9.3.2完全平方公式-课件-2025-2026学年2024冀教版数学七年级下册

9.3.2 用完全平方公式因式分解教学课件幻灯片分页内容（冀教版七年级下册数学）幻灯片 1：封面标题：9.3.2 用完全平方公式因式分解学科：数学年级：七年级下册版本：冀教版核心目标：理解完全平方公式逆用逻辑，掌握公式结构与适用条件，熟练用公式分解因式幻灯片 2：学习目标回顾完全平方公式的整式乘法形式，理解其逆用就是因式分解，明确因式分解中完全平方公式的两种结构（\(a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\)、\(a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2\)）。能准确识别符合完全平方公式结构的多项式（三项式、含 “首平方”“尾平方”“积的 2 倍”），熟练确定公式中的 “\(a\)” 和 “\(b\)”（可表示数、字母、单项式或多项式整体）。能运用完全平方公式分解各类符合条件的多项式，包括含数字系数、多字母、多项式整体及需先提公因式的多项式，确保分解彻底。通过对比辨析与易错点分析，规避公式误用（如混淆符号、漏提公因式），提升因式分解的准确性与规范性。幻灯片 3：复习回顾与情境引入1. 复习旧知（衔接公式与因式分解基础）提问 1：整式乘法中的完全平方公式有哪两个？（\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)、\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)）提问 2：因式分解与整式乘法是何种关系？（互为逆运算，完全平方公式的逆用即为对应的因式分解）推导公式：由完全平方乘法公式逆用，可得因式分解的两个公式：完全平方和公式：\(a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\)；完全平方差公式：\(a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2\)。小练习（判断是否符合完全平方结构）：\(x^2 + 6x + 9\)（是，\(x^2 + 2×x×3 + 3^2\)，含首平方、尾平方、积的 2 倍）；\(y^2 - 4y - 4\)（否，常数项为负，不符合 “尾平方恒正”）；\(4a^2 + 12ab + 9b^2\)（是，\((2a)^2 + 2×2a×3b + (3b)^2\)）。2. 情境引入（公式的实际意义）问题：一个正方形花坛的边长为\((x + 2)\)米，现将其边长增加\(3\)米，扩建后仍为正方形，求扩建后花坛的面积（用多项式表示）；若已知扩建后面积为\(x^2 + 10x + 25\)平方米，能否反推出扩建后正方形的边长？分析：扩建后边长为\((x + 2 + 3) = x + 5\)，面积为\((x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25\)；反之，若已知面积\(x^2 + 10x + 25\)，通过完全平方公式因式分解可得到边长\(x + 5\)；结论：完全平方公式因式分解可将 “完全平方式多项式” 转化为 “单个整式的平方”，便于解决几何图形的边长、面积等实际问题，体现公式的实用性。幻灯片 4：完全平方公式因式分解的结构特征与适用条件1. 公式结构特征（核心识别点，口诀：首平方、尾平方、积的 2 倍放中央，符号看前方）公式类型结构特征示例（\(4m^2 - 12mn + 9n^2\)）完全平方和\(a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\)① 项数：三项；② 首尾项：均为完全平方项（恒正），分别为\(a^2\)和\(b^2\)；③ 中间项：\(+2ab\)（符号为正，系数是\(2ab\)的绝对值）首尾项：\(4m^2 = (2m)^2\)（\(a = 2m\)）、\(9n^2 = (3n)^2\)（\(b = 3n\)）；中间项：\(-12mn = -2×2m×3n\)（符号为负，符合完全平方差）完全平方差\(a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2\)① 项数：三项；② 首尾项：均为完全平方项（恒正），分别为\(a^2\)和\(b^2\)；③ 中间项：\(-2ab\)（符号为负，系数是\(2ab\)的绝对值）分解结果：\((2m - 3n)^2\)（中间项符号为负，对应 “\(-b\)”）2. 适用条件（判断能否用公式的关键）一个多项式能用完全平方公式因式分解，必须同时满足以下四个条件：项数为三项：多项式只能有三项（含符号，如\(-x^2 + 4x - 4\)可整理为\(-(x^2 - 4x + 4)\)，仍为三项）；首尾两项为完全平方项：首尾两项必须是某个整式的平方，且符号为正（平方项恒非负，若首项为负，可先提取负公因式）；中间项为 “积的 2 倍”：中间项的绝对值等于首尾两项底数乘积的 2 倍（即\(|中间项| = 2×|a|×|b|\)）；中间项符号与公式类型匹配：中间项为正，对应完全平方和公式；中间项为负，对应完全平方差公式。3. 常见完全平方项与 “积的 2 倍” 示例（拓展识别范围）完全平方项：\(x^2 = x^2\)、\(9y^2 = (3y)^2\)、\((a - 1)^2\)、\(0.25m^2 = (0.5m)^2\)、\(\frac{1}{4}n^2 = (\frac{1}{2}n)^2\)；积的 2 倍：\(2xy = 2×x×y\)、\(-6ab = -2×a×3b\)、\(4(x + 2)(y - 1) = 2×2(x + 2)(y - 1)\)。幻灯片 5：完全平方公式因式分解的直接应用1. 基础题型（“\(a\)”“\(b\)” 为数字或单项式）例题 1：用完全平方公式分解下列因式：\(x^2 + 8x + 16\)；步骤 1：识别结构：三项式，首项\(x^2 = x^2\)（\(a = x\)），尾项\(16 = 4^2\)（\(b = 4\)），中间项\(8x = 2×x×4\)（正号，对应完全平方和）；步骤 2：套用公式：\(a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\)；结果：\(x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2\)；\(y^2 - 10y + 25\)；识别：首项\(y^2 = y^2\)（\(a = y\)），尾项\(25 = 5^2\)（\(b = 5\)），中间项\(-10y = -2×y×5\)（负号，对应完全平方差）；结果：\((y - 5)^2\)；\(4a^2 + 12ab + 9b^2\)；识别：首项\(4a^2 = (2a)^2\)（\(a = 2a\)），尾项\(9b^2 = (3b)^2\)（\(b = 3b\)），中间项\(12ab = 2×2a×3b\)（正号）；结果：\((2a + 3b)^2\)；\(0.01m^2 - 0.2mn + n^2\)；识别：首项\(0.01m^2 = (0.1m)^2\)（\(a = 0.1m\)），尾项\(n^2 = n^2\)（\(b = n\)），中间项\(-0.2mn = -2×0.1m×n\)（负号）；结果：\((0.1m - n)^2\)。2. 进阶题型（“\(a\)”“\(b\)” 为多项式整体）例题 2：用完全平方公式分解下列因式：\((x + 2)^2 + 6(x + 2) + 9\)；识别：将\((x + 2)\)看作整体（\(a = x + 2\)），尾项\(9 = 3^2\)（\(b = 3\)），中间项\(6(x + 2) = 2×(x + 2)×3\)（正号）；套用公式：\(a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\)；结果：\([(x + 2) + 3]^2 = (x + 5)^2\)；\(4(m - n)^2 - 12(m - n)(m + n) + 9(m + n)^2\)；识别：首项\(4(m - n)^2 = [2(m - n)]^2\)（\(a = 2(m - n)\)），尾项\(9(m + n)^2 = [3(m + n)]^2\)（\(b = 3(m + n)\)），中间项\(-12(m - n)(m + n) = -2×2(m - n)×3(m + n)\)（负号）；套用公式：\(a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2\)；化简括号内式子：\(a - b = 2(m - n) - 3(m + n) = 2m - 2n - 3m - 3n = -m - 5n = -(m + 5n)\)；结果：\((-m - 5n)^2 = (m + 5n)^2\)（平方后负号消失，结果恒正）。幻灯片 6：需先提公因式再用完全平方公式的因式分解1. 核心原则（分解彻底的关键）若多项式各项含有公因式，需先提公因式（若首项为负，优先提取负公因式），再判断剩余部分是否符合完全平方公式结构，若符合则继续用公式分解，直至每一个因式都不能再分解为止。2. 典型例题例题 3：分解因式\(3x^2 + 12x + 12\)；步骤 1：提公因式（公因式为\(3\)）：\(3x^2 + 12x + 12 = 3(x^2 + 4x + 4)\)步骤 2：判断剩余部分\(x^2 + 4x + 4\)是否符合完全平方公式：符合（\(x^2 + 2×x×2 + 2^2\)），套用完全平方和公式分解：\(x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2\)步骤 3：写最终结果（分解彻底）：\(3x^2 + 12x + 12 = 3(x + 2)^2\)例题 4：分解因式\(-2a^3b + 12a^2b^2 - 18ab^3\)；步骤 1：提公因式（首项为负，提负公因式\(-2ab\)）：\(-2a^3b + 12a^2b^2 - 18ab^3 = -2ab(a^2 - 6ab + 9b^2)\)步骤 2：判断剩余部分\(a^2 - 6ab + 9b^2\)是否符合完全平方公式：符合（\(a^2 - 2×a×3b + (3b)^2\)），套用完全平方差公式分解：\(a^2 - 6ab + 9b^2 = (a - 3b)^2\)步骤 3：写最终结果（分解彻底）：\(-2a^3b + 12a^2b^2 - 18ab^3 = -2ab(a - 3b)^2\)（负号保留在公因式外，平方项恒正，结果符号由公因式决定）幻灯片 7：易错点深度解析与规避策略1. 易错点 1：混淆完全平方公式的中间项符号错误示例：分解\(x^2 - 6x + 9\)时，误写为\((x + 3)^2\)（中间项为负，应对应完全平方差公式，正确应为\((x - 3)^2\)）；错误原因：忽略中间项符号与公式类型的匹配关系，认为 “只要首尾是平方项，就可随意用和或差公式”；规避策略：分解时先看中间项符号 —— 中间项为正，用完全平方和公式（结果为\((a + b)^2\)）；中间项为负，用完全平方差公式（结果为\((a - b)^2\)），符号不可混淆。2. 易错点 2：漏提公因式或提公因式后漏写 “1”错误示例：分解\(2x^2 + 4x + 2\)时，直接写为\((\sqrt{2}x + \sqrt{2})^2\)（未提公因式，且引入无理数，不符合要求，正确应为先提公因式\(2\)，得\(2(x^2 + 2x + 1) = 2(x + 1)^2\)）；错误原因：跳过 “提公因式” 步骤，直接对含系数的多项式用公式，导致结果不规范或错误；规避策略：分解前先观察各项是否有公因式，若有则必须先提公因式，提公因式后括号内的项数与原多项式一致，常数项除以公因式得 “1” 时不可漏写。3. 易错点 3：误判 “积的 2 倍” 条件（中间项系数错误）错误示例：分解\(x^2 + 5x + 4\)时，误认为符合完全平方公式（中间项\(5x ≠ 2×x×2\)，不符合 “积的 2 倍”，正确应为用十字相乘法分解为\((x + 1)(x + 4)\)）；错误原因：未验证 “中间项绝对值是否等于 2× 首项底数 × 尾项底数”，仅凭 “三项式、首尾平方项” 就误用公式；冀教版2024教材数学七年级下册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1.经历通过乘法公式(a±b)2 =a2±2ab+b2的逆向变形得出利用公式法分解因式的过程，发展逆向思维和推理能力.2.会用公式法(直接用公式不超过两次)分解因式.3.掌握因式分解的一般步骤,并能进行相关恒等变形、计算与求值..1.因式分解：2.我们已经学过哪些因式分解的方法？1.提公因式法把一个多项式化成几个整式乘积的形式，叫作多项式的因式分解，也叫作将多项式分解因式. a2＋2ab＋b2=a2＋ab＋ab＋b2=a(a＋b)＋b(a＋b)=(a＋b)(a＋b)a2－2ab＋b2=a2－ab－ab＋b2=a(a－b)－b(a－b)=(a－b)(a－b)=(a＋b)2=(a－b)2提公因式提公因式分组 和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样，把完全平方公式反过来，就得到a2+2ab+b2 a2－2ab+b2我们把a²+2ab+b²和a²-2ab+b²这样的式子叫作完全平方式.观察这两个式子：（1）每个多项式有几项？（3）中间项和第一项，第三项有什么关系？（2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？三项这两项都是数或式的平方，并且符号相同是第一项和第三项底数的积的±2倍 知识点1 完全平方公式的结构特征简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解.+ b2±=(a ± b)²a2首2 ++尾2±2×首×尾(首±尾)2 知识点1 完全平方公式的结构特征例 1 下列各式是不是完全平方式？ （1）a2－4a+4; （2）1+4a²; （3）4b2+4b-1; （4）a2+ab+b2; （5）x2+x+0.25.是（2）因为它只有两项；不是（3）4b²与-1的符号不统一；不是分析：不是是（4）因为ab不是a与b的积的2倍. 知识点1 完全平方公式的结构特征对照 a²±2ab+b²=(a±b)²，填空：③ a²+4ab+4b²=( )²+2· ( ) ·( )+( )²=( )² ② m²-6m+9=( )² - 2· ( ) ·( )+( )² =( )² ① x²+4x+4= ( )² +2·( )·( )+( )² =( )²x2x+2 aa 2ba + 2b2bmm - 33x2 m3 知识点2 用完全平方公式分解因式...例2 把下列各式分解因式：(1)t2＋22t＋121；(2)m2＋ n2－mn.解：(1)t2＋22t＋121 =t2＋2×11t＋112 =(t＋11)2. 知识点2 用完全平方公式分解因式 解：(1)能，x2＋10x＋25=x2＋2×5x＋52=(x＋5)2. (2)能，4m2－4m＋1=(2m)2－2×2m×1＋12=(2m－1)2. (3)不能，4a2＋18ab＋9b2≠(2a)2＋2×2a×3b＋(3b)2. (4)能，m2－4mn＋4n2=m2－2×m×2n＋(2n)2=(m－2n)2. 知识点2 用完全平方公式分解因式 具有a2＋2ab＋b2或a2-2ab＋b2特征的多项式能用完全平方公式分解因式.方法总结：公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成完全平方的形式，就能用完全平方公式因式分解. 知识点2 用完全平方公式分解因式 解：(1)(x＋y)2－4(x＋y)＋4 =(x＋y)2－2·(x＋y)·2＋22 =(x＋y－2)2运用平方差公式和完全平方公式分解因式的方法叫作公式法.例3 把下列各式分解因式：(1)(x＋y)2－4(x＋y)＋4；(2)(3m－1)2＋(3m－1)＋ . 知识点2 用完全平方公式分解因式例4 把下列各式因式分解：(1)3ax2＋6axy＋3ay2；(2)－x2－4y2＋4xy.解：(1)3ax2＋6axy＋3ay2 ＝ 3a(x2＋2xy＋y2)＝3a(x＋y)2；a2 ＋2ab ＋b2 ＝(a+b)2(2)－x2－4y2＋4xy＝ －(x2＋4y2－4xy)＝ －(x2－4xy＋4y2)＝－[x2－2·x·2y＋(2y)2]＝ －(x－2y)2.a2 －＋b2 ＝(a-b)22 a b 知识点2 用完全平方公式分解因式方法总结：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式，平方项为负的先提出负号．注意分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止． 知识点2 用完全平方公式分解因式例 5 用完全平方公式分解因式：(1)1002－2×100×99+99²；(2)342＋34×32＋162. 解：(1)原式=（100－99)² (2)原式＝(34＋16)2=1.＝2 500. 知识点2 用完全平方公式分解因式 BA. 1B. 2C. 3D. 4 C  返回 D  返回 DA. 0B. 1C. 4D. 9  返回5.用图①中的正方形和长方形纸片可拼成图②所示的正方形，用因式分解的方法表示一个恒等式为_______________________.  4 返回7. 教材P121习题T2 把下列各式分解因式：       返回 （1）请任意选择两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解；    返回 BA. 非负数B. 正数C. 负数D. 0 返回 AA. 36B. 42C. 48D. 50  返回 BA. 只有嘉嘉正确B. 只有淇淇正确C. 两人都正确D. 两人都不正确  返回公式a2±2ab+b2=(a±b)2特点（1）多项式有三项.（2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负完全平方公式分解因式1.整式的乘法因式分解公式法2.因式分解的步骤：（1）先看多项式是否有公因式，有公因式的应先提出公因式.（2）再看能否用公式法（3）检查每一个多项式因式是否都不能再分解，能分解的继续分解到不能分解为止.整体思想必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！