沪科版（2024）八年级下册（2024）17.1 一元二次方程教案

这是一份沪科版（2024）八年级下册（2024）17.1 一元二次方程教案，共5页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程设计等内容，欢迎下载使用。
一、教学目标
1.理解一元二次方程的定义，能准确判断一个式子是否为一元二次方程；
2.能熟练把一个一元二次方程化为一般式；
3.通过建立方程、观察方程、归纳总结出一元二次方程的特点，培养学生观察发现问题的能力和归纳总结的能力；
4.经历发现一元二次方程的过程，体会数学与生活的关系，加深学生对数的认识，发展培养学生观察发现问题的能力和习惯.
二、教学重难点
重点：一元二次方程的概念和化任意的一元二次方程为一般形式.
难点：从实际问题中抽象一元二次方程的概念及字母系数一元二次方程的各项系数的确定.
三、教学过程设计
环节一：情境导入
设计一座2m高的人体雕像，雕像上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感，那么雕像的下部应设计为多高？
分析：雕像上部的高度AC，下部的高度BC的关系：AC:BC=BC:2
即BC2=2AC
设雕像下部高 x m，于是得方程：
x2=2(2 – x)
整理得：x2＋2x – 4=0.
提问：跟我们学过的一次方程一样吗？
教师活动：引导学生回顾之前学过的一元一次方程，察觉它们之间的区别.
设计意图：用有趣的生活现象引入，增加学生对知识探索的渴望.
环节二：探究新知
问题1：某蔬菜队2019年全年无公害蔬菜产量为100 t，计划2021年无公害蔬菜的产量比2019年翻一番（即为200 t）.要实现这一目标，2020年和2021年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少？
分析：
设这个队2020~2021年无公害蔬菜产量的年平均增长率是x，那么：2020年无公害蔬菜产量为100+100x=100(1+x)(t)；
2021年无公害蔬菜产量为
100(1+x) +100(1+x) ·x=100(1+x)2(t) .
根据题意，2021年无公害蔬菜产量为200 t，得
100(1+x)2=200
即 (1+x)2=2
整理得 x2+2x –1=0
提问：方程中未知数的个数？最高次数？
问题2: 在一块宽20 m、长32 m的长方形空地上，修筑宽相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把这块空地分成大小一样的6块，建成小花坛. 要使花坛的总面积为570 m2，问小路的宽应是多少？
设小路的宽是x m，则横向小路的面积是32x m2，纵向小路的面积是2×20x m2，两者重叠部分的面积是2x2 m2.
由于花坛的总面积是570 m2，则
32×20 – (32x+2×20x)+2x2=570.
整理得：x2 – 36x+35=0.
设计意图：经历发现一元二次方程的过程，体会数学与生活的关系，发展培养学生观察发现问题的能力和习惯.
提问：方程中未知数的个数？最高次数？
观察上述两个方程：x2＋2x–1=0，x2 – 36x+35=0.
思考：
(1)方程含有几个未知数？
(2)按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？
(3)是整式方程吗？
解答：
（1）方程中只含有一个未知数；
（2）未知数的最高次数是2；
（3）方程的等号两边都是整式.
总结：
等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程.
一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.
设计意图：通过建立方程、观察方程、归纳总结出一元二次方程的特点，培养学生观察发现问题的能力和归纳总结的能力.
一元二次方程的根：
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
练一练：下面哪些数是方程 x 2 – x – 6 = 0 的解?
-4 ，-3 ，-2 ，-1，0 ，1，2，3 ，4
解：将所有的数代入方程，只有3和-2使方程两边相等，所以3和-2是方程的解.
环节三：应用新知
例1：已知方程3x (x –1)=2(x +2)+4.
(1)把该方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项；
(2)判断-1是不是该方程的根.
解：（1）去括号，得
3x2–3x=2x+4+4.
移项，合并同类项，得方程的一般形式3x2–5x-8=0..
二次项系数为3，一次项系数为–5，常数项为-8．
(2)把x=-1代入原方程的左右两边，得
左边=6，右边=6.
因为左边=右边，
所以-1是该方程的根.
设计意图：通过例题演示一元二次方程化成一般形式的过程，提醒注意事项，从而确定各项的系数，并巩固一元二次方程的根.
环节四：课堂练习
1.下列方程中，哪些是一元二次方程？
（1）
（2） 4x2+3x–2=(2x–1)2；
（3） x3–x+4=0；
（4） x2 –2y–3=0；
（5） (m+1)x2+3x+1=9；
（6） (2x+2)2=(x–1)2.
2.将下列一元二次方程化成一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项.
(1) 5x2 =6x –8；
(3) x(x–1)=0；
3.当m为何值时，下列方程为一元二次方程？
(1)(m – 1)x2+3x=5；
(2)4xm+3 – x – 1=0；
4.下列哪些数是方程x2+x–2=0的根？
– 3，– 2，– 1，0，1，2，3.
答案：
1.×××××√
2.解：(1)移项得：5x2 –6x+8=0, 其中，二次项系数为5，一次项系数为–6，常数项为8.
(2)，其中，二次项系数为–2 ，一次项系数为0，常数项为.
(3)去括号得：x2 –x=0，其中，二次项系数为1，一次项系数为–1，常数项为0.
(4)去括号、合并同类项得：
其中，二次项系数为1，一次项系数为 ，常数项为.
3.解：(1)由题意得m – 1≠0，∴m ≠1.
(2)由题意得m +3=2，∴m = – 1.
4.解：把 – 3代入方程，(– 3)2 – 3 – 2≠0；
把 – 2代入方程，(– 2)2 – 2 – 2 ＝0；
把 – 1代入方程，(– 1)2 – 1 – 2 ≠ 0；
把 0代入方程，02 + 0 – 2 ≠ 0；
把 1代入方程，12 + 1 – 2 ＝ 0；
把 2代入方程，22 + 2 – 2 ≠ 0；
把 3代入方程，32 + 3 – 2 ≠ 0；
综上所述：– 2，1为方程的根.
设计意图：进一步巩固本节课的内容. 了解学习效果，让学生经历运用知识解决问题的过程，给学生获得成功体验的空间.
环节五：总结归纳
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.