初中数学冀教版（2024）七年级下册（2024）因式分解巩固练习

这是一份初中数学冀教版（2024）七年级下册（2024）因式分解巩固练习，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列多项式中，能进行因式分解的是( )
A. m2+nB. m2−m+1C. m2−nD. m2−2m+1
2.下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是( )
A. x2−4+4x=x+2x−2+4xB. x+3x−1=x2+2x−3
C. x2−6x=xx−6D. 6ab=2a•3b
3.下列等式从左到右变形，属于因式分解的是( )
A. a+ba−b=a2−b2B. x2−2x+1=(x−1)2
C. 2a−1=a2−1aD. x2+6x+8=xx+6+8
4.下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是( )
A. a(m+n)=am+anB. 10x2−5x=5x(2x−1)
C. a2−b2−c2=(a−b)(a+b)−c2D. x2−16+6x=(x+4)(x−4)+6x
5.下列从左到右的变形，是分解因式的是( )
A. (a+2)(a−2)=a2−4B. a2−a−2=a(a−1)−2
C. 2x+1=x(2+1x)D. 2a2−4a=2a(a−2)
6.下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是( )
A. x2−x−1=x(x−1)−1B. x+2=x(1+2x)
C. x2−4=(x+2)(x−2)D. x(x−1)=x2−x
7.下列各式，从左到右变形是因式分解的是( )
A. a(a+2b)=a2+2abB. x−1=x(1−1x)
C. x2+5x+4=x(x+5)+4D. 4−m2=(2+m)(2−m)
二、填空题：
8.一个多项式，把它分解因式后有一个因式为(x+1)，请你写出一个符合条件的多项式： ．
9.因式分解：把一个多项式化成了几个 的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
10.若把多项式x2+mx−6因式分解后得到(x−2)(x+3)，则m的值为 ．
11.若多项式ax2−b可因式分解为4x+34x−3，则a+b的值为________．
12.已知a2−13k可以分解为a+12a−12，则k的值为 ．
13.已知整式A=x(x+3)+5，整式B=ax−1.若A−B可以分解为(x−2)(x−3)，则a=_______ ．
14.甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为(x+2)(x+4)；乙看错了a，分解结果为(x+1)(x+9)，则因式分解的正确结果是____．
15.在当今“互联网+”时代，有一种用“因式分解法”生成密码的方法，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式x3+2x2−x−2因式分解的结果是(x−1)(x+1)(x+2).当取x=19时，各个因式的值是：x−1=18，x+1=20，x+2=21，于是就可以把“182021”作为一个六位数的密码．类似地，对于多项式x3+(m−3n)x2−nx−21，当取x=66时，得到密码596769，则m+n=________．
16.整式的学习中我们常常使用拼图的方法得出相应的等式，利用如图所示的拼图分解因式：a²+3ab+2b²=.
三、解答题：
17. 下列多项式能否分解因式？如果能，把它们分解因式：
(1) a2+8a+16；
(2) 9a2−3a+1；
(3) 4a2+4a−1；
(4)a2−ab+14b2．
18. 有3个整式：A：2a，B：a2，C：a+2．
(1)若P=B+A⋅C，请化简整式P；
(2)若“A+B+□C”可以因式分解为(a+2)(a−2)，求□内实数的值．
19. 小林和小王碰到了一个难题：将a4+4因式分解．
小林：这题既不能提取公因式，也不能用乘法公式，不能进行因式分解的吧．
小王：我们可以尝试先将它配上中间项，如a4+4b4=a4+4b4+4a2b2−4a2b2，使其前面三项变成一个完全平方式，得到(a2+2b2)2−4a2b2，再尝试用平方差公式因式分解．
(1)根据小王说的方法将a4+4因式分解．
(2)依照上述方法将m4−m2n2+16n4因式分解．
20. 仔细阅读下面例题：
已知二次三项式x2+5x+m有一个因式是x+2，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式x+n，得x2+5x+m=(x+2)(x+n)，
则x2+5x+m=x2+(n+2)x+2n，
∴n+2=5，m=2n，解得：n=3，m=6．
∴另一个因式为x+3，m的值为6．
依照以上方法解答下列问题：
(1)若二次三项式x2−x−12可分解为(x+3)(x−a)，则a= ______；
(2)若二次三项式2x2−bx−6可分解为(2x+3)(x−2)，则b= ______；
(3)已知二次三项式2x2−9x−k有一个因式是2x−1，求另一个因式以及k的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了因式分解的意义，熟练掌握公式的结构特点是解题的关键，根据多项式特点和公式的结构特征，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】
解：A.m2+n不能分解因式，故本选项错误；
B.m2−m+1不能分解因式，故本选项错误；
C.m2−n不能分解因式，故本选项错误；
D.m2−2m+1是完全平方式，能分解因式，故本选项正确．
故选D．
2.【答案】C
【解析】【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、等式从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B、等式从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C、等式从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D、等式从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：C．
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
3.【答案】B
【解析】解：A.(a+b)(a−b)=a2−b2，原变形是整式乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B.x2−2x+1=(x−1)2，把一个多项式化为几个整式的积的形式，原变形是因式分解，故此选项符合题意；
C.2a−1=a(2−1a)，等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
D.x2+6x+8=x(x+6)+8，等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
故选：B．
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．根据定义即可进行判断．
本题主要考查了因式分解的定义．解题的关键是掌握因式分解的定义，要注意因式分解是整式的变形，并且因式分解与整式的乘法互为逆运算．
4.【答案】B
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了分解因式的定义，能熟记分解因式的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，也叫分解因式．根据分解因式的定义逐个判断即可．
【解答】
解：A.从左到右的变形是多项式乘法，不是分解因式，故本选项不符合题意；
B.从左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；
C.等式的右边不是整式的积的形式，即从左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；
D.从左到右的变形属于分解因式，故本选项符合题意；
故选：D．
6.【答案】C
【解析】解：A、x2−x−1=x(x−1)−1，结果不是几个整式的积的形式，不是因式分解，该选项不符合题意；
B、x+2=x(1+2x)，结果含有分式，不是因式分解，该选项不符合题意；
C、x2−4=(x+2)(x−2)是因式分解，该选项符合题意；
D、x(x−1)=x2−x，结果不是几个整式的积的形式，是整式乘法运算，该选项不符合题意．
故选：C．
根据因式分解的定义，逐项判断即可．
本题主要考查因式分解的定义(把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做这个多项式的因式分解)，牢记因式分解的定义是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查因式分解的概念，正确理解因式分解的概念是解题的关键．根据因式分解的概念可直接进行排除选项．
【解答】
解：由因式分解是把一个多项式写成几个整式乘积的形式，则有：
A、从左到右是整式的乘法，故不符合题意；
B、等式的右边不符合因式是整式这一条件，故不符合题意；
C、等式右边不符合几个整式乘积的形式，故不符合题意；
D、是因式分解，故符合题意；
故选D．
8.【答案】x2+2x+1(答案不唯一)
9.【答案】整式
10.【答案】1
11.【答案】25
【解析】【分析】本题考查了因式分解与整式的乘法互为逆运算，也考查了平方差公式，根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，得出4x+34x−3=16x2−9，即可作答．
【详解】解：依题意，∵多项式ax2−b可因式分解为4x+34x−3，
∴4x+34x−3=16x2−9=ax2−b
∴a+b=16+9=25
故答案为：25
12.【答案】34
【解析】由题意，得a+12a−12=a2−14=a2−13k，所以13k=14，解得k=34．
13.【答案】8
【解析】解：∵A=x(x+3)+5=x2+3x+5．
∴A−B=x2+3x+5−(ax−1)=x2+(3−a)x+6．
∴x2+(3−a)x+6=(x−2)(x−3)．
∴x2+(3−a)x+6=x2−5x+6．
∴3−a=−5．
∴a=8．
故答案为：8．
本题主要考查整式的运算，因式分解的概念，熟练掌握因式分解的概念、整式的加减是解决本题的关键．
由A−B=x2+3x+5−(ax−1)=x2+(3−a)x+6，得x2+(3−a)x+6=(x−2)(x−3)，进而解决此题．
14.【答案】(x+3)2
【解析】【分析】
此题考查因式分解与多项式相乘是互逆运算，利用对应项系数相等是求解的关键；由题意分析a，b是相互独立的，互不影响，在因式分解中，b决定因式的常数项，a决定因式含x的一次项系数；利用多项式相乘的法则展开，再根据对应项系数相等即可求出a、b的值，再进行因式分解即可．
【解答】
解：分解因式x2+ax+b，甲看错了b，但a是正确的，
分解结果为(x+2)(x+4)=x2+6x+8，
∴a=6，
同理：乙看错了a，但b是正确的
分解结果为(x+1)(x+9)=x2+10x+9，
∴b=9，
∴x2+ax+b=x2+6x+9=(x+3)2．
故答案为(x+3)2．
15.【答案】97
【解析】解：∵当x=66时，密码为596769，且x3的系数是1，59−66=−7，67−66=1，69−66=3，
∴x3+(m−3n)x2−nx−21=(x−7)(x+1)(x+3)=x3−3x2−25x−21，
∴m−3n=−3，n=25，
解得m=72，n=25．
则m+n=97．
故答案为：97．
正难则反思想的介入，x的最高次项系数为1，所以分解后一定是x减某个数或x加上某个数的三个代数式相乘．
本题考查了因式分解的应用及自定义题型的做法，关键是对题干的理解及逆向思维的运用．
16.【答案】 (a+b)(a+2b)
17.【答案】【小题1】能，a ​2+8a+16=(a+4) ​2．
【小题2】不能．
【小题3】不能．
【小题4】能，a2−ab+14b2=(a−12b)2．

18.【答案】解：(1)∵A：2a，B：a2，C：a+2，
∴P=a2+2a(a+2)
=a2+2a2+4a
=3a2+4a；
(2)设□=x，
则A+B+□C
=2a+a2+x(a+2)
=a2+(2+x)a+2x，
∵(a+2)(a−2)=a2−4，
∴a2+(2+x)a+2x=a2−4，
∴2+x=0，2x=−4，
解得：x=−2，
即□内实数的值为−2．
【解析】(1)根据题意列式计算即可；
(2)根据因式分解的意义进行计算即可．
本题考查整式的混合运算，因式分解的意义，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
19.【答案】解：(1)a4+4
=a4+4a2+4−4a2
=(a2+2)2−4a2
=(a2+2+2a)(a2+2−2a)；
(2)m4−m2n2+16n4
=m4+8m2n2+16n4−9m2n2
=(m2+4n2)2−9m2n2
=(m2+4n2+3mn)(m2+4n2−3mn)．
【解析】(1)将a4+4写成a4+4a2+4−4a2，再利用分组分解法以及完全平方公式、平方差公式进行因式分解即可；
(2)将m4−m2n2+16n4写成m4+8m2n2+16n4−9m2n2，再根据分组分解法，完全平方公式、平方差公式进行因式分解即可．
本题考查分组分解法，公式法分解因式，掌握完全平方公式、平方差公式以及分组分解法的分组原则是正确解答的关键．
20.【答案】4 1
【解析】解：(1)∵(x+3)(x−a)=x2+(3−a)x−3a=x2−x−12，
∴3−a=−1，
解得：a=4；
故答案是：4；
(2)∵(2x+3)(x−2)=2x2−x−6=2x2−bx−6，
∴b=1．
故答案是：1．
(3)设另一个因式为(x+n)，得2x2−9x−k=(2x−1)(x+n)，
则2x2−9x−k=2x2+(2n−1)x−n，
∴2n−1=−9，−k=−n，
解得n=−4，k=−4，
∴另一个因式为x−4，k的值为−4．
(1)将(x+3)(x−a)展开，根据所给出的二次三项式即可求出a的值；
(2)(2x+3)(x−2)展开，可得出一次项的系数，继而即可求出b的值；
(3)设另一个因式为(x+n)，得2x2−9x−k=(2x−1)(x+n)，可知2n−1=−9，−k=−n，继而求出n和k的值及另一个因式．
本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．