9.1 因式分解-课件-2025-2026学年2024冀教版数学七年级下册

9.1 因式分解教学课件幻灯片分页内容（冀教版七年级下册数学）幻灯片 1：封面标题：9.1 因式分解学科：数学年级：七年级下册版本：冀教版核心目标：理解因式分解定义，掌握提公因式法与公式法，能规范进行因式分解幻灯片 2：学习目标理解因式分解的定义（将多项式化为几个整式的积的形式），明确因式分解与整式乘法的逆关系，能区分因式分解与整式乘法。掌握提公因式法（找公因式、提取公因式），能准确找出多项式各项的公因式，熟练提取公因式进行因式分解。掌握公式法（平方差公式、完全平方公式的逆用），能识别符合公式结构的多项式，运用公式进行因式分解。能综合运用提公因式法与公式法分解因式，确保因式分解彻底（分解到不能再分解为止），提升代数变形能力。幻灯片 3：复习回顾与情境引入1. 复习旧知（衔接整式乘法）提问 1：我们学过哪些整式乘法？请举例说明（如单项式 × 多项式：\(2x(x+3)=2x^2+6x\)；多项式 × 多项式：\((x+2)(x-2)=x^2-4\)；完全平方公式：\((x-3)^2=x^2-6x+9\)）。计算练习（整式乘法）：\(3a(2a-5) = 6a^2 - 15a\)；\((2m+n)(2m-n) = 4m^2 - n^2\)；\((y+4)^2 = y^2 + 8y + 16\)。思考：若已知上述乘法的结果（如\(6a^2 - 15a\)、\(4m^2 - n^2\)），能否反过来求出原来的因式（如\(3a\)与\(2a-5\)）？这种 “将多项式化为整式积” 的过程，就是本节课要学习的 “因式分解”。2. 情境引入（实际问题中的因式分解）问题：一个长方形的面积为\(x^2 - 4\)，已知它的长为\(x+2\)，求它的宽（面积 = 长 × 宽，宽 = 面积 ÷ 长）。分析：宽 = \((x^2 - 4)÷(x+2)\)，若能将\(x^2 - 4\)化为\((x+2)(x-2)\)（即因式分解），则宽 = \((x+2)(x-2)÷(x+2) = x-2\)，简化除法运算；结论：因式分解可将复杂多项式转化为整式积，便于计算、求值等，体现 “化繁为简” 的数学思想。幻灯片 4：因式分解的定义与逆关系1. 因式分解的定义定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。关键词解析：“多项式”：因式分解的对象是多项式（如\(6a^2 - 15a\)、\(x^2 - 4\)），不是单项式；“整式的积”：结果必须是几个整式相乘的形式（如\(3a(2a-5)\)、\((x+2)(x-2)\)），不能含加减运算；“整式”：因式必须是整式（如单项式、多项式），不能是分式（如\(\frac{1}{x+1}\)不是整式，不能作为因式）。2. 因式分解与整式乘法的逆关系逆关系示例：整式乘法：\(3a(2a-5) \xrightarrow{\text{展开}} 6a^2 - 15a\)（积→和差）；因式分解：\(6a^2 - 15a \xrightarrow{\text{分解}} 3a(2a-5)\)（和差→积）。符号表示：若整式乘法为\(A×B = C\)（\(A\)、\(B\)为整式，\(C\)为多项式），则因式分解为\(C = A×B\)。判断方法：要判断一个变形是否为因式分解，只需看其是否为 “和差→积” 的过程，且因式均为整式。3. 因式分解的判断练习例题 1：判断下列变形是否为因式分解：\(x^2 + 5x = x(x+5)\)（是，多项式→整式积）；\(x^2 - 4 + 3x = (x+2)(x-2) + 3x\)（否，结果含加减运算，不是积的形式）；\(\frac{1}{x^2} - 1 = (\frac{1}{x}+1)(\frac{1}{x}-1)\)（否，因式\(\frac{1}{x}\)是分式，不是整式）；\(y^2 - 6y + 9 = (y-3)^2\)（是，多项式→整式积）。幻灯片 5：提公因式法（基础分解方法）1. 公因式的定义与找法公因式定义：多项式各项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式（如\(6a^2 - 15a\)中，各项都含公因式\(3a\)）。公因式找法（三步骤）：找系数的最大公约数：取各项系数的最大公约数（如\(6\)与\(-15\)的最大公约数为\(3\)）；找相同字母的最低次幂：取各项中相同字母的最低次幂（如\(a^2\)与\(a\)的相同字母为\(a\)，最低次幂为\(a^1 = a\)）；组合公因式：将系数的最大公约数与相同字母的最低次幂相乘，得到公因式（如\(3×a = 3a\)）。示例：找多项式\(12x^3y - 8x^2y^2 + 4x^2y\)的公因式；系数：\(12\)、\(-8\)、\(4\)的最大公约数为\(4\)；相同字母：\(x\)（最低次幂\(x^2\)）、\(y\)（最低次幂\(y^1\)）；公因式：\(4×x^2×y = 4x^2y\)。2. 提公因式法的步骤提公因式法定义：如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提取出来，将多项式化为公因式与另一个多项式的积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法。步骤（以\(6a^2 - 15a\)为例）：找公因式：公因式为\(3a\)；提取公因式：将多项式各项除以公因式，得到另一个因式：\(6a^2 ÷ 3a = 2a\)；\(-15a ÷ 3a = -5\)；写结果：多项式 = 公因式 × 另一个因式，即\(6a^2 - 15a = 3a(2a - 5)\)。3. 提公因式法的应用例题 2：用提公因式法分解下列因式：\(12x^3y - 8x^2y^2 + 4x^2y\)；解：公因式\(4x^2y\)，提取后得\(4x^2y(3x - 2y + 1)\)（注意：最后一项\(4x^2y ÷ 4x^2y = 1\)，不能漏写 “+1”）；\(-a^2b + ab^2 - 3ab\)；解：公因式为\(-ab\)（提取负公因式，使括号内首项为正），提取后得\(-ab(a - b + 3)\)；\(3(x - y) - 2(x - y)^2\)；解：将\((x - y)\)看作整体（公因式为\((x - y)\)），提取后得\((x - y)[3 - 2(x - y)] = (x - y)(3 - 2x + 2y)\)。幻灯片 6：公式法（平方差公式与完全平方公式逆用）1. 平方差公式法（逆用平方差公式）逆用公式：由整式乘法\((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\)，得因式分解公式：\(a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)\)。适用条件：多项式为 “两项差”，且两项均为完全平方项（如\(x^2 - 4 = x^2 - 2^2\)、\(4m^2 - n^2 = (2m)^2 - n^2\)）。例题 3：用平方差公式分解下列因式：\(x^2 - 16\)；解：\(x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x + 4)(x - 4)\)；\(25a^2 - 9b^2\)；解：\(25a^2 - 9b^2 = (5a)^2 - (3b)^2 = (5a + 3b)(5a - 3b)\)；\((x + 2)^2 - (y - 1)^2\)；解：将\((x + 2)\)、\((y - 1)\)看作整体，得\([(x + 2) + (y - 1)][(x + 2) - (y - 1)] = (x + y + 1)(x - y + 3)\)。2. 完全平方公式法（逆用完全平方公式）逆用公式：由整式乘法\((a±b)^2 = a^2 ± 2ab + b^2\)，得因式分解公式：\(a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\)（完全平方和）；\(a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2\)（完全平方差）。适用条件：多项式为 “三项式”，且满足 “首平方、尾平方、积的 2 倍放中央”（如\(x^2 - 6x + 9 = x^2 - 2×x×3 + 3^2\)、\(4m^2 + 4m + 1 = (2m)^2 + 2×2m×1 + 1^2\)）。例题 4：用完全平方公式分解下列因式：\(x^2 - 10x + 25\)；解：\(x^2 - 10x + 25 = x^2 - 2×x×5 + 5^2 = (x - 5)^2\)；\(4m^2 + 12mn + 9n^2\)；解：\(4m^2 + 12mn + 9n^2 = (2m)^2 + 2×2m×3n + (3n)^2 = (2m + 3n)^2\)；\(-2a^2 + 4ab - 2b^2\)；解：先提公因式\(-2\)，再用完全平方公式：\(-2(a^2 - 2ab + b^2) = -2(a - b)^2\)。幻灯片 7：因式分解的综合应用与彻底性要求1. 提公因式法与公式法的综合应用原则：先提公因式，再用公式法（若符合公式结构），确保因式分解彻底。例题 5：分解因式\(3x^3 - 12x\)；解：先提公因式\(3x\)：\(3x(x^2 - 4)\)；再用平方差公式分解\(x^2 - 4\)：\(3x(x + 2)(x - 2)\)（此时不能再分解，分解彻底）。例题 6：分解因式\(2a^3b - 8a^2b^2 + 8ab^3\)；解：先提公因式\(2ab\)：\(2ab(a^2 - 4ab + 4b^2)\)；再用完全平方公式分解\(a^2 - 4ab + 4b^2\)：\(2ab(a - 2b)^2\)（分解彻底）。2. 因式分解彻底性要求彻底性定义：因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止（即在指定数域内，因式为 “既约因式”，初中阶段通常在有理数域内分解）。常见错误：不彻底：\(x^4 - 16 = (x^2 + 4)(x^2 - 4)\)（错误，\(x^2 - 4\)还能分解为\((x+2)(x-2)\)，正确应为\((x^2 + 4)(x+2)(x-2)\)）；漏提公因式：\(2x^2 - 8 = x^2 - 4 = (x+2)(x-2)\)（错误，先提公因式\(2\)，正确应为\(2(x^2 - 4) = 2(x+2)(x-2)\)）。幻灯片 8：易错点深度解析易错点 1：提公因式时漏写 “1” 或 “-1”错误示例：\(4x^2y - 2x^2y^2 + 2x^2y = 2x^2y(2 - y)\)（漏写最后一项除以公因式的结果 “+1”，正确应为\(2x^2y(2 - y + 1) = 2x^2y(3 - y)\)）；规避方法：提取公因式后，括号内的项数与原多项式项数一致，用 “公因式 × 括号内多项式 = 原多项式” 验证，确保无遗漏。易错点 2：平方差公式应用时忽略 “两项差” 条件错误示例：\(x^2 + 4 = (x + 2)(x - 2)\)（\(x^2 + 4\)是 “两项和”，不符合平方差公式，不能分解，初中阶段为既约因式）；规避方法：应用平方差公式前，先判断多项式是否为 “两项差”，且两项均为完全平方项，“两项和” 不能用平方差公式分解。易错点 3：完全平方公式应用时符号错误错误示例：\(x^2 - 6x + 9 = (x + 3)^2\)（中间项为 “-6x”，应为完全平方差，正确应为\((x - 3)^2\)）；规避方法：牢记完全平方公式中 “积的 2 倍符号” 与 “尾项符号” 一致，即\(a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2\)，(a^2 + 2ab + b^2 = (a + b冀教版2024教材数学七年级下册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1.了解多项式的因式分解的定义,知道因式分解与整式乘法之间的联系与区别.2.能判断因式分解的正误，了解因式分解的过程，会进行简单的因式分解.质因数分解：举例：要把12进行质因数分解，下列正确的是（ ） A. B. C. D. 把一个合数化为几个质数的积的形式，这种变形叫质因数分解,也叫分解质因数. 必须是积得形式没彻底分解完成这是整数的乘法D整数的乘法：质因数分解：互逆（运算过程正好相反）思考：观察下面几个多项式的乘法算式:ma＋mb=m(a＋b)a2－b2=(a＋b)(a－b)a2＋2ab＋b2=(a＋b)2a2－2ab＋b2=(a－b)2 多项式乘法是把几个整式的乘积化为一个多项式.反过来，你能将一个多项式分解成几个整式乘积的形式吗?数式 小明的方法20112－2011×2010=4 044 121－4 042 110=2 011.372－362=1 369－1 296=73.知识点1 因式分解 (1)小明用的什么方法?(2)小亮的第一个算式用了什么方法?(3)小亮的第二个算式用了什么方法?根据乘方的意义直接进行计算.乘法对加法的分配律.平方差公式.思考：知识点1 因式分解 可以.x2-2x=x(x-2)，x2-y2=(x+y)(x-y)，x2+2x+1=(x+1)2.知识点1 因式分解像这样，把一个多项式化成几个整式乘积的形式，叫作多项式的因式分解，也叫作将多项式分解因式.其中每个整式都叫作这个多项式的因式. 例 1 下列各式中，从等号左边到右边的变形，哪些是因式分解?(1)x2－4=(x＋2)(x－2);(2)x2＋4x＋4=(x＋2)2;(3)7m＋14n=7(m＋2n);(4)x(y＋1)=xy＋x.(1)(2)(3)是，(4)不是.知识点1 因式分解 例 2 下列对多项式的变形，哪些是因式分解?是因式分解的，指出它的各因式.(1)x2－x=x(x－1);(2)10x＋5y=5(2x＋y);(3)a2－1=(a＋1)(a－1);(4)x2－2x＋1=(x－1)2.(1)是，因式为x，x-1;(2)是，因式为5，2x+y;(3)是，因式为a+1，a-1;(4)是，因式为x-1，x-1.知识点1 因式分解 根据上面的算式填空.(1)ma＋mb－m=　　　　　　　　; (2)m2－16=　　　　　　　　; (3)y2－6y＋9=　　　　　　　　. 因式分解与整式的乘法有什么关系?ma＋mb－mm2－16y2－6y＋9m(a＋b－1)(m＋4)(m－4)(y－3)2 知识点2 因式分解与整式乘法的关系因式分解多项式乘法互为相反的变形过程（多项式）（几个整式乘积） 多项式的因式分解与乘法运算是不同的.多项式的因式分解是把一个多项式化成几个整式的乘积，而多项式的乘法运算是把几个整式的乘积化成一个多项式.可见，多项式的因式分解与多项式的乘法运算是相反的变形过程，如图所示. x2-y2（x+y）(x-y) 知识点2 因式分解与整式乘法的关系例 3 对下列各式所进行的因式分解正确吗？如果不正确，请改正过来.解：(1)，(3)正确，(2)，(4)不正确， (2) 改正为：－10x－10=－10(x+1)； (4) 改正为： m2 +4m+4 = (m+2)2. 知识点2 因式分解与整式乘法的关系例4 请将下列等式左边多项式的另一个因式填在括号里：xm+n9.2 提公因式法9.3 公式法+2 知识点2 因式分解与整式乘法的关系 CA. 都是因式分解B. 都是乘法运算C. ①是因式分解，②是乘法运算D. ①是乘法运算，②是因式分解 返回2. [2024邯郸期末] 下列各式从左到右的变形，是因式分解且正确的是( )D    返回   返回 C   返回6. 根据如图所示的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：___________________________.  返回   返回 根据以上阅读材料，回答下列问题：       返回因式分解把一个多项式化成几个整式乘积的形式，叫作多项式的因式分解，也叫作将多项式分解因式.其中每个整式都叫作这个多项式的因式. 定义整式的乘法互为相反 的变形过程必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！