数学八年级下册（2024）17.2 一元二次方程的解法教案

这是一份数学八年级下册（2024）17.2 一元二次方程的解法教案，共6页。教案主要包含了教学重难点，教学过程设计等内容，欢迎下载使用。
教学目标
1.理解一元二次方程求根公式的推导过程；
2.会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程；
3.经历探索求根公式的过程，培养学生的逻辑推理和数学运算的核心素养，并养成良好的运算习惯；
4.通过运用公式法解简单系数的一元二次方程，提高学生运算能力，并能在学习活动中获得成功的体验，建立学好数学的自信心.
二、教学重难点
重点：求根公式的运用.
难点：一元二次方程求根公式的推导.
三、教学过程设计
环节一：情境导入
问题1：上节课学习了用配方法解一元二次方程？的具体步骤是什么？
预设：
①化—二次项系数化为1，如果二次项系数不为1，将其化为1；
②移—移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；
③配—配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，使原方程边为(x + m)2 = p (p≥0)的形式；
④开—如果p≥0，就可左右两边开平方得x+m=±p；
⑤解—解两个一元一次方程得x=−m±p.
问题2： 请用配方法解下列方程：
(1)
(2)
解：(1)两边同时除以2，得x2+32=72x，
移项，得x2−72x=−32，
配方，得x2−72x+742=−32+742，即x−742=2516
直接开平方，得x−74=±54
所以原方程的根是x1=12，x2=3.
(2) 两边同时除以3，得x2+23x+13=0，
移项，得x2+23x=−13，
配方，得x2+23x+19=−13+19，即x+132=−29
所以原方程无解.
师订正，巩固配方法解方程步骤的同时，对错题学生做记录，并课下练习巩固.
设计意图：通过回顾之前学习的知识，并借助学生利用配方法解题，唤醒记忆，为讲解公式法的推导作铺垫，助于对新知的引入和学习.
环节二：探究新知
思考：如何解一般形式的一元二次方程？
（推导过程对学生有难度，师适度鼓励并板书演示推导细节等）
根据配方法解一元二次方程的经验来解决这个问题：
因为a≠0，把方程的两边都除以a，得，
移项，得，
配方，得
即
问题1：现在能直接开平方吗？
预设：不能.
因为，所以，
将方程两边开平方，得
于是得
问题2：当时，原方程有实数根吗？
预设：当时，，不能直接开平方，故原方程无实数根.
归纳总结：
当时，方程的实数根可以写为
这就是一元二次方程的求根公式.
解一个具体的一元二次方程时，只要先把它整理成一般形式，确定a，b，c的值，然后，把a，b，c的值带入求根公式，就可以得出方程根，这种解法叫做公式法.
设计意图：让学生自己动手通过对配方法并求解，在加深认识求根公式的同时，培养学生逻辑推理和数学运算的核心素养能力，并通过板书演示引导学生养成良好的运算习惯.
思考：利用公式法解一元二次方程的步骤是怎样的?
预设：
①把方程整理成一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）；
②确定a，b，c的值；
③判断的正负；
④若b2−4ac≥0，则把a，b，c的值代入求根公式.
环节三：应用新知
例1：用公式法解下列方程
(1)，(2)
分析：(1)先确定a，b，c的值，确定b2−4ac的正负，再代入求根公式.
(2)将方程化成一般形式，再利用公式法求解.
解：(1)
代入求根公式，得
∴
(2)将原方程化为标准形式，得
代入求根公式，得
教师可以找4名学生板演，对于易错点和难点加以强调和纠正，有助于学生运算正确及推导公式，并且适当鼓励学生养成良好的运算习惯和建立学好数学的自信心.
例2：解方程： (精确到0.001)
分析：先用公式法求出两根，再用计算器进行计算.
解：
代入求根公式，得
用计算器求得
.
设计意图：通过例1巩固公式法解题步骤，并让学生感受抽象的一般形式具有广泛的应用价值，一元二次方程的一般形式代表了所有的一元二次方程，因此它的求根公式适用于所有的一元二次方程.
环节四：课堂练习
1.把下列方程化成一般的形式，并写出其中a，b，c的值.
；；；
2.用公式法解下列方程
；；
；；.
3.用公式法解方程： (精确到0.1) .
4. 解关于x的方程：
答案：
1.解：(1)化成一般形式为，
其中a=1，b=−5，c=−2.
(2)化成一般形式为，
其中a=3，b=−2，c=−1.
(3) 化成一般形式为为，
其中a=2，b=−3，c=−4.
(4) 化成一般形式为，
其中a=1，b=−1，c=3.
2.解:(1)
方程有两个不相等的实数根：
(2)
方程有两个不相等的实数根：
(3)
方程有两个相等的实数根：
(4)
方程有两个相等的实数根：
(5)原方程化成一般形式：
方程无实数根.
(6)原方程化成一般形式：
方程无实数根.
3.解：
代入求根公式，得
用计算器求得
4.解：
代入求根公式，得
教师可以找学生板演，对于易错点和难点加以强调和纠正，有助于学生运算正确及推导公式，并且适当鼓励学生养成良好的运算习惯和建立学好数学的自信心.
设计意图：进一步巩固本节课的内容. 了解学习效果，让学生经历运用知识解决问题的过程，给学生获得成功体验的空间.
环节五：课堂小结
思维导图的形式呈现本节课的主要内容：
设计意图：总结公式法解一元二次方程的知识，并帮助学生梳理本节课所学内容.