初中数学沪科版（2024）八年级下册（2024）第17章 一元二次方程及其应用17.1 一元二次方程精品学案

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▉题型1 一元二次方程的定义
【知识点的认识】
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．x+3y＝2B．x2+2x﹣5＝x2
C．x2+3x=8D．x2﹣x＝0
【答案】D
【解答】解：A．x+3y＝2，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；
B．x2+2x﹣5＝x2，整理后不含x2项，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；
C． x2+3x=8，不是整式方程，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；
D．x2﹣x＝0，是一元二次方程，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
2．下列式子是一元二次方程的是（ ）
A．2x﹣3＝0B．x2﹣6x﹣3＝0C．x2﹣3x﹣4D．4xy+1＝0
【答案】B
【解答】解：A．2x﹣3＝0为一元一次方程，所以A选项不符合题意；
B．x2﹣6x﹣3＝0为一元二次方程，所以B选项符合题意；
C．x2﹣3x﹣4不是方程，所以C选项不符合题意；
D．4xy+1＝0为二元一二方程，所以D选项不符合题意．
故选：B．
3．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．（x﹣1）（x+2）＝1B．3x2﹣2xy﹣5y2＝0
C．x2+1x2=0D．ax2+bx+c＝0
【答案】A
【解答】解：A、是一元二次方程，故A符合题意；
B、是二元二次方程，故B不符合题意；
C、是分式方程，故C不符合题意；
D、a＝0时是一元一次方程，故D不符合题意；
故选：A．
4．下列方程中，是一元二次方程的有（ ）个．
①ax2+bx+c＝0；②2x（x﹣3）＝2x2+1；③x2＝4；④（2x）2＝（x﹣1）2 ⑤x2−3xx=2x2．
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【解答】解：①当a＝0时，ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，故错误；
②由2x（x﹣3）＝2x2+1得到﹣6x﹣1＝0，属于一元一次方程，故错误；
③x2＝4符合一元二次方程的定义，故正确；
④由（2x）2＝（x﹣1）2得到 3x2+2x﹣1＝0，符合一元二次方程的定义，故正确；
⑤x2−3xx=2x2属于分式方程，故错误；
故选：C．
5．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．1x2+x−1=0B．3x+1＝5x+42
C．ax2+bx+c＝0D．m2﹣2m+1＝0
【答案】D
【解答】解：A． 1x2+x﹣1＝0为分式方程，所以A选项不符合题意；
B．3x+1＝5x+42为一元一次方程，所以B选项不符合题意；
C．ax2+bx+c＝0，当a≠0时，方程为一元二次方程，所以C选项不符合题意；
D．m2﹣2m+1＝0为一元二次方程，所以D选项符合题意．
故选：D．
6．关于x的方程（a﹣1）x2﹣3x+3＝0是一元二次方程，则a的取值范围是 a≠1 ．
【答案】a≠1．
【解答】解：∵方程（a﹣1）x2﹣3x+3＝0是一元二次方程，
∴a﹣1≠0，
∴a≠1，
故答案为：a≠1．
7．已知(m−1)xm2+1+3x−5=0是一元二次方程，则m＝ ﹣1 ．
【答案】﹣1
【解答】解：由题意，得
∴m﹣1≠0且m2+1＝2，
解得：m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
8．方程(m+1)xm2+1+(m−3)x−1=0；
（1）m取何值时是一元二次方程，并求出此方程的解；
（2）m取何值时是一元一次方程．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）若方程是一元二次方程，则m2+1＝2，
∴m＝±1．
显然m＝﹣1时m+1＝0
故m＝1符合题意．
当m＝1时，原方程可化简为2x2﹣2x﹣1＝0，
此时x=2±234=1±32
∴x1=1+32，x2=1−32．
因此m＝1，方程的两根为x1=1+32，x2=1−32．
（2）当m+1＝0时，解得：m＝﹣1，
此时方程为﹣4x﹣1＝0．
当m2+1＝1时，解得m＝0，
此时方程为﹣2x﹣1＝0，
当m2+1＝0且m﹣3≠0时，无实数根．
故当m＝﹣1或m＝0时，方程为一元一次方程．
▉题型2 一元二次方程的一般形式
【知识点的认识】
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
9．将一元二次方程3x2﹣4＝5x化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数分别是（ ）
A．3，5B．3，﹣5C．﹣4，5D．﹣4，﹣5
【答案】B
【解答】解：方程化为一般式为3x2﹣5x﹣4＝0，
所以二次项系数、一次项系数分别是3，﹣5．
故选：B．
10．关于x的方程3x2﹣2＝4x中，二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．3，﹣2B．3，4C．3，﹣4D．﹣4，﹣2
【答案】C
【解答】解：∵方程3x2﹣2＝4x化为一般形式为：3x2﹣4x﹣2＝0，
∴二次项系数和一次项系数分别是3，﹣4．
故选：C．
11．方程2x2﹣5x＝4的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．2，5，4B．2，﹣5，4C．﹣2，﹣5，4D．2，﹣5，﹣4
【答案】D
【解答】解：∵方程2x2﹣5x＝4化成一般形式是2x2﹣5x﹣4＝0，
∴二次项系数为2，一次项系数为﹣5，常数项为﹣4．
故选：D．
12．将一元二次方程（x+3）（2x﹣1）＝﹣4化为一般形式，结果是（ ）
A．2x2+5x﹣7＝0B．2x2+5x+1＝0
C．2x2﹣5x+1＝0D．x2﹣7x﹣1＝0
【答案】B
【解答】解：（x+3）（2x﹣1）＝﹣4，
2x2﹣x+6x﹣3+4＝0，
2x2+5x+1＝0，
故选：B．
13．一元二次方程2x2+x﹣5＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．2，1，5B．2，1，﹣5C．2，0，﹣5D．2，0，5
【答案】B
【解答】解：一元二次方程2x2+x﹣5＝0的二次项系数，一次项系数，常数项分别是2，1，﹣5，
故选：B．
14．一元二次方程3x2+2x+1＝0的二次项系数是（ ）
A．3B．2C．1D．0
【答案】A
【解答】解：一元二次方程3x2+2x+1＝0的二次项系数是3．
故选：A．
15．将一元二次方程2x2＝4+3x化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数为 ﹣3 ．
【答案】﹣3
【解答】解：∵一元二次方程2x2＝4+3x化成一般形式之后，二次项的系数是2，
∴化成的一般形式为2x2﹣3x﹣4＝0，
∴一次项系数为﹣3，
故答案为：﹣3．
▉题型3 一元二次方程的解
【知识点的认识】
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
16．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（ ）
A．1B．﹣1C．1或﹣1D．0
【答案】B
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1＝0的一个根是0，
∴a2﹣1＝0且a﹣1≠0，
解得：a＝﹣1，
故选：B．
17．已知x＝2是一元二次方程x2+bx﹣b＝0的解，则b＝（ ）
A．﹣2B．﹣4C．0D．4
【答案】B
【解答】解：把x＝2代入方程x2+bx﹣b＝0得4+2b﹣b＝0，
解得b＝﹣4．
故选：B．
18．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0的一个解是x＝1，则代数式2023﹣a﹣b的值为（ ）
A．﹣2021B．2021C．﹣2025D．2025
【答案】D
【解答】解：由题意知，a+b+2＝0，
∴a+b＝﹣2，
∴2023﹣a﹣b
＝2023﹣（a+b）
＝2023﹣（﹣2）
＝2025．
故选：D．
19．已知x＝﹣2是关于x的一元二次方程（m+1）x2+m2x+2＝0的解，则m的值是（ ）
A．﹣1B．3C．﹣1或3D．﹣3或1
【答案】B
【解答】解：将x＝﹣2代入方程得：4（m+1）﹣2m2+2＝0，
解得：m＝﹣1或m＝3，
m＝﹣1时，方程为x+2＝0，不合题意，舍去，
则m＝3．
故选：B．
20．若x＝1是一元二次方程x2+mx﹣1＝0的一个解，则m的值为（ ）
A．1B．﹣1C．0D．2
【答案】C
【解答】解：由条件可知12+m×1﹣1＝0，
解得m＝0，
故选：C．
21．已知a是方程x2+2x＝3的一个根，则代数式a2+2a+2025的值为 2028 ．
【答案】2028
【解答】解：因为a是方程x2+2x＝3的一个根，
所以a2+2a＝3，
则a2+2a+2025＝3+2025＝2028．
故答案为：2028．
22．若m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，则m2+1m2= 6 ．
【答案】6．
【解答】解：∵m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，
∴m2﹣2m﹣1＝0，即m2﹣1＝2m，
∴m2+1m2
＝（m−1m）2+2
＝（m2−1m）2+2
＝22+2
＝6．
故答案为：6．
23．若x＝﹣1是方程x2+mx﹣1＝0的一个根，则m的值是 0 ．
【答案】0．
【解答】解：由条件可知x＝﹣1满足方程x2+mx﹣1＝0，
∴1﹣m﹣1＝0，
解得m＝0．
故答案为：0．
24．实数x满足方程（x2+x）2﹣（x2+x）﹣2＝0，则x2+x的值等于 2 ．
【答案】2．
【解答】解：设y＝x2+x，则由原方程，得
y2﹣y﹣2＝0，
整理得 （y﹣2）（y+1）＝0，
解得 y1＝2，y2＝﹣1，
当y＝﹣1时，x2+x+1＝0，此时x无解，
即x2+x的值等于2．
故答案为：2．
25．若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+a2x﹣a＝0有一个根是x＝1，则a的值为 ﹣1 ．
【答案】﹣1
【解答】解：把x＝1代入（a﹣1）x2+a2x﹣a＝0，得
a﹣1+a2﹣a＝0，
解得：a1＝1，a2＝﹣1，
∵a﹣1≠0，
∴a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
26．若a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，则2a2+4a的值是 6 ．
【答案】6．
【解答】解：∵a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，
∴a2+2a﹣3＝0，
∴a2+2a＝3，
∴2a2+4a＝2（a2+2a）＝2×3＝6，
故答案为：6．
27．x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则2a+4b＝ ﹣2 ．
【答案】﹣2
【解答】解：把x＝1代入方程x2+ax+2b＝0得1+a+2b＝0，
所以a+2b＝﹣1，
所以2a+4b＝2（a+2b）＝2×（﹣1）＝﹣2．
故答案为：﹣2．
28．已知关于x的一元二次方程x2﹣kx＝0的一个根是2，则k的值是 2 ．
【答案】2．
【解答】解：由题意得：把x＝2代入x2﹣kx＝0中得：4﹣2k＝0，
解得：k＝2，
故答案为：2．
29．已知关于x的一元二次方程x2+x﹣k＝0的一个根是1，则k的值是 2 ．
【答案】2．
【解答】解：由题意得：把x＝1代入方程x2+x﹣k＝0中得：
12+1﹣k＝0，
解得：k＝2，
故答案为：2．
30．若x＝a是方程x2+2x﹣8＝0的一个实数根，则2a2+4a+2025的值为 2041 ．
【答案】2041．
【解答】解：由条件可得：a2+2a﹣8＝0，
∴2a2+4a+2025＝2（a2+2a）+5＝2×8+2025＝2041．
故答案为：2041．
31．先化简再求值1a2−4⋅(a2+4a−4)÷(a−2)，其中a是方程a2+2a﹣9＝0的根．
【答案】1a2+2a；19．
【解答】解：1a2−4⋅(a2+4a−4)÷(a−2)
=1a2−4⋅a2−4a+4a⋅1a−2
=1(a−2)(a+2)⋅(a−2)2a⋅1a−2
=1a2+2a
∵a是方程a2+2a﹣9＝0的根
∴a2+2a＝9
∴原式=19．
32．先化简，再求值(xx−1−x)÷x−2x2−2x+1，其中x的值是方程x2﹣x﹣2＝0的根．
【答案】﹣x2+x，﹣2．
【解答】解：原式=x−x2+xx−1÷x−2x2−2x+1
=−x(x−2)x−1⋅(x−1)2x−2
＝﹣x2+x．
由x2﹣x﹣2＝0可得x＝2或x＝﹣1，
∵当x＝2时，原式无意义，
∴当x＝﹣1时，
原式＝﹣（﹣1）2+（﹣1）＝﹣2．
▉题型4 解一元二次方程-直接开平方法
【知识点的认识】
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±p；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±p．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
33．若关于x的方程（x+5）2＝m﹣1有两个实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＞0B．m≥1C．m＞1D．m≠1
【答案】B
【解答】解：根据题意得m﹣1≥0，
所以m≥1．
故选：B．
34．方程x2＝16的解为x1＝4，x2＝﹣4 ．
【答案】x1＝4，x2＝﹣4
【解答】解：x＝±4，
所以x1＝4，x2＝﹣4．
故答案为x1＝4，x2＝﹣4．
35．若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根分别是m+2与2m﹣5，则ba= 9 ．
【答案】9
【解答】解：∵x2=ba，
∴x＝±ba，即方程的两个实数根互为相反数，
则m+2+2m﹣5＝0，
解得：m＝1，
∴方程的两根为x＝3或x＝﹣3，
∴ba=x2＝9，
故答案为：9．
36．解方程：3（x﹣1）2﹣12＝0
【答案】x1＝3，x2＝﹣1．
【解答】解：∵3（x﹣1）2﹣12＝0
∴3（x﹣1）2＝12，
则（x﹣1）2＝4，
∴x﹣1＝±2，
解得x1＝3，x2＝﹣1．题型1 一元二次方程的定义
题型2 一元二次方程的一般形式
题型3 一元二次方程的解
题型4 解一元二次方程-直接开平方法