初中数学乘法公式复习练习题

这是一份初中数学乘法公式复习练习题，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若x2−(k+1)x+9是一个完全平方式，则k的值一定为( )
A. 5B. 7或−5C. ±5D. 5或−7
2.下列各式中，能用平方差公式计算的是( )
A. (−a+b)(−a−b)B. (a+b)(a+b)
C. (−a−b)(a+b)D. (a−b)(2a+b)
3.设M=20252−2024×2026，N=20252−4050×2026+20262，则M与N的关系是( )
A. M>NB. M=NC. M0，b>0，(3a+3b+1)(3a+3b−1)=899，则a+b= ．
11.如图，以长方形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案，若四个正方形的周长之和为40，面积之和为26，则长方形ABCD的面积为______．
12.如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类若干张，如果用A、B、C三类卡片拼成一个边长为(2a+3b)的正方形，则需要C类卡片 张．
三、解答题：
13. 用简便方法计算：
(1)99×101；
(2)752+252−50×75．
14. 如图，4个完全相同的长方形围成一个正方形，图中阴影部分的面积可用两种方法表示，进而得到一个等式，
【基础应用】
(1)方法1：______，方法2：______；
(2)这个等式为______．
【解决问题】
(3)已知x+4y=10，xy=4，求x−4y的值．
【观察思考】
观察下列各式．
(x−1)(x+1)=x2−1
(x−1)(x2+x+1)=x3−1
(x−1)(x3+x2+x+1)=x4−1
…
【规律发现】
请根据你发现的规律完成下列各题：
(1)根据规律可得(x−1)(xn−1+⋯+x+1)= ______(其中n为正整数)；
【规律应用】
(2)计算：(5−1)×(550+549+548+⋯+52+5+1)；
(3)①计算：22024+22023+22022+⋯+2+1；
②计算：(−2)2024+(−2)2023+(−2)2022+⋯+(−2)+1．
【问题提出】
当多项式ax2+bx+c(a≠0)是某一个多项式的平方时，实数a，b，c是否存在一定的数量关系？
【问题探究】
当a=1，b=−2，c=1时，x2−2x+1=(x−1)2，发现：(−2)2=4×1×1；
当a=1，b=6，c=9时，x2+6x+9=(x+3)2，发现：62=4×1×9；
…
【问题解决】
(1)当ax2+bx+c=(mx+n)2(a≠0)时，猜想a，b，c之间的数量关系，并验证你的结论；
【拓展运用】
(2)若多项式4y2+4加上一个含字母y的单项式就是某个多项式的平方，求出所有满足条件的单项式；
(3)若多项式(n+1)x2−(2n+6)x+(n+6)是某一个多项式的平方，求出n的值．
阅读：在计算(x−1)(xn+xn−1+xn−2+⋯+x+1)的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般.如下所示：
[观察]
①(x−1)(x+1)=x2−1；
②(x−1)(x2+x+1)=x3−1；
③(x−1)(x3+x2+x+1)=x4−1；
⋯⋯
[归纳]由此可得：(x−1)(xn+xn−1+xn−2+⋯+x+1)= ______；
[应用]
(1)22024+22023+⋯+2+1= ______；
(2)计算：218−217+⋯−23+22−2+1．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：由题意得，x2−(k+1)x+9=x2±6x+9=(x±3)2，
∴k+1=±6，
解得：k=5或−7，
故选：D．
利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：A、(−a+b)(−a−b)=(−a)2−b2=a2−b2，能用平方差公式进行计算，选项符合题意；
B、(a+b)(a+b)=(a+b)2，不能用平方差公式进行计算，选项不符合题意；
C、(−a−b)(a+b)=−(a+b)2，不能用平方差公式进行计算，选项不符合题意；
D、(a−b)(2a+b)中a与2a的系数不同，不存在相同的项，不能用平方差公式计算，选项不符合题意．
故选：A．
利用平方差公式的特点，完全平方公式的特点对每个选项进行分析，即可得出答案．
本题考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式，完全平方公式的特点是关键．
3.【答案】B
【解析】解：M−N
=20252−2024×2026−(20252−4050×2026+20262)
=20252−(2025−1)(2025+1)−20252+4050×2026−20262
=20252−20252+1−20252+4050×2026−20262
=1−(20252−2×2025×2026+20262)
=1−(2025−2026)2
=1−(−1)2
=0，
∴M=N，
故选：B．
M−N=20252−2024×2026−(20252−4050×2026+20262)，由平方差公式和完全平方公式进行运算，即可求解．
本题考查了平方差公式和完全平方公式的应用，能熟练利用平方差公式和完全平方公式进行运算是解题的关键．
4.【答案】A
5.【答案】C
【解析】解：由题意知，a2+b2=(a+b)2−2ab=(−3)2−2×(−2)=13，
∴(|a|+|b|)2=a2+b2+2|ab|=13+2×|−2|=17，
∴|a|+|b|= 17(负值舍去)，
故选：C．
由题意知，a2+b2=(a+b)2−2ab=13，则(|a|+|b|)2=a2+b2+2|ab|，进而可求|a|+|b|的值．
本题考查了完全平方公式，完全平方公式的变形．熟练掌握完全平方公式，完全平方公式的变形是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了完全平方公式的应用，关键在于灵活思维．观察知可先把多项式转化为完全平方形式，再代入值求解．
【解答】
解：由题意可知a−b=−1，b−c=−1，a−c=−2，
原式=122a2+2b2+2c2−2ab−2bc−2ca
=12(a2−2ab+b2)+(b2−2bc+c2)+(a2−2ac+c2)
=12(a−b)2+(b−c)2+(a−c)2
=12(−1)2+(−1)2+(−2)2
=3．
故选D．
7.【答案】D
【解析】【分析】
利用正方形的面积公式和长方形的面积公式分别表示出阴影部分的面积，然后根据面积相等列出等式即可．
本题考查了平方差公式的几何背景，正确用两种方法表示阴影部分的面积是关键．
【解答】
解：第一个图形阴影部分的面积是a2−b2，
第二个图形的面积是(a+b)(a−b)．
则a2−b2=(a+b)(a−b)．
故选：D．
8.【答案】【小题1】2a
9b2
【小题2】5y
4x2
25y2
【小题3】1
3
【小题4】3x
10
9.【答案】a4−2a3b+6a2b2−4ab3+b4
【解析】解：∵(a+b)4=a4+2a3b+6a2b2+4ab3+b4，
∴(a−b)4
=[a+(−b)]4
=a4+2a3(−b)+6a2(−b)2+4a(−b)3+(−b)4
=a4−2a3b+6a2b2−4ab3+b4，
故答案为：a4−2a3b+6a2b2−4ab3+b4．
先变成加法，再根据(a+b)4=a4+2a3b+6a2b2+4ab3+b4求出即可．
本题考查了完全平方公式，能正确根据公式进行变形是解此题的关键．
10.【答案】10
11.【答案】6
【解析】解：设AB=a，AD=b，
∵四个正方形的周长之和为40，面积之和为26，
∴4a⋅2+4b⋅2=40，2a2+2b2=26，
解得：a+b=5，a2+b2=13，
∴2ab=(a+b)2−(a2+b2)=25−13=12，
∴ab=6，
∴长方形ABCD的面积为6，
故答案为：6．
设AB=a，AD=b，根据已知易得：4a⋅2+4b⋅2=40，2a2+2b2=26，从而可得：a+b=5，a2+b2=13，然后利用完全平方公式进行计算即可解答．
本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
12.【答案】12
【解析】【分析】
本题主要考查完全平方公式的运用，熟记公式是解题的关键．
由题意知边长为(2a+3b)的正方形的面积应该等于所有小卡片面积之和．
【解答】
解：边长为(2a+3b)的正方形的面积为(2a+3b)2=4a2+12ab+9b2，
A图形面积为a2，B图形面积为b2，C图形面积为ab，
则可知需要C类卡片12张．
故答案为：12．
13.【答案】解：(1)原式=(100−1)×(100+1)
=1002−1
=10000−1
=9999；
(2)原式=752−2×25×75+252
=(75−25)2
=502
=2500．
【解析】(1)99=100−1，101=100+1，所99×101可以写成100与1的和与差的积，利用平方差公式即可计算；
(2)把原式写成752−2×25×75+252，再利用完全平方公式计算即可．
本题主要考查了利用平方差公式和完全平方公式简便运算，构造出公式结构是解题的关键．
14.【答案】(a+b)2−(a−b)2，4ab； (a+b)2−(a−b)2=4ab； ±6．
【解析】(1)观察图形可知，
阴影部分的面积是边长为(a+b)的正方形面积减去边长为(a−b)的正方形面积，
也是4个长是a宽是b的长方形的面积，
∴方法1：(a+b)2−(a−b)2，方法2：4ab，
故答案为：(a+b)2−(a−b)2；4ab；
(2)由(1)得，这个等式为(a+b)2−(a−b)2=4ab，
故答案为：(a+b)2−(a−b)2=4ab；
(3)根据(2)的结论可得：
(x+4y)2−(x−4y)2=4⋅x⋅4y
∴102−(x−4y)2=16×4
∴(x−4y)2=36
∴x−4y=±6．
(1)阴影部分的面积是边长为(a+b)的正方形面积减去边长为(a−b)的正方形面积，
也是4个长是a宽是b的长方形的面积；
(2)由(1)求解即可；
(2)可利用上题得出的结论求值．
本题考查对完全平方公式几何意义的理解，解题关键是熟练掌握完全平方公式，并能进行应用．
15.【答案】xn−1；
551−1；
①22025−1；②22025+13．
【解析】解：(1)根据规律可得，(x−1)(xn−1+⋯+x+1)=xn−1；
故答案为：xn−1；
(2)(5−1)×(550+549+548+⋯+52+5+1)=551−1；
(3)①由(x−1)(xn−1+⋯+x+1)=xn−1可得：
(2−1)(22024+22023+22022+⋯+2+1)=22025−1，
∴22024+22023+22022+⋯+2+1=22025−1；
②由(x−1)(xn−1+⋯+x+1)=xn−1可得：
(−2)2024+(−2)2023+(−2)2022+⋯+(−2)+1
=1(−2)−1×[(−2)−1)][(−2)2024+(−2)2023+(−2)2022+⋯+(−2)+1]
=1(−2)−1×[(−2)2025−1]
=22025+13．
(1)观察所给式子的特点，等号右边x的指数比等号左边x的最高指数大1，然后写出即可；
(2)根据所给式子的规律，把x换为5即可求解；
(3)配成上述结构式子，利用总结规律直接写出结果；
本题考查了平方差公式，多项式乘多项式，数字的变化类问题，熟知以上知识是解题的关键．
16.【答案】b2=4ac，证明见解析；
y4、8y或−8y；
n=3．
【解析】解：(1)a，b，c之间的关系为b2=4ac，证明如下：
∵(mx+n)2=m2x2+2mnx+n2，
∴a=m2，b=2mn，c=n2，
∴b2=(2mn)2=4m2n2，4ac=4m2n2，
∴b2=4ac；
(2)①当单项式的次数为1时，此时a=4，c=4，
则b2=4ac=4×4×4=64，
解得：b=8或−8，
此时单项式为8y或−8y；
②当单项式的次数为4时，此时b=4，c=4，
则42=4×4a，
解得：a=1，
此时单项式为y4；
综上所述，满足条件的单项式有y4、8y或−8y；
(3)已知多项式(n+1)x2−(2n+6)x+(n+6)是某一个多项式的平方，
则a=(n+1)，b=−(2n+6)，c=(n+6)，
那么[−(2n+6)]2=4(n+1)(n+6)，
解得：n=3．
(1)由题干中的例子总结规律，然后进行证明即可；
(2)由题意，分单项式的次数为1或单项式的次数为4两种情况分类讨论，再根据得到的规律求得对应的单项式即可；
(3)根据总结的规律列得方程，解方程即可．
本题考查规律探索问题，完全平方公式，结合已知条件总结出规律是解题的关键．
17.【答案】22025−1； 219+13．
【解析】解：[归纳]由题意得：(x−1)(xn+xn−1+xn−2+⋯+x+1)=xn+1−1，
故答案为：xn+1−1；
[应用](1)原式=(2−1)(22024+22023+⋯+2+1)
=22025−1；
故答案为：22025−1；
(2)原式=(−2)18+(−2)17+⋯+(−2)3+(−2)2+(−2)+1
=−13×(−2−1)[(−2)18+(−2)17+⋯+(−2)3+(−2)2+(−2)+1]
=−13×[(−2)19−1]
=219+13．
(1)根据题干中的等式总结规律即可；
(2)根据规律将原式变形为(2−1)(22024+22023+⋯+2+1)，再计算即可；
(3)根据规律将原式变形为−13×(−2−1)[(−2)18+(−2)17+⋯+(−2)3+(−2)2+(−2)+1]，再计算即可．
本题考查整式乘法的规律探索问题，结合已知条件总结出规律是解题的关键．