初中数学沪科版（2024）八年级下册（2024）16.1 二次根式及其性质教学设计

这是一份初中数学沪科版（2024）八年级下册（2024）16.1 二次根式及其性质教学设计，共7页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程设计等内容，欢迎下载使用。
一、教学目标
1.经历二次根式概念的探索和形成过程，理解二次根式中被开方数a的实际意义，即a是非负数，以及的非负性；
2.理解二次根式的性质1、性质2，了解其区别与联系；
3.经历在具体情境中发现二次根式的过程，体会引入二次根式的必要性；通过观察、归纳、对比等探索二次根式的性质，能运用性质解决问题；
4.在二次根式性质的探索和形成过程中，发展分类讨论意识，了解从特殊到一般再到具体的思想，发展学数学用数学的意识.
二、教学重难点
重点：经历二次根式概念的探索和形成过程，理解二次根式中被开方数a的实际意义，即a是非负数，以及的非负性.
难点：理解二次根式中a的取值范围，理解二次根式的性质1、性质2，了解其区别与联系.
三、教学过程设计
环节一：情境导入
教师活动：通过提问引导学生回顾已学知识，并举例说明.
问题1：什么是一个数的平方根？如何表示？
预设答案：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根，也叫做二次方根.用表示.
16的平方根是 ；4
0的平方根是 ； 0
5的平方根是 ；
④ –7有平方根吗？ 没有
问题2：平方根的性质是什么？
预设答案：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根为0；负数没有平方根.
问题3：什么是一个数的算术平方根？如何表示？
预设答案：正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的平方根叫做这个数的算术平方根，用表示.
16的算术平方根是 ；4
0的算术平方根是 ； 0
5的算术平方根是 ；
问题4：算术平方根的性质是什么？
预设答案：一个正数有一个算术平方根；0的算术平方根为0；负数没有算术平方根.
设计意图：回顾已学的知识，为本节课要学的内容作准备，感受新旧知识之间的联系.
环节二：探究新知
教师活动：先让学生自主思考作答，再一起探究写出的结果的共同特征，引出二次根式的概念，并鼓励学生用自己的语言描述概念.
问题：用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点？
(1)如图①为正方形图片，若面积为2 m²，则边长为 m；
(2)如图②为长方形游泳池，若长是宽的2倍，面积为110 m2，则它的宽为 m.
(3)如图③为圆形花坛，花坛的面积为S(单位：m²) ，若用含S的式子表示半径r，则r应该表示为 m.
② ③
预设答案：，，.
上面问题中，得到的结果分别是：，，.
设计意图：由实际情境得出结果，初步体会二次根式与实际生活的联系，以及引入二次根式的必要性.
思考：(1)这些式子分别表示什么意义？
(2)这些式子有什么共同特征？
预设答案：(1)分别表示，，的算术平方根.
(2) ①都含有“”；②被开方数均为非负数.
归纳：二次根式的定义
我们把形如的式子叫做二次根式.符号 1叫做二次根号，a叫做被开方数.
两个必备特征：①外在特征：含有“”；②内在特征：被开方数a≥0.两个特征缺一不可.
设计意图：通过观察思考找出共同特征，得出二次根式的概念，培养观察归纳的能力.
练一练：下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？

解：(1)(5)(6)是二次根式，(2)(3)(4)不是二次根式.
如何判断一个是在是否为二次根式：
总结：对二次根式的进一步认识：
①从形式上看必须含有“”；
②二次根式实质上是非负数的算术平方根；
③a既可以是一个数，也可以是一个式子；
④a≥0，且；
⑤形如的式子也是二次根式.
思考：当a为何值时，下列根式有意义？
(1) (2)
分析：(1) a–2≥0→a≥2
(2) 2–3a≥0→
小结：二次根式有意义的条件：被开方数≥0.
设计意图：引导学生根据二次根式的概念得出二次根式有意义的条件.
教师活动：先让学生独立完成计算，然后分组观察思考并作答，最后得出结论.
由于是2的算术平方根，根据平方根的意义，应有.
类似地，计算：
预设答案：5； ；0.
观察等式的两边，你能得到什么结论？
二次根式的性质1：
，类似地，计算：
预设答案：；0.5；0.
又如，再计算：
预设答案：；0.5；6.
观察等式的两边，你能得到什么结论？
二次根式的性质2：
设计意图：通过练习巩固二次根式的性质，进一步了解从特殊到一般再到具体的处理数学问题的数学思想.
练一练：请同学们快速判断下列各题的对错：
解：(1)√；(2)×；(3)√；(4)√.
总结：如何区别与.
设计意图：通过观察、对比、归纳出二次根式的性质1、性质2的区别与联系，加深学生对性质的理解.
环节三：应用新知
例1：x为何值时，下列式子在实数范围内有意义？
(1) ； (2) .
解：(1)要使有意义，必须x+3≥0.
解这个不等式，得x≥–3.
即当x≥–3时，在实数范围内有意义.
(2) 因为x为任何实数时都有x2≥0.
所以当x为一切实数时，在实数范围内都有意义.
例2：计算：(1) ；(2) .
解：(1)
或.
(2)
【例2】先化简再求值：，其中x=4.
提示：①将式子先化成“”的形式；②利用二次根式的性质化简；③代值计算.
解：.
当x=4时，.
∴当x=4时，.
设计意图：让学生进一步加深对二次根式的性质的认识和理解，培养学生的应用意识.
环节四：课堂练习
1.下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
2.当x取何值时，下列式子在实数范围内有意义?
3.求下列各式的值：
4.求下列各式的值：
5.先化简，再求值：，其中x=–2.
答案：
1.(1) (1)(4)是二次根式；(2)(3)(5)(6)不是二次根式.
2.解：(1) x为任意实数时，x2+1＞0，
可得，在实数范围内都有意义.
(2) 由，且x–1≠0，可得，x–1＜0，即x＜1；
(3) 由x≥0，且x–1≥0 ，可得x≥1.
3.解：

4.解：
5.解：.
当x=–2时，.
∴当x=–2时，.
设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
环节五：总结归纳
设计意图：通过小结给出本节课的知识结构，让学生进一步熟悉本节课所学的知识.