初中数学沪科版（2024）八年级下册（2024）16.1 二次根式及其性质优秀导学案

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▉题型1 二次根式的定义
【知识点的认识】
二次根式的定义：一般地，我们把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．
①“”称为二次根号
②a（a≥0）是一个非负数；
学习要求：
理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围．
1．下列各式中一定是二次根式的是（ ）
A．−22B．16C．−3D．x
【答案】B
【解答】解：A、−22=−4，被开方数是负数，不是二次根式，不符合题意；
B、16，被开方数是非负数，是二次根式，符合题意；
C、−3，被开方数是负数，不是二次根式，不符合题意；
D、x，被开方数不一定是非负数，不一定是二次根式，不符合题意．
故选：B．
2．24n是整数，则正整数n的最小值是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【解答】解：∵24n=4×6n=26n，
∴当n＝6时，6n=6，
∴原式＝26n=12，
∴n的最小值为6．
故选：C．
3．下列式子一定是二次根式的是（ ）
A．xB．x+2C．x2−2D．x2
【答案】D
【解答】解：A、当x＜0时x没有意义，故此选项不符合题意；
B、当x+2＜0时，即x＜﹣2时x+2没有意义，故此选项不符合题意；
C、当x2﹣2＜0时，x2−2没有意义，故此选项不符合题意；
D、无论x取任何实数都有x2≥0，即x2有意义，一定是二次根式，故此选项符合题意；
故选：D．
4．下列式子不一定是二次根式的是（ ）
A．8B．a−1C．3D．a2+1
【答案】B
【解答】解：A．8中8＞0，则8是二次根式，不符合题意；
B、a−1中当a＜1时，式子无意义，不是二次根式，符合题意；
C、3中8＞0，则3是二次根式，不符合题意；
D．a2+1中a2+1＞0，则a2+1是二次根式，不符合题意；
故选：B．
5．若63n是整数，则正整数n的最小值是（ ）
A．3B．7C．9D．63
【答案】B
【解答】解：∵63n=7×32n=37n，且7n是整数；
∴37n是整数，即7n是完全平方数；
∴n的最小正整数值为7．
故选：B．
6．下列各式中，是二次根式有（ ）
①7；②−3；③310；④−3−x2；⑤a2+9；⑥1x2+1．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【解答】解：①7是二次根式，
②−3没有意义，不是二次根式，
③310是三次根式，不是二次根式，
④−3−x2没有意义，不是二次根式，
⑤a2+9是二次根式，
⑥1x2+1是二次根式，
∴①⑤⑥是二次根式，共3个，
故选：B．
7．若2x−1是二次根式，则x的取值范围是（ ）
A．x为非负数B．x≠1C．x≥1D．x＞1
【答案】D
【解答】解：根据题意得：x﹣1＞0，
解得x＞1．
故选：D．
8．如图，在数轴上所表示的x的取值范围中，有意义的二次根式是（ ）
A．x−3B．x+3C．1x−3D．1x+3
【答案】B
【解答】解：从数轴可知：x≥﹣3，
A．当﹣3≤x＜3时，x−3无意义，故本选项不符合题意；
B．当x≥﹣3时，x+3有意义，故本选项符合题意；
C．当﹣3≤x≤3时，1x−3无意义，故本选项不符合题意；
D．当x＝﹣3时，1x+3无意义，故本选项不符合题意；
故选：B．
9．若a是二次根式，则a的值可能是（ ）
A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．0
【答案】D
【解答】解：若a是二次根式，则a的值可能是0，
故选：D．
10．已知8n的结果为正整数，则正整数n的最小值为 2 ．
【答案】2
【解答】解：8n=22n，
∵n是正整数，2n也是一个正整数，
∴n的最小值为2．
故答案为：2．
11．已知式子x−6为二次根式，x的取值范围为 x≥6 ．
【答案】x≥6．
【解答】解：∵式子x−6为二次根式，
∴x﹣6≥0，
∴x≥6，
故答案为：x≥6．
12．观察并分析下列数据，寻找规律：0，2，2，6，22，10，23，…那么第10个数据应是 32 ．
【答案】32
【解答】解：第十个数为2(10−1)=18=32．
故答案为：32．
13．已知a为正整数，且12a也为正整数，则a的最小值为 3 ．
【答案】3．
【解答】解：∵12a=23a，且开方的结果是正整数，
∴3a为某数的平方，
又∵3×3＝9，9是满足题意最小的被开方数，
∴a的最小值为3．
故答案为：3．
14．12−n是一个正整数，则n的最小正整数是 3 ．
【答案】3．
【解答】解：根式12−n中12﹣n≥0，
解得：n≤12，
∵12−n是一个正整数，n为正整数，
∴12﹣n＝1或4或9，
解得：n＝11或8或3，
∴n的最小正整数是3．
故答案为：3．
15．当x分别取下列值时，求二次根式9−8x的值．
（1）x＝0；
（2）x=12；
（3）x＝﹣2．
【答案】（1）3；
（2）5；
（3）5．
【解答】解：（1）把x＝0，代入二次根式9−8x=9−0=3；
（2）把x=12，代入二次根式9−8x=9−4=5；
（3）把x＝﹣2，代入二次根式9−8x=9+16=5．
▉题型2 二次根式有意义的条件
【知识点的认识】
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．a（a≥0）是一个非负数．
学习要求：
能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．
16．若代数式x+2x有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣2且x≠0B．x≠0C．x≥﹣2D．x≥﹣2且x≠0
【答案】D
【解答】解：由题意可知：x+2≥0x≠0，
∴x≥﹣2且x≠0，
故选：D．
17．要使二次根式x−2有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＜2B．x＞2C．x≤2D．x≥2
【答案】D
【解答】解：∵二次根式x−2有意义，
∴x﹣2≥0，
解得：x≥2，
故选：D．
18．若二次根式x+2有意义，则x的值不可能是（ ）
A．﹣4B．﹣2C．0D．2
【答案】A
【解答】解：若二次根式x+2有意义，
则x+2≥0，
解得x≥﹣2，
所以x的值不可能是﹣4，
故选：A．
19．已知y=x−1+1−x+x−2，则10x+y的值为（ ）
A．5B．3C．﹣3D．﹣5
【答案】B
【解答】解：根据题意得：1−x≥0x−1≥0，
解得：x＝1．
则y＝﹣1．
则10x+y=10×1−1=3．
故选：B．
20．若代数式x−1有意义，则x应满足的条件为（ ）
A．x≠1B．x≥1C．x＜﹣1D．x≤﹣1
【答案】B
【解答】解：根据二次根式有意义的条件可得：
x﹣1≥0，
∴x≥1，
故选：B．
21．要使代数式3x−4有意义，x的取值应满足（ ）
A．x≥4B．x＞4C．x＜4D．x≠3
【答案】B
【解答】解：由题意得：x﹣4≥0且x﹣4≠0，即x＞4，
故选：B．
22．已知y=3x−2−2−3x−5，则3xy的值为（ ）
A．310B．−310C．10D．﹣10
【答案】D
【解答】解：由题意可得：3x−2≥02−3x≥0，
解不等式可得x=23．
把x=23代入y=3x−2−2−3x−5，
y＝0﹣0﹣5＝﹣5，
那么3xy=3×23×(−5)=2×(−5)=−10，
故选：D．
23．若y=x−2+2−x−3，则（x+y）2022等于（ ）
A．1B．5C．﹣5D．﹣1
【答案】A
【解答】解：∵y=x−2+2−x−3，
∴x﹣2≥0且2﹣x≥0．
∴x＝2．
∴y=x−2+2−x−3=0+0﹣3＝﹣3．
∴（x+y）2022＝（2﹣3）2022＝（﹣1）2022＝1．
故选：A．
24．使x−1有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解答】解：由题意得：x﹣1≥0，
解得：x≥1，
则x的取值范围在数轴上表示正确的是C选项中的数轴，
故选：C．
25．要使二次根式x−2有意义，x的值可以是（ ）
A．﹣3B．0C．1D．2
【答案】D
【解答】解：由题可知，x﹣2≥0，
即x≥2．
故在这个选项中只有2符合．
故选：D．
26．x≥3是下列哪个二次根式有意义的条件（ ）
A．x+3B．1x−3C．1x+3D．x−3
【答案】D
【解答】解：A，x+3≥0，解得，x≥﹣3，错误；
B、x﹣3＞0，解得，x＞3，错误；
C、x+3＞0，解得，x＞﹣3，错误；
D、x﹣3≥0，解得，x≥3，正确，
故选：D．
27．要使式子36−2x在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＜3B．x≥3C．x≤3D．x≠3
【答案】A
【解答】解：由题意得6﹣2x＞0，
解得x＜3，
故选：A．
28．若x+1x−1在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥﹣1且x≠1 ．
【答案】x≥﹣1且x≠1
【解答】解：由题意，得
x+1≥0且x﹣1≠0，
解得x≥﹣1且x≠1，
故答案为：x≥﹣1且x≠1．．
29．若二次根式3−x有意义，则x的取值范围是 x≤3 ．
【答案】x≤3
【解答】解：∵二次根式3−x有意义，
∴3﹣x≥0，
解得：x≤3．
故答案为：x≤3．
30．若(x−2)0x+1在实数范围内有意义，则x的取值范围为x＞﹣1且x≠2 ．
【答案】x＞﹣1且x≠2
【解答】解：由条件可知x−2≠0x+1≥0x+1≠0，
∴x＞﹣1且x≠2，
故答案为：x＞﹣1且x≠2．
31．已知x，y都是实数，且y=3−x+x−3+4，则yx＝ 64 ．
【答案】64
【解答】解：∵y=3−x+x−3+4，
∴x﹣3≥0，3﹣x≥0，
∴x＝3，
将x＝3代入y=3−x+x−3+4，
得：y＝4，
∴yx＝43＝64．
故答案为：64．
32．已知y=x2−9+9−x2x−3+7，则3x+y的值为 ﹣2 ．
【答案】﹣2．
【解答】解：由题意得x2−9≥09−x2≥0x−3≠0，
解得：x＝﹣3，
则y＝7，
∴3x+y＝3×（﹣3）+7＝﹣2．
故答案为：﹣2．
33．当实数x ＜﹣1 时，−2x+1有意义．
【答案】＜﹣1
【解答】解：由题意得：−2x+1≥0，
∵−2x+1≠0，
∴−2x+1＞0，
则x+1＜0，
解得：x＜﹣1，
故答案为：＜﹣1．题型1 二次根式的定义
题型2 二次根式有意义的条件