冀教版（2024）七年级下册（2024）乘法公式第2课时教学设计

这是一份冀教版（2024）七年级下册（2024）乘法公式第2课时教学设计，共9页。教案主要包含了教材分析，学情分析，教学目标，教学重难点，教学过程，板书设计，教学反思等内容，欢迎下载使用。
第2课时

一、教材分析
完全平方公式是在学生已有的字母表示数、有理数运算以及平方差公式的基础上展开的．完全平方公式既是对前面所学知识的深化和发展，也是以后学习分式和根式运算、方程以及函数等知识的基础．

二、学情分析
学生在学习了多项式的乘法以后学习完全平方公式，这是教材编排遵循从一般到特殊的认知规律的典型范例. 完全平方公式的结构特点及公式中字母的含义对学生来讲非常抽象，是本节课的学习难点．本教学设计以感知特征，建构模型入手，由浅入深，由表象到本质，数形结合，层层剖析公式特征，建构公式模型，加深学生对公式的理解，增强学生应用公式解决问题的能力，从而达到较好的授课效果，也为今后学习其他乘法公式做好相关准备．

三、教学目标
1.理解并掌握完全平方公式的推理过程．
2.会用完全平方公式进行运算.
3.在运用公式解决实际问题的过程中，会运用化归思想，培养学生的数学建模能力与类比运用能力.

四、教学重难点
重点：理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点、语言表达、几何解释
难点：对公式中a，b的广泛含义的理解及正确运用

五、教学过程
情境导入
活动一：展示图片，引入新课．
一个老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们.来一个孩子老人就给孩子一块糖；来两个孩子，老人就给每个孩子两块糖...
(1)第一天，来了a个男孩子；老人一共给了a2块糖；
(2)第二天，来了b个女孩子；老人一共给了b2块糖；
(3)第三天，这些孩子都来了；老人一共给了(a+b)2块糖.
老人前两天加起来给的糖果多，还是第三天给的糖果多？
我们一起来探究吧！
设计意图：通过实际问题引入，增强趣味性，方便学生理解也更容易接受新的知识，培养学生观察和概括的能力.
一起探究
活动二：复习回顾．
如何计算多项式乘多项式？
设计意图：回顾旧知，通过复习多项式与多项式的乘法运算方法，为后边完全平方公式的学习做好铺垫.
活动三：探索完全平方公式
做一做：利用多项式与多项式相乘，计算(a+b)2.
师生活动：学生认真思考，举手作答.
(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2
做一做：请仿照上面的方法，计算(a−b)2
(a−b)2=(a−b)(a−b)=a2−ab−ab+b2=a2−2ab+b2
师生活动：学生板演，其他人独立完成计算．教师在学生正确解答之后继续提出问题：通过计算，你能发现什么规律？
学生认真思考，合作交流，尝试用自己的语言叙述发现.
等号前：都是两个数的和或者差的平方
等号后：结果一共有3项；第一项为a2，最后一项为b2，中间是这两个数乘积的两倍.
设计意图：学生利用已有的知识，通过计算，发现从特殊到一般的规律，鼓励学生大胆发表自己的见解.
师生活动：教师提出问题：你能试着总结你所发现的规律吗？学生认真思考，合作交流得出：
完全平方公式：
两数和(或差)的平方，等于它们的平方和加上(或减去)它们的积的2倍.
用字母表示为：(a+b)2=a2+2ab+b2；
(a−b)2=a2−2ab+b2.
设计意图：让学生经历概念的形成过程，培养自主学习、合作交流的能力．通过追加思考，让学生更深入的理解，培养学生严谨的学习态度.
活动四：完全平方公式的几何解释
思考：你能从几何的角度对完全平方公式进行解释吗？
师生活动：教师利用课件的动画进行演示，帮助学生理解和的完全平方公式.
追问：你能用类似的方法对差的完全平方公式进行解释吗？
我们来计算图中正方形①的面积
利用边长直接计算得：(a−b)(a−b)=(a−b)2
利用大正方形减去其他3个矩形得：
a2−2a−bb−b2=a2−2ab+b2
故 (a−b)2=a2−2ab+b2
差的完全平方公式： (a−b)2=a2−2ab+b2
师生活动：学生积极思考，先独立完成再小组讨论，汇报结果，教师点评
设计意图:由学生自己在计算操作的基础上，在教师的引导下，学生通过面积的计算，进一步验证上面的规律，使学生真正经历这一过程，以促进学生的观察能力和归纳概括能力的发展.
做一做：按要求填写下面的表格:
设计意图:通过简单的运算，强调完全平方公式的形式，在认清公式的结构特征的基础上，进一步剖析a、b的广泛含义，抓住了概念的核心，使学生在公式的运用中能得心应手，起到事半功倍的效果.
(a+b)2=a2+2ab+b2；
(a−b)2=a2−2ab+b2.
结构特征:
左边是两数和（差）的平方；
右边是两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
口诀：首平方，尾平方，两倍乘积放中央，加减看前方!
应用举例
例1 计算：
(1)(x+3y)2； (2)(13ab−cm)2 ； (3) (−4a−3b)2.
分析：在(1)中，可以把x看成a，3y看成b，即
(1)(x+3y)2＝x2+6xy+9y2.

(a+b)2=a2+2ab+b2.
解：(1)(x+3y)2＝x2+2x(3y)+(3y)2＝x2+6xy+9y2.
(2)(13ab−cm)2＝(13ab)2−2(13ab)(cm)+(cm)2 ＝19a2b2−23abcm+c2m2.
(3) (−4a−3b)2=(4a+3b)2=(4a)2+2(4a)(3b)+(3b)2 ＝16a2+24ab+9b2.
方法总结：
完全平方公式的运用：
先明确用哪个完全平方公式，再把计算的式子与完全平方公式对照， 明确哪个是a ， 哪个是b.
师生活动：学生思考后独立完成例题，3名学生板演，由学生判断板演是否正确．教师统计做题正确的人数，同时给予肯定或鼓励，小组加分．
设计意图：通过例1，让学生加深对完全平方公式的理解，正确掌握完全平方公式的运用方法.
例2. 运用完全平方公式简便计算：
(1) 1022 ； (2) 992.
解:(1) 1022
＝(100+2)2
＝1002+2×100×2+22
＝10000+400+4
＝10404
(2) 992
＝(100−1)2
＝1002−2×100×1+12
＝10000−200+1
＝9801
方法总结：平方差公式中的a与b可以是单项式，也可以是多项式，还可以是具体的数，运用公式做题时关键分清哪个数相当于公式中的a，哪个数相当于公式中的b，不能混淆.
师生活动：学生先独立思考再合作交流之后作答.
设计意图：借助此题让学生进一步体会完全平方公式中a，b的含义，它们可以是数，也可以是整式.
思考：你知道“情境”中的老人前两天加起来给的糖果多，还是第三天给的糖果多了吗？
师生活动：学生独立思考后举手作答.
解：第三天给的糖果多.理由如下：
(a+b)2=a2+2ab+b2>a2+b2.
设计意图：与情境中的问题呼应，让学生体会成功的喜悦感，并学会利用完全平方公式解决实际问题.
例3.在计算15×15，25×25，…，95×95时，小明是这样做的:
15×15=1×2×100+25=225，
25×25=2×3×100+25=625，
35×35=3×4×100+25=1225，
……
你认为小明的做法正确吗? 为什么?
解：小明的做法正确，理由如下：
用字母a代表一个正整数，则有如下规律：
(a×10+5)2=a(a+1)×100+25
左边＝(10a+5)2＝100a2+100a+25＝a(a+1)×100+25=右边.
故 (a×10+5)2=a(a+1)×100+25 .
所以小明的做法正确.
设计意图：通过例3让学生进一步体会完全平方公式的运用，并会利用完全平方公式解决一些问题，同时培养学生的团队合作意识以及解决问题的能力.
课堂练习
1.用完全平方公式计算:
(1)(1+a)2； (2)(2a−1)2； (3)(3a+b)2；
(4)(2n−14)2； (5)(2n−23m)2； (6)(−2x−13y)2
解：(1)(1+a)2=12+2a+a2=a2+2a+1；
(2)(2a−1)2=(2a)2−2(2a)+12=4a2−4a+1；
(3)(3a+b)2=(3a)2+2(3a)b+b2=9a2+6ab+b2；
(4)(2n−14)2=(2n)2−2(2n)×14+(14)2=4n2−n+116；
(5)(2n−23m)2=(2n)2−2(2n)×23m+(23m)2=4n2−83mn+49m2；
(6)(−2x−13y)2=(2x+13y)2=(2x)2+2(2x)(13y)+(13y)2=4x2+43xy+19y2.
2.用完全平方公式计算:
(1)2012； (2)8982
解：(1)2012
＝(200+1)2
＝2002+2×200×1+12
＝40000+400+1
＝40401
(2)8982
＝(900−2)2
＝9002−2×900×2+22
＝810000−3600+4
＝806404
3.下列各式的计算是否正确? 如果不正确，请改正过来.
(1)(a+b)2=a2+b2； (2)(a−b)2=a2−b2；
(3)(−a+b)2=a2+2ab+b2； (4)(−a−b)2=a2−2ab−b2.
解：(1)不正确．应为：(a+b)2=a2+2ab+b2．
(2)不正确．应为：(a−b)2=a2−2ab+b2．
(3)不正确．应为：(−a+b)2=a2−2ab+b2．
(4)不正确．应为：(−a−b)2=(a+b)2=a2+2ab+b2．
4.一个正方形，如果边长增加3m，它的面积就增加39m2，求这个正方形的边长.
解：设这个正方形的边长为xm，则
(x+3)2−x2=39
x2+6x+9−x2=39
6x=30
x=5
答：这个正方形的边长为5m.
设计意图：通过练习，学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握程度，调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高.
课堂总结
这节课你学到了哪些知识？说说你的体会.
设计意图：通过学生对本节课所学内容的归纳、总结，把零碎的知识点和认知过程形成了一个完整的知识体系.
课堂检测
1.计算：
(1) (14m−2n)2. (2) (2x+5)2. (3) (3y−4)2.
解：(1) (14m−2n)2=(14m)2−2(14m)(2n)+(2n)2=116m2−mn+4n2.
(2)(2x+5)2=(2x)2+2(2x)×5+52=4x2+20x+25.
(3)(3y−4)2=(3y)2−2(3y)×4+42=9y2−24y+16.
2.计算:
(1)(x+5)2−(x−5)2； (2)(a+b+c)(a+b−c) ；(3)(a+b−c)(a−b+c).
解:(1)(x+5)2−(x−5)2=(x2+10x+25)−(x2−10x+25)
=x2+10x+25−x2+10x−25=20x
(2)(a+b+c)(a+b−c)=[(a+b)+c][(a+b)−c)]=(a+b)2−c2=a2+2ab+b2−c2.
(3)(a+b−c)(a−b+c)=[a+(b−c)][a−(b−c)]=a2−(b−c)2=a2−(b2−2bc+c2)=a2−b2+2bc−c2.
3.三个圆的位置关系如图所示，m，n分别是两个较小的圆的直径，m+n是最大的圆的直径，求图中阴影部分的面积.
解：π(m+n2)2−π(m2)2−π(n2)2
=π4(m2+2mn+n2)−π4m2−π4n2
=π4m2+π2mn+π4n2−π4m2−π4n2
=π2mn.
4.观察下列算式:
1×2×3×4+1=5²，
2×3×4×5+1=11²，
3×4×5×6+1=19²，
︙
说明当n为自然数时，(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)+1=(n2+5n+5)2的正确性.
解：(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)+1
=[(n+1)(n+4)][(n+2)(n+3)]+1
=(n2+5n+4)(n2+5n+6)+1
=(n2+5n)2+10(n2+5n)+24+1
=(n2+5n)2+10(n2+5n)+25
=(n2+5n+5)2
所以，当n为自然数时，(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)+1=(n2+5n+5)2成立.

六、板书设计

七、教学反思
这一课主要研究完全平方公式的特征及应用，教学关键是引导学生正确理解完全平方公式的推导过程、几何背景，并能准确应用完全平方公式解决相关问题．本课的知识要点是经历探索完全平方公式的过程，了解公式的几何背景，会应用公式进行简单的计算，教学已基本达到了预期目标，能突出重点，兼顾难点．学生体会了数形结合及转化的数学思想，并知道猜想的结论必须要加以验证；授课思维流畅，知识发生发展过渡自然，学生容易得到一些结论但在老师的引导下又使问题的探讨得以不断深入，学生思考积极、气氛活跃，教学效果较好．采用以小组自主探究的学习方式，同时各小组展开激烈的比赛，促使学生的情感和兴趣始终保持最佳状态，进而提高课堂教学的有效性．

算式
与完全平方公式
中a对应的项
与完全平方公式
中b对应的项
利用公式得出
计算结果
(2x+3)2
(m+2n)2
(2b−c)2
(3m−2)2