根据三角形中位线定理和等腰三角形等边对等角的性质求解即可．
【详解】解：∵AD＝BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，
∴GF是△ACD的中位线，GE是△ACB的中位线，
∴GF＝AD，GF∥AD，GE＝BC，GE∥BC．
又∵AD＝BC，
∴GF＝GE，∠FGC＝∠DAC＝20°，∠AGE＝∠ACB＝84°，
∴∠EFG＝∠FEG，
∵∠FGE＝∠FGC+∠EGC＝20°+（180°-84°）＝116°，
∴∠EFG＝（180°-∠FGE）＝32°．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理和等腰三角形的判定与性质．中位线是三角形中一条重要的线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算与证明中有着广泛的应用．
12．C
【分析】先正确书写出三角形中位线的证明过程再进行排序．
【详解】先延长到点F，使，连接，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴②，即，
∴③四边形是平行四边形，
∴①，
∴④，且，
∴正确的证明顺序为：②→③→①→④，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，掌握三角形中位线的证明过程是解题关键．
13．
【分析】取AB中点O，连接CO、EO，根据中位线的性质和勾股定理求出CO、OE长，再根据CE≥OC-OE求出最小值即可．
【详解】解：取AB中点O，连接CO、EO，
∵在中，，
∴，
∵点E为BD中点，点O为AB中点，，
∴，，
∵CE≥OC-OE，
∴，
CE的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了中位线和勾股定理，解题关键是恰当作辅助线，构建三角形，利用三角形三边关系求解．
14．
【分析】本题考查的是三角形的中位线定理，依据三角形的中位线定理求解即可．
【详解】解： ∵D，E分别为的中点，，
∴．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了平行四边形的性质和三角形的中位线定理的应用．根据平行四边形的性质得出，根据三角形的中位线性质得出，代入求出即可．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
是的中点，
，
，
．
故答案为：．
16．
【分析】本题考查三角形中位线，勾股定理等知识，解题的关键是掌握三角形中位线的性质，勾股定理的应用，根据题意取的中点，连接，，根据三角形的中位线的性质，可得，，，，根据勾股定理，则，求出即可．
【详解】解：取的中点，连接，，
∵中，，
∴，
∵点是的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∵点是的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
17．14
【分析】本题考查三角形中位线定理，线段中点性质等知识．熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
根据三角形中位线定理得，由线段中点性质得，即可解决问题．
【详解】解：∵在中，，点D， F分别是，的中点，
∴．
又∵E是的中点，
∴．
∴．
∴四边形的周长．
故答案为：14．
18．见解析
【分析】本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．根据等角对等边得到，根据线段的和差得到，然后根据三角形的中位线定理即可得到结论．
【详解】证明：∵，
∴．
∵，
∴，即．
∵点F，G，H分别为的中点，
∴是的中位线，是的中位线，
∴，，
∴．
19．见解析
【分析】此题考查了三角形中位线定理，以及勾股定理逆定理，关键是掌握三角形的中位定理及勾股定理的逆定理．根据三角形中位线定理可得，再利用勾股定理逆定理证明即可．
【详解】证明：E，F分别是的中点，
∴．
∵，
∴．
又∵，，
∴，
∴，
∴．
20．见详解
【分析】根据，是的中线，即可得到，，即可得到，，根据P，Q分别是，的中点得到，，即可得到，，即可得到证明；
【详解】证明：∵，是的中线，
∴，，
∴，，
∵P，Q分别是，的中点，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形；
【点睛】本题考查三角形中位线定理及平行四边形的判定，解题的关键是根据中位线得到平行及线段关系．
21．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识点，掌握相关结论是解题关键．
（1）由题意得是的中位线，推出，结合即可求证；
（2）由题意得，，，故可求出，，结合即可求解；
【详解】（1）证明：∵E是的中点，
∴是的中位线，
∴，
即：，
∵，
∴四边形为平行四边形
（2）解：∵是的中位线，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴
故答案为：
22．（1）50°；（2）见解析
【分析】（1）由平行四边形的性质和平行线的判定和性质得出答案即可；
（2）由平行四边形的性质得出AD＝BC，AD∥BC；证明BC是△EFG的中位线，得出BC∥FG，BC＝FG，证出AD∥FH，AD=FH，进而解答即可．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAE＝∠BCD＝70°，AD∥BC，
∵∠DCE＝20°，AB∥CD，
∴∠CDE＝180°﹣∠BAE＝110°，
∴∠DEC＝180°﹣∠DCE﹣∠CDE＝50°；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵BF＝BE，CG＝CE，
∴BC是△EFG的中位线，
∴BC∥FG，BC＝FG，
∵H为FG的中点，
∴FH＝FG，
∴BC∥FH，BC＝FH，
∴AD∥FH，AD＝FH，
∴四边形AFHD是平行四边形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，三角形中位线定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
23．(1)
(2)
(3)
【分析】(1)根据，C点坐标为，确定，确定点，设直线的函数表达式为，代入A、B两点的坐标计算即可．
（2）设直线的函数表达式为，代入A、C两点的坐标，确定解析式，设，连接，根据坐标可计算，结合确定，再运用分割法得到，计算即可．
（3）在上取一点E，使得，连接，结合得到是中位线，得到，得到，结合，可证明，继而得到，过点Q作于点G，利用等腰直角三角形的性质，运用勾股定理，求算的长，结合点的位置，写出坐标即可．
【详解】（1）因为，C点坐标为，
所以，
所以点，
设直线的函数表达式为，代入A、B两点的坐标，得：
，
解得，
所以直线的函数表达式为．
（2）设直线的函数表达式为，代入A、C两点的坐标，得：
，
解得，
所以直线的函数表达式为．
设，连接，
因为A点，C点坐标为，点，
所以，
所以，
因为
所以，
因为，
所以，
解得，
所以．
（3）如图，因为，D点为线段的中点，
所以，，，
在上取一点E，使得，连接，
因为，
所以是中位线，
所以，
所以，，
因为，
所以，
所以，
过点Q作于点G，
则，
设，则，
根据勾股定理，得，
所以，
解得，
所以，
因为点Q在第二象限，
所以．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，线段与坐标的关系，三角形中位线定理，勾股定理，三角形面积分割法计算，熟练掌握待定系数法，勾股定理，三角形中位线定理是解题的关键．
24．与互相平分，证明见解析
【分析】本题主要查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理．熟练掌握平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理是解题的关键．
连接，根据三角形中位线定理可得，从而证得四边形是平行四边形，即可解答．
【详解】解：与互相平分，证明如下：
如图，连接，
∵E、F分别为的中点，G、H分别为的中点，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴与互相平分，
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
A
B
C
B
A
B
A
B
题号
11
12








答案
A
C