数学八年级下册（2024）17.1 一元二次方程完美版课件ppt

这是一份数学八年级下册（2024）17.1 一元二次方程完美版课件ppt，共32页。PPT课件主要包含了没有未知数，代数式，一元一次方程，二元一次方程，不等式，分式方程，一元二次方程的概念，1+x，1+xx，×20x等内容，欢迎下载使用。
1. 理解一元二次方程的概念. (重点) 2. 根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数.3. 理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题. (难点)
问题1 某蔬菜生产基地去年全年无公害蔬菜产量为 100 t，计划明年无公害蔬菜的产量比去年翻一番 ( 即为 200 t )．要实现这一目标，今年和明年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少 ? ( 精确到 1 % )
根据数量关系绘制下图：
分析 设这个生产基地今年和明年无公害蔬菜产量的年平均增长率是 x，那么，
明年无公害蔬菜产量为：
100 + 100x = 100(1 + x) ( t ),
今年无公害蔬菜产量为：
100(1+x)+100(1+x) · x =100(1+x)2 ( t ) .
根据题意，得 100(1 + x)² = 200.化简，得 (1 + x)² = 2.整理，得 x² + 2x -1 = 0. ①
问题2 如图，在一块宽 20 m、长 32 m 的长方形空地上，修筑宽相等的三条小路( 两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直 )，把长方形空地分成大小一样的六块，建成小花坛. 要使花坛的总面积为 570 m2，问小路的宽度为多少 ?
1. 若设小路的宽是 x m，则横向小路面积是_____m2，纵向小路的面积是 m2，两者重叠的面积是 m2.
2. 由于花坛的总面积是 570 m2，你能根据题意列出方程吗？
32×20 - ( 32x+2×20x ) + 2x2 = 570.
x2 - 36x + 35 = 0 ②.
想一想 有同学列出的方程是(20 - x)(32 - 2x) = 570. 这个方程对吗？
方程①②都不是一元一次方程。那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？
(1) 都是整式方程；
(2) 只含一个未知数；
(3) 未知数的最高次数是 2.
x2 - 36x + 35 = 0 ②
x² + 2x -1 = 0 ①
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程，叫作一元二次方程.
ax2 + bx + c = 0 (a，b，c 为常数，a ≠ 0).
其中，ax2 叫作二次项，a 是二次项系数；bx 叫作一次项，b 是一次项系数； c 叫作常数项.
一元二次方程的一般形式
想一想 为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
当 a ≠ 0，b = 0 时
当 a ≠ 0，c = 0 时
ax2+bx = 0,
当 a ≠ 0，b = c =0 时
总结：只要满足 a ≠ 0 即可，b，c 可以为任意实数.
化简整理为 x2 - 3x + 2 = 0
少了先决条件 a ≠ 0
提示：判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程，若是则进一步化简整理后再做判断。
例2 a 为何值时，下列方程为一元二次方程？
(1) ax2 - x = 2x2；
(2) (a - 1)x|a| + 1 - 2x - 7 = 0.
解：(1) 将方程整理，得 (a - 2)x2 - x = 0，所以当 a - 2≠0，即 a≠2 时，原方程是一元二次方程.
方法点拨：根据一元二次方程的定义求参数的值时，根据未知数的最高次数等于 2，列出关于参数的方程，再排除使二次项系数等于 0 的参数值即可得解.
(2) 由 | a | + 1 = 2，且 a - 1≠0 知，当 a = -1 时，原方程是一元二次方程.
例3 将方程 2x(x + 1) = 5 化为一般形式，并分别指出它的二次项、一次项和常数项及它们的系数。
2x2 + 2x = 5.
移项，得该方程的一般形式为
2x2 + 2x - 5 = 0.
其中二次项是 2x2，系数是 2；一次项是 2x，系数是 2；常数项是 -5.
使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解（又叫作根）.
练一练：下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的解？ -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4.
你注意到了吗？一元二次方程不止一个解(根)
例4 已知方程 3x( x - 1 ) = 2( x + 2 ) + 4.(1) 把该方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项；
解 (1) 去括号，得 3x² - 3x = 2x + 4 + 4.移项、合并同类项，得方程的一般形式： 3x² - 5x - 8 = 0它的二次项系数是 3，一次项系数是 -5，常数项是 -8.
(2) 把 x = -1 代入原方程的左右两边，得左边 = 3×(-1)×(-1 - 1) = 6. 右边 = 2×(-1 + 2) + 4 = 6.因为左边 = 右边，所以 -1 是该方程的根.
例4 已知方程 3x( x - 1) = 2( x + 2 ) + 4.(2) 判断 -1 是否为该方程的根，
例5 已知 a 是方程 x2 + 2x－2 = 0 的一个实数根，求 2a2 + 4a + 2022 的值。
方法点拨：求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需用到整体思想——求解时，将所求代数式中的某一部分看作一个整体，再将这个整体代入求值。
2．关于x的方程a2x2＋x－2＝x2是一元二次方程，则a满足(　　)A．a≠1 B．a≠－1C．a≠±1 D．为任意实数
3．方程(x＋2)(x－2)＝4转化为一元二次方程的一般形式是____________．
4．将方程2x2＋7＝4x改写成ax2＋bx＋c＝0的形式，则a，b，c的值分别为(　　)A．2，4，7 B．2，4，－7C．2，－4，7 D．2，－4，－7
5．关于x的一元二次方程x2＋mx＝3x＋5化为一般形式后不含一次项，则m的值为(　　)A．0 B．±3 C．3 D．－3
6. 已知关于x的方程x2＋mx－3＝0的一个根是1，则m的值为________．
7．已知m是方程x2＋4x－1＝0的一个根，则(m＋5)(m－1)的值为________．
8. 广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年5月产值达到2 500万元，预计7月产值将增至9 100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为x，可列出的方程为(　　)A．2 500(1＋x)2＝9 100B．2 500(1－x)2＝9 100C．2 500(1－2x)2＝9 100D．2 500(1＋2x)2＝9 100
(100＋2x)(60＋2x)＝7 700
9. “指尖上的非遗——细纹刻纸”，片纸可缩世界景，一刀能刻古今情．在一幅长100 cm，宽60 cm的细纹刻纸的四周外围镶嵌宽度相同的边框，制成的一幅长方形挂图，如图所示．如果要使挂图的面积是7 700 cm2，设边框的宽度为x cm，则列出的方程为_________________________．
【点拨】∵关于x的一元二次方程(a＋2)x2＋x＋a2－4＝0的一个根是x＝0，∴a2－4＝0且a＋2≠0，解得a＝2.
【点易错】本题容易忽视一元二次方程二次项系数不为0的约束条件．