数学冀教版（2024）因式分解同步练习题

这是一份数学冀教版（2024）因式分解同步练习题，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下面的多项式中，能因式分解的是( )
A. m2−n2B. m2−mn+nC. m2+n2D. m2−n
2.下列从左到右的变形属于因式分解的是( )
A. x2+2x+1=x(x+2)+1B. −7ab2c3=−abc⋅7bc2
C. m(m+3)=m2+3mD. 2x2−5x=x(2x−5)
3.若多形式x2+mx+n有因式(x−1)和(x+2)，则m，n的值分别为( )
A. 1，−2B. −1，2C. −1，−2D. 1，2
4.如果一个多项式因式分解的结果是(b3+2)·(2−b3)，那么这个多项式是( )
A. b6−4B. 4−b6C. b6+4D. −b6−4
5.若(2x)n−81=(4x2+9)(2x+3)(2x−3)，则n的值是( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
6.小明用四张如图所示的纸片拼成一个大长方形，并据此写出一个从左到右的变形属于因式分解的等式，则该等式是( )
A. x2+4x+4=(x+2)2B. x2−2x+1=(x−1)2
C. x2+2x+1=(x+1)2D. x2+3x+2=(x+2)(x+1)
二、填空题：
7.若多项式9a2−kab+16b2能因式分解为形如(x+y)2的形式，则k的值为______．
8.把一个多项式化成几个整式的______的形式，这种变形叫做因式分解.整式乘法是“积化和差”，整式乘法与因式分解为互逆变形，它们都是整式恒等变形.如：2(x+3)=2x+6属于______．
9.分解因式：
(1)因为(x−1)(x+2)=x2+x−2，所以x2+x−2= ．
(2)因为(m+5n)( )=m2−25n2，所以m2−25n2= ．
10.我们知道，有些几何图形能直观地反映某些恒等式的对应关系．
(1)如图1，反映的是a2+2ab+b2= ．
(2)如图2，反映的是a2−b2= ．
(3)如图3，反映的是2a2+3ab+b2= ．
三、解答题：
11. 下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？
(1)4x2−8x−1=4x(x−2)−1；
(2)ax2−bx2−x=x(ax−bx−1)；
(3)x2−y2−1=(x+y)(x−y)−1．
12. 阅读理解题：我们知道因式分解与整式乘法是互逆的关系，那么逆用乘法公式x+ax+b=x2+a+bx+ab，即x2+a+bx+ab=x+ax+b是否可以分解因式呢？当然可以，而且也很简单.如：
①x2+4x+3=x2+1+3x+1×3=x+1x+3．
②x2−4x−5=x2+1−5x+1×−5=x+1x−5．
请你仿照上述方法，把多项式x2−7x−18分解因式．
13.仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2−4x+m有一个因式是(x+3)，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式是(x+n)，得x2−4x+m=(x+3)(x+n)，
则x2−4x+m=x2+(n+3)x+3n，
∴n+3=−4m=3n，解得n=−7m=−21．
∴另一个因式是(x−7)，m的值是−21．
仿照上面的方法解答下面问题：
(1)已知二次三项式2x2+3x−k有一个因式是(2x−3)，求另一个因式以及k的值；
(2)若二次三项式ax2+3x−7有一个因式是(2x+1)，求a的值．
14.定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.例如：x2+x=x(x+1)，x2−1=(x+1)(x−1).教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2−2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法.配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题.例如：(1)分解因式：x2+2x−3，做法：x2+2x−3=(x2+2x+1)−4=(x+1)2−4=(x+1+2)(x+1−2)=(x+3)(x−1)；
(2)求代数式2x2+4x−6的最小值，2x2+4x−6=2(x2+2x−3)=2(x+1)2−8，可知当x=−1时，2x2+4x−6有最小值，最小值是−8，根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：x2−4x−5；
(2)当x为何值时，多项式x2−4x+3有最小值？并求出这个最小值．
(3)已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，求△ABC三边的长．
15.阅读材料：要将多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得到am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)，这时a(m+n)+b(m+n)中又有公因式(m+n)，于是可以提出(m+n)，即am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b)，我们称这种方法为分组法.请你利用分组法解答下列问题：
(1)解决问题：分解因式ac−bc+a2−b2．
(2)拓展运用：已知a，b，c是△ABC的三边，且满足a2−ab+c2−2ac+bc=0，请判断△ABC的形状并说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、m2−n2=(m+n)(m−n)，选项计算正确，符合题意；
B、多项式m2−nm+n不能分解因式，选项计算不正确，不符合题意；
C、多项式m2+n2，不能分解因式，选项计算不正确，不符合题意；
D、多项式m2−n不能分解因式，选项计算不正确，不符合题意．
故选：A．
因式分解是把一个多项式化成几个整式乘积的形式．根据因式分解的定义可得答案．
本题考查了因式分解的意义，因式分解−十字相乘法，掌握其定义及方法是关键．
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查因式分解的意义，熟练掌握因式分解的定义，能够根据所给形式判断是否符合因式分解的变形是解题的关键．
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．由定义判断即可．
【解答】
解：A.x2+2x+1=(x+1)2，故A不符合题意；
B.−7ab2c3是单项式，不存在因式分解，故B不符合题意；
C.m(m+3)=m2+3m是单项式乘多项式，故C不符合题意；
D.2x2−5x=x(2x−5)是因式分解，故D符合题意；
故选D．
3.【答案】A
【解析】解：(x−1)(x+2)=x2+x−2，
故m，n的值分别为1，−2．
故选：A．
根据多项式乘多项式的运算法则解答即可．
本题考查了因式分解的定义以及利用十字相乘法因式分解，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查因式分解，多项式乘多项式，将因式分解的结果进行多项式乘多项式的运算即可得到结论．
【解答】
解：∵(b3+2)·(2−b3)
=2b3−b6+4−2b3
=4−b6
∴所求多项式是4−b6．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了因式分解的定义以及平方差公式.运用平方差公式对(2x+3)(2x−3)运算得4x2−9，同样运用平方差公式进行下一步运算，比较等式两边可得n的值．
【解答】
解：4x2+92x+32x−3
=4x2+94x2−9
=16x4−81
=2x4−81，
即2xn−81=2x4−81，
∴n=4．
故选B．
6.【答案】D
【解析】解：∵x2+2x+x+2=(x+1)(x+2)，
∴x2+3x+2=(x+2)(x+1)，
故选：D．
用两种方法表示矩形的面积即可．
本题考查了因式分解，利用矩形面积是解题的关键．
7.【答案】±24
【解析】解：∵9a2−kab+16b2能因式分解为(x+y)2的形式，
∴9a2−kab+16b2=(3a)2−kab+(4b)2是一个完全平方式，
∴−kab=±2⋅3a⋅4b，
∴k=±24，
故答案为：±24．
根据题意可得9a2−kab+16b2能因式分解为(x+y)2的形式，再由两平方项分别为(3a)2、(4b)2可得一次项为±2⋅3a⋅4b，据此可得答案．
本题主要考查了完全平方式，注意正确计算．
8.【答案】积 整式乘法
【解析】解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也称分解因式；
其中整式乘法是将积化为多项式，整式乘法与因式分解为互逆变形，它们都是整式的恒等变形；
如：2(x+3)=2x+6是将整式的积化为多项式，因此，该式属于整式乘法，
故答案为：积；整式乘法．
根据因式分解的意义即可求解．
本题考查了因式分解的意义，解题的关键是正确理解掌握因式分解的意义．
9.【答案】【小题1】x−1x+2
【小题2】m−5n
m+5nm−5n
10.【答案】【小题1】(a+b)2
【小题2】a+ba−b
【小题3】a+b2a+b
11.【答案】解：(1)从左到右的变形不是把多项式化成整式积的形式，不属于因式分解；
(2)从左到右的变形属于因式分解，符合因式分解的定义，属于因式分解；
(3)从左到右的变形不是把多项式化成整式积的形式，不属于因式分解．
【解析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
12.【答案】解：x2−7x−18=x2+(−9+2)x+(−9)×2=(x−9)(x+2)．
【解析】本题主要考查因式分解的意义，注意常数项的分解结果与一次项系数的关系是解决问题的关键，属于基础题．
把−18分成2×(−9)，2+(−9)=−7是一次项系数，由此类比分解得出答案即可．
13.【答案】解：(1)设另一个因式为(x+b)，
则2x2+3x−k=2x2+(2b−3)x−3b，
那么2b−3=3k=3b，
解得：b=3k=9，
则另一个因式为(x+3)，k=9；
(2)设另一个因式为(px−7)，
则ax2+3x−7=2px2+(p−14)x−7，
那么2p=ap−14=3，
解得：p=17a=34，
即a的值为34．
【解析】(1)设另一个因式为(x+b)，将其与(2x−3)相乘并展开后得到方程组，解方程组即可；
(2)设另一个因式为(px−7)，将其与(2x+1)相乘并展开后得到方程组，解方程组即可．
本题考查因式分解的意义及十字相乘法因式分解，设得正确的因式是解题的关键．
14.【答案】解：(1)原式=x2−4x+4−9
=(x−2)2−9
=(x−2+3)(x−2−3)
=(x+1)(x−5)；
(2)x2−4x+3
=x2−4x+4−1
=(x−2)2−1，
∴当x=2时x2−4x+3有最小值，最小值为−1；
(3)∵a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，
∴a2+b2+c2+50−6a−8b−10c=0，
(a2−6a+9)+(b2−8b+16)+(c2−10c+25)=0，
(a−3)2+(b−4)2+(c−5)2=0，
∵(a−3)2≥0，(b−4)2≥0，(c−5)2≥0，
∴a−3=0，b−4=0，c−5=0，
解得：a=3，b=4，c=5．
【解析】(1)先把所给多项式中的常数项−5写成+4−9的形式，然后利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可；
(2)利用配方法把多项式x2−4x+3写成(x−2)2−1 的形式，从而求出x和多项式的最小值即可；
(3)把等式的右边部分移到等号左边，然后利用分组分解法把等式左边写成三个完全平方式的和，再根据偶次方的非负性，列出关于a，b，c的方程，解方程即可．
本题主要考查了分解因式及其应用，解题关键是熟练掌握常见的几种分解因式的方法和利用分组分解法分解因式．
15.【答案】解：(1)原式=(ac−bc)+(a2−b2)
=c(a−b)+(a+b)(a−b)
=(a−b)(a+b+c)；
(2)△ABC为等腰三角形，理由如下：
∵a，b，c分别为△ABC的三边，
∴b+c>a，即a−b−c