初中数学沪科版（2024）八年级下册（2024）17.2 一元二次方程的解法精品学案设计

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▉题型1 解一元二次方程-配方法
【知识点的认识】
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
1．用配方法解一元二次方程x2﹣8x﹣3＝0，下列配方正确的是（ ）
A．（x﹣4）2＝19B．（x﹣4）2＝13C．（x+4）2＝19D．（x﹣8）2＝67
2．若用配方法解方程2x2﹣4x+1＝0，则方程变形为（ ）
A．(x−2)2=12B．2(x−1)2=12
C．（2x﹣1）2＝1D．(x−1)2=12
3．一元二次方程x2﹣8x﹣1＝0配方后可变形为（ ）
A．（x+4）2＝17B．（x﹣4）2＝17C．（x+4）2＝15D．（x﹣4）2＝15
4．用配方法解一元二次方程x2﹣8x+4＝0，配方的结果是（ ）
A．（x+4）2＝18B．（x﹣4）2＝12C．（x+4）2＝12D．（x﹣4）2＝4
5．解方程：3x2﹣10x+6＝0（配方法）．
6．（1）x2+6x＝﹣4；
（2）4x−1+2x−11−x=1．
7．计算：
（1）（x+3）2﹣36＝0；
（2）x2+2x＝5；
（3）2x−3=3x−2．
8．（1）计算：62×3+330÷5；
（2）解方程：x2﹣4x﹣7＝0．
9．计算：（1）(5−2)(5+2)+(3−2)2；
解方程：（2）2x2+4x﹣5＝0．
10．（1）计算：18−12×23+(5+2)(5−2)；
（2）解方程：x2﹣4x﹣7＝0．
11．（1）计算：12−3(1−3)−|3−2|；
（2）解方程：x2﹣6x+4＝0．
▉题型2 解一元二次方程-公式法
【知识点的认识】
（1）把x=−b±b2−4ac2a（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
12．当a＝1，b＝﹣2，c＝﹣2时，代数式−b+b2−4ac2a的值是 ．
13．若a＝1，b＝10，c＝﹣15，求代数式−b+b2−4ac2a的值．
14．根据下列条件，求代数式−b+b2−4ac2a的值．
（1）a＝1，b＝8，c＝﹣4；
（2）a＝3，b＝﹣6，c＝2．
15．解方程：
（1）（2x﹣3）2＝49；
（2）x2﹣5x+3＝0．
16．解方程：
（1）2x2+3x﹣1＝0；（配方法）
（2）2x2﹣1＝x（x+3）．
17．（1）5x2+2x−1=1−xx+2．
（2）1x+10+1(x+1)(x+2)+1(x+2)(x+3)+⋯1(x+9)(x+10)=2．
（3）2x2−22x+1=0；
（4）（y+2）2＝9y2﹣6y+1．
18．解下列方程．
（1）x2+4x﹣2＝0（配方法）；
（2）2x2﹣x﹣1＝0（公式法）．
19．（1）解分式方程：2xx−2−12−x=1；
（2）用适当的方法解方程：3x2+2x﹣2＝0．
20．（1）化简：(3x+1−x+1)÷x2−4x+4x+1；
（2）解不等式组：5x+1≥3(x−1)①x−32≥2x−53②；
（3）解分式方程：x+1x−1−4x2−1=1；
（4）解方程：2x2＝2x+1．
21．按要求完成下列各题：
（1）解不等式组：2(x−1)＜3(1−x)x−13−1≤x−22；
（2）解方程：2x2+3=26x；
（3）先化简，再求值：(2x−1+11−x)÷x2−1x2−2x+1，其中x=2−1．
▉题型3 解一元二次方程-因式分解法
【知识点的认识】
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
22．一元二次方程（x﹣2）2＝x﹣2的根是（ ）
A．3B．2C．﹣1D．3或2
23．一元二次方程x（x﹣2）＝2﹣x的根是（ ）
A．x＝﹣1B．x＝2
C．x1＝1，x2＝2D．x1＝﹣1，x2＝2
24．方程x（x﹣2）＝0的根为（ ）
A．x＝0B．x＝2
C．x1＝0，x2＝2D．x1＝0，x2＝﹣2
25．方程x2﹣x＝0的解为 ．
26．若一个三角形的两条边分别是5和7，另一条边是一元二次方程x2﹣10x+16＝0的根，则这个三角形的周长为 ．
27．若某等腰三角形的底和腰的长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两根，则这个等腰三角形的周长是 ．
28．解下列方程：
（1）6（x﹣1）2﹣54＝0；（用直接开方法）
（2）9x2﹣（x﹣1）2＝0；（用因式分解法）
（3）x2+6x+1＝0；（用配方法）
（4）2y2+8y﹣1＝0．（用公式法）
29．解方程：
（1）x2﹣2x﹣3＝0；
（2）3x2﹣6x﹣2＝0．
30．适当的方法解方程：
（1）3x2+2x﹣1＝0；
（2）（x+2）（x﹣1）＝2﹣2x；
（3）（2x﹣1）2+3（2x﹣1）＝0．
31．计算与解方程：
（1）计算：(24−12)−(6+18)；
（2）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．
32．解下列一元二次方程：
（1）（x+1）2＝4；
（2）2x2﹣7x+3＝0．
33．（1）解方程：（3x﹣1）2＝49；
（2）解方程：3x2+4x﹣7＝0；
（3）计算：a2+2a+1a2−1÷(1−aa−1)．
（4）解方程：3−xx−4=14−x−2．
34．解下列关于x的方程．
（1）6x（x﹣1）＝x﹣1；
（2）3x2﹣2x＝x2+x+1．
35．（1）计算：(−1)2025−212+|1−2|+(13)−1；
（2）解方程：（x﹣1）（x+7）＝2x+14．
36．用因式分解法解方程：（x﹣3）2＝2（x﹣3）．
37．（1）分解因式x3﹣4x2+4x；
（2）解不等式组x+12＞x−23+1①13x+2≤3−23x②；
（3）解方程：xx−2+6x+2=1；
（4）解方程：x2﹣5x﹣1＝0．
38．（1）计算：|1−5|+(−2)−3−13×45；
（2）解方程：x2﹣x﹣6＝0．
39．解下列方程：
（1）x2﹣2x﹣3＝0；
（2）用配方法解：2x2+3x﹣5＝0．
40．材料1：将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n），例如：
①x2+3x+2＝（x+1）（x+2）；
②x2﹣2x﹣8＝（x﹣4）（x+2）；
材料2：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2，
再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2．
上述解题用到“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）根据材料1，把x2﹣x﹣2分解因式；
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：
①分解因式：（x﹣y）2+5（x﹣y）+4；
②分解因式：（m+n）（m+n﹣6）+5．
41．（1）解方程：x2﹣2x﹣8＝0；
（2）解不等式组2x+5＜3(x+1)①x−12≤x+13②，并将解集表示在数轴上．题型1 解一元二次方程-配方法
题型2 解一元二次方程-公式法
题型3 解一元二次方程-因式分解法