初中苏科版（2024）11.3 二次根式的加减优质学案

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▉题型1 同类二次根式
同类二次根式的定义：
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
合并同类二次根式的方法：
只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
【知识拓展】同类二次根式
把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
（1）同类二次根式类似于整式中的同类项．
（2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同．
（3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．
1．下列各式中，与3是同类二次根式的是（ ）
A．9B．12C．15D．18
【答案】B
【解答】解：A、9=3，与3不是同类二次根式，不符合题意；
B、12=23，与3是同类二次根式，符合题意；
C、15与3不是同类二次根式，不符合题意；
D、18=32，与3不是同类二次根式，不符合题意．
故选：B．
2．下列各组二次根式中，是同类二次根式的为（ ）
A．3和9B．a和2a
C．12和13D．a2b和ab2
【答案】C
【解答】解：A、9=3，3与3不是同类二次根式，故此选项不符合题意；
B、a与2a不是同类二次根式，故此选项不符合题意；
C、12=23，13=33，所以12与13是同类二次根式，故此选项符合题意；
D、a2b=ab，ab2=ba，所以a2b和ab2不是同类二次根式，故此选项不符合题意；
故选：C．
3．下列二次根式，不能与3合并的是（ ）
A．48B．−27C．43D．18
【答案】D
【解答】解：48=16×3=43，
−27=−9×3=−33，
43=4×33×3=4×33×3=233，
18=9×2=32，
故选：D．
4．下列各组二次根式是同类二次根式的是（ ）
A．2与12B．1.5与6C．6与8D．38与3
【答案】B
【解答】解：A、12=23，2与23不是同类二次根式，故此选项不符合题意；
B、1.5=32=62，62与6是同类二次根式，故此选项符合题意；
C、8=22，6与22不是同类二次根式，故此选项不符合题意；
D、38=64，64与3不是同类二次根式，故此选项不符合题意；
故选：B．
5．若最简二次根式m与12可以合并，则m的值为（ ）
A．2B．3C．6D．10
【答案】B
【解答】解：∵最简二次根式m与12=23可以合并，
∴最简二次根式m与3是同类二次根式，
∴m＝3．
故选：B．
6．下列二次根式中，能与3合并的是（ ）
A．37B．8C．0.5D．27
【答案】D
【解答】解：37=217，它不能与3合并，则A不符合题意，
8=22，它不能与3合并，则B不符合题意，
0.5=12=22，它不能与3合并，则C不符合题意，
27=33，它能与3合并，则D符合题意，
故选：D．
7．如果最简二次根式b−a3b和2b−a+2是同类二次根式，那么a，b的值为（ ）
A．a＝1，b＝﹣2B．a＝﹣1，b＝1C．a＝2，b＝0D．a＝0，b＝2
【答案】D
【解答】解：根据题意得b﹣a＝2，3b＝2b﹣a+2，
解得a＝0，b＝2．
故选：D．
8．下列二次根式中，是同类二次根式的是（ ）
A．abc与a3cbB．a3b2与ab
C．2a与4a3D．ab与a3b2
【答案】A
【解答】解：A、abc=abcbc，a3cb=aabcb，所以abc与a3cb是同类二次根式，故此选项符合题意；
B、a3b2=aba，所以a3b2与ab不是同类二次根式，故此选不项符合题意；
C、4a3=2aa，所以4a3与2a不是同类二次根式，故此选项不符合题意；
D、ab=abb，a3b2=aba，所以ab与a3b2不是同类二次根式，故此选项不符合题意；
故选：A．
▉题型2 二次根式的加减法
（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
（2）步骤：
①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
③合并被开方数相同的二次根式．
（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：
二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
9．下列各式计算正确的是（ ）
A．13=3B．2+3=5
C．6÷2=3D．(23)2=12
【答案】D
【解答】解：A、13=33，故此选项不符合题意；
B、2与3不能合并，故此选项不符合题意；
C、6÷2=3，故此选项不符合题意；
D、(23)2=12，故此选项符合题意；
故选：D．
10．已知p=q+2n+q−2m+2026（m，n为两个连续奇数，0＜m＜n，q＝mn），则下列对p的表述中正确的是（ ）
A．总是奇数
B．总是偶数
C．总是无理数
D．可能是有理数可能是无理数
【答案】B
【解答】解：由条件可知n＝m+2，
∴p=m(m+2)+2(m+2)+m(m+2)−2m+2026
=(m+2)2+m2+2026
＝m+2+m+2026
＝2m+2028，
由条件可知p＝2m+2028为偶数，
故选：B．
11．若N−6=26，则N的值为 54 ．
【答案】54
【解答】解：∵N−6=26，
∴N=26+6=36=54，
即N＝54，
故答案为：54．
12．若324−6=a6−6=b6，则a+b的值为 11 ．
【答案】11．
【解答】解：∵324−6=3×26−6=66−6=56，
∴a＝6，b＝5，
∴a+b＝6+5＝11，
故答案为：11．
13．读材料：我们规定，若a+b＝﹣1，则称a与b是关于﹣1的平衡数，若4+23与m是关于﹣1的平衡数，则m＝ −5−23 ．
【答案】−5−23
【解答】解：由题意，得：m=−1−4−23=−5−23．
故答案为：−5−23．
14．综合与实践
【问题情境】我们知道两个数的和为2，这两个数的平均数为1，按照这样简单的数学知识，我们给出一个新的数学概念，请仔细阅读理解，并且解答一些问题，若a+b＝2，则a与b的平均数是1，我们称a与b是关于1的平衡数．例如，3与﹣1是关于1的平衡数．
【思考尝试】
（1）4与 ﹣2 是关于1的平衡数；5−2与 ﹣3+2 是关于1的平衡数；
【实践探究】
（2）m与n是关于1的平衡数，同时，m+3与2n﹣1也是关于1的平衡数，求m与n的值；
【拓展延伸】
（3）若(m+3)(1−3)=−5+33，试判断m+3与5−3是否是关于1的平衡数，并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由题意得，4+（﹣2）＝2，5−2+（﹣3+2）＝2，
∴4与﹣2是关于1的平衡数，5−2与﹣3+2是关于1的平衡数；
故答案为：﹣2，﹣3+2；
（2）∵m与n是关于1的平衡数，m+3与2n﹣1也是关于1的平衡数，
∴m+n=2m+3+2n−1=2，
解得m=4n=−2；
（3）不是，
∵（m+3）×（1−3）＝m−3m+3−3，
又∵（m+3）×（1−3）＝﹣5+33，
∴m−3m+3−3＝﹣5+33，
∴m−3m＝﹣2+23，
即 m（1−3）＝﹣2（1−3），
∴m＝﹣2，
∴（m+3）+（5−3）＝（﹣2+3）+（5−3）＝3，
∴（﹣2+3）与（5−3）不是关于1的平衡数．
15．计算：25−20+45．
【答案】35．
【解答】解：25−20+45
=25−25+35
=35．
16．计算：18+32−|1−2|．
【答案】62+1．
【解答】解：原式=32+42−(2−1)
=32+42−2+1
=62+1．
▉题型3 二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
17．下列计算正确的是（ ）
A．2+3=5B．32−2=3C．2×3=6D．10÷5=2
【答案】C
【解答】解：A、2与3不是同类二次根式，故A不符合题意．
B、原式＝22，故B不符合题意．
C、原式=6，故C符合题意．
D、原式=2，故D不符合题意．
故选：C．
18．下列计算中，正确的是（ ）
A．23+32=55B．33×32=36
C．27÷3=3D．22−2=2
【答案】C
【解答】解：A、23与32不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；
B、33×32=96≠36，不符合题意；
C、27÷3=3，符合题意；
D、22−2=2≠2，不符合题意．
故选：C．
19．老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（ ）
A．小明和小丽B．小丽和小红
C．小红和小亮D．小丽和小亮
【答案】B
【解答】解：因为(12+118)÷3=12÷3+118÷3，
所以小明没有出现错误．
因为12÷3+118÷3=4+118×13=4+154，
所以小丽出现错误．
因为4+16=2+1×66×6=2+66，
所以小红出现错误．
因为2+136=2+16=216，
所以小亮没有出现错误．
故选：B．
20．下列运算正确的是（ ）
A．2+3=5B．18=23C．2×3=5D．2÷12=2
【答案】D
【解答】解：A、2+3无法合并，故此选项错误；
B、18=32，故此选项错误；
C、2•3=6，故此选项错误；
D、原式＝2，正确．
故选：D．
21．下列运算中，结果正确的是（ ）
A．36=±6B．18−8=10
C．23×33=18D．24÷6=4
【答案】C
【解答】解：A、36=6，原计算错误，不符合题意；
B、18−8=32−22=2，原计算错误，不符合题意；
C、23×33=18，正确，符合题意；
D、24÷6=4=2，原计算错误，不符合题意，
故选：C．
22．下列计算正确的是（ ）
A．12=32B．2+3=5C．62=3D．(2)2=2
【答案】D
【解答】解：A．12=23，故本选项不符合题意；
B．2和3不能合并同类二次根式，故本选项不符合题意；
C．62≠3，故本选项不符合题意；
D．（2）2＝2，故本选项符合题意；
故选：D．
23．下列计算结果正确的是（ ）
A．(−5)2=−5B．2+5=7
C．2×4=22D．43−33=1
【答案】C
【解答】解：A．(−5)2=5，故此选项不合题意；
B．2+5无法合并，故此选项不合题意；
C．2×4=22，故此选项符合题意；
D．43−33=3，故此选项不合题意；
故选：C．
24．估算3×(20−5)的值在（ ）
A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间
【答案】C
【解答】解：原式＝3×（25−5）
＝35
=45，
∵36＜45＜49，
∴6＜45＜7，
即原式的值在6和7之间，
故选：C．
25．计算：
（1）27−312+48；
（2）(3+2)(3−2)+162．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）原式＝33−63+43
=3；
（2）原式＝3﹣2+162
＝1+22．题型1 同类二次根式
题型2 二次根式的加减法
题型3 二次根式的混合运算