初中数学冀教版（2024）七年级下册（2024）公式法第1课时教案

这是一份初中数学冀教版（2024）七年级下册（2024）公式法第1课时教案，共7页。教案主要包含了教材分析，学情分析，教学目标，教学重难点，教学过程，板书设计，教学反思等内容，欢迎下载使用。
第1课时

一、教材分析
因式分解是初中数学的一个重要内容，是代数式恒等变形的重要手段之一.它贯穿、渗透在各种代数式问题之中，为以后学习分式运算、解方程和方程组及代数式和三角函数式的恒等变形提供必要的基础.本节课是在学习了整式的乘法、乘法公式和提公因式法因式分解之后，让学生利用逆向思维而得到平方差公式因式分解的方法，而运用平方差公式分解因式又是因式分解中的一个重要内容.它对学习完全平方公式因式分解和后面即将要学习的分式化简和计算，对九年级学习一元二次方程的解法和二次函数等都有着重要的影响，所以学好本节课对后面的学习至关重.要.
二、学情分析
学生已掌握整式运算的基础知识，在前一节课中已经学习了提公因式法分解因式，初步体会到了因式分解与乘法运算的互逆关系，通过对乘法公式(a+b)(a−b)=a2−b2的逆向变形，容易得出a2−b2=(a+b)(a−b)，但准确理解和掌握公式的结构特征进行因式分解对学生来说还有很大的难度，学生的观察、归纳、类比、概括等能力，有条理的思考及语言表达能力还有待加强.

三、教学目标
1.理解平方差公式的特点，掌握使用平方差公式进行因式分解的方法，并能熟练使用平方差公式进行因式分解
2.学会利用平方差公式分解因式的一般思路
3.通过知识的迁移经历运用平方差公式分解因式的过程，培养探究知识、合作学习的能力，深化逆向思维的能力和数学的应用意识，渗透整体思想和转化思想
4.在自主合作学习的过程中体验成功的喜悦，感悟数学美，体会数学知识的合理性和严谨性，养成积极思考，独立思考的好习惯

四、教学重难点
重点：理解平方差公式的特点，掌握使用平方差公式进行因式分解的方法，并能熟练使用平方差公式进行因式分解
难点：利用平方差公式分解因式的一般思路和分解的彻底性

五、教学过程
情境导入
活动一：复习回顾，引入新课．
你对平方差公式认识有多深？
(a+b)(a−b)=a2−b2
(首+尾)(首-尾)=首2-尾2
设计意图：承前启后，为本节课的教学内容做出铺垫.
一起探究
活动二：动手操作，探索概念．
填空：
（1）(x+5)(x−5)= ；
（2）(3x+y)(3x−y)= ；
（3）(3m+2n)(3m−2n)= ．
尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积：
（1）x2−25= ；
（2）9x2−y2= ；
（3）9m2−4n2= ．
思考：它们的结果有什么共同特征？
互逆

设计意图：让学生在活动过程中感受因式分解与整式乘法的关系-相反方向的变形.
归纳总结：
像上面那样，把乘法公式逆用，就可以把某些形式的多项式进行因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法
做一做：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？
（1）x2+y2 ×
（2）x2−y2 √
（3）−x2−y2 ×
（4）−x2+y2 √
（5）x2−9y2 √
（6）m2−1 √
★符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成：( )2-( )2的形式.
口诀：两数是平方，减号在中央．
师生活动:学生独立完成，并书写答案，对不符合条件的问题相互交流、进行讨论，并初步总结公式的结构特征.
设计意图:通过做一做，让学生进一步理解平方差公式的结构特征，进而准确地运用公式进行因式分解.
应用举例
例1 把下列各式分解因式:
(1)4x2−9y2; (2)(3m−1)2−9.
a2 − b2 = (a +b ) (a −b)
解：(1)4x2−9y2= (2x)2−(3y)2=(2x +3y)(2x −3y).

(2)(3m−1)2−9=(3m−1)2−32=(3m−1+3)(3m−1−3)=(3m+2)(3m−4).
方法总结：
平方差公式中的a、b可以表示数、单项式、还可以是多项式.
师生活动：学生思考后独立完成例题，2名学生板演，由学生判断板演是否正确．教师统计做题正确的人数，同时给予肯定或鼓励，小组加分．
设计意图：加深对公式本质的认识，体会整体的数学思想并用换元的方法将问题转化为公式的基本形式加以解决.
例2. 把下列各式分解因式:
(1)a3−16a; (2)2ab3−2ab
解：(1)a3−16a=a(a2−16)=a(a+4)(a−4).
(2) 2ab3−2ab=2ab(b2−1)=2ab(b+1)(b−1).
师生活动：学生先独立思考再合作交流之后作答.
方法总结：
当多项式有公因式时,应先提出公因式,再看能否利用平方差公式进行因式分解.
设计意图：借助此题让学生进一步体会因式分解的方法，并会将提公因式法与公式法结合运用.
例3.某公园准备在一块边长为a m的正方形草地的四周修建一条宽为1 m的人行路，求人行路的面积.(用含a的代数式表示)
解: (a+2)2−a2
=(a+2+a)∙(a+2−a)
=2(2a+2)
=4(a+1)m2.
答：人行路的面积为4(a+1)m2.
师生活动：学生独立思考,教师引导学生利用公式法进行因式分解.
方法总结：
用平方差公式因式分解的步骤：
①提：有公因式先提公因式；
②套：正确套用公式；
③查：查分解是否彻底，左右两边是否相等.
设计意图：引导学生经历探究、猜想和验证，直至解决问题的过程．归纳出因式分解的步骤 “一提二套三查”的方法，再一次加深对多种方法（提公因式法、平方差公式）分解因式的综合运用，以及分解要彻底地思想．
课堂练习
1.下面分解因式的结果是否正确? 如果不正确,请指出错在哪里并改正.
(1)4x2−y2=(4x+y)(4x−y); (2)ab2−9a3=(b+3a)(b−3a).
解：(1)不正确.应为：4x2−y2=(2x+y)(2x−y);
(2)不正确.应为：ab2−9a3=a(b2−9a2)=a(b+3a)(b−3a).
2.运用公式法分解因式:
(1)25a2−16b2; (2)a2b2−19c2; (3)(a+2b)2−4; (4)x4−25x2.
解：(1)25a2−16b2=(5a)2−(4b)2=(5a+4b)(5a−4b);
(2)a2b2−19c2=(ab)2−(13c)2=(ab+13c)(ab−13c);
(3)(a+2b)2−4=(a+2b)2−22=(a+2b+2)(a+2b−2);
(4)x4−25x2=x2(x2−25)=x2(x+5)(x−5).
3.把下列各式分解因式:
(1)256−x2; (2)9x2−64; (3)16x2−m2n2; (4)9a4−a2.
解：(1)256−x2=(16+x)(16−x);
(2)9x2−64=(3x)2−82=(3x+8)(3x−8);
(3)16x2−m2n2=(4x)2−(mn)2=(4x+mn)(4x−mn);
(4)9a4−a2=a2(9a2−1)=a2(3a+1)(3a−1).
4.分解因式:x4−1
解：x4−1=(x2+1)(x2−1)=(x2+1)(x+1)(x−1)
注意：因式分解必须进行到每个因式都不能分解为止.
设计意图：通过练习，学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握程度，调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高.
课堂总结
这节课你学到了哪些知识？说说你的体会.
设计意图：通过学生对本节课所学内容的归纳、总结，把零碎的知识点和认知过程形成了一个完整的知识体系.
课堂检测
1.下列各式可以用平方差公式分解因式吗? 如果可以,请分解;如果不可以,请说明理由.
(1)x2+y2; (2)−x2+y2; (3)−x2−y2; (4)x2−81.
解：(1)不可以分解.不能写成a2−b2的形式;
(2)可以分解.−x2+y2=y2−x2=(y+x)(y−x).
(3)不可以分解.不能写成a2−b2的形式.
(4)可以分解.x2−81=x2−92=(x+9)(x−9).
2.把下列各式分解因式:
(1)4x2−100; (2)12y4−3y2; (3)x3−64x; (4)2a4−50a2
解:(1)4x2−100=4(x2−25)=4(x+5)(x−5).
(2)12y4−3y2=3y2(4y2−1)=3y2(2y+1)(2y−1).
(3)x3−64x=x(x2−64)=x(x+8)(x−8).
(4)2a4−50a2=2a2(a2−25)=2a2(a+5)(a−5).
3.把下列各式分解因式:
(1)(x+1)2−a2; (2)(2x+3)2−4m2;
(3)(2x+3)2−(3x−4)2; (4)4(3x+y)2−(2x−y)2
解：(1)(x+1)2−a2=(x+1+a)(x+1−a).
(2)(2x+3)2−4m2=(2x+3+2m)(2x+3−2m)
(3)(2x+3)2−(3x−4)2=[(2x+3)+(3x−4)][(2x+3)−(3x−4)]
=(5x−1)(−x+7)=−(5x−1)(x−7).
(4)4(3x+y)2−(2x−y)2=[2(3x+y)+(2x−y)][2(3x+y)−(2x−y)]
=[(6x+2y)+(2x−y)][(6x+2y)−(2x−y)]=(8x+y)(4x+3y).
4.计算: (1−122)(1−132)(1−142)⋯(1−192)(1−1102).
解：(1−122)(1−132)(1−142)⋯(1−192)(1−1102)
=(1−12)(1+12)(1−13)(1+13)(1−14)(1+14)⋯(1−19)(1+19)(1−110)(1+110)
=12×32×23×43×34×54×⋯89×109×910×1110
=12×1110
=1120.
5.如图,在半径为R的圆形钢板上冲出半径为r的四个小圆孔.若R=8.6cm,r=0.7cm,请利用因式分解的方法计算出剩余钢板的面积.(π取3.14)
解：πR2−4πr2=π(R2−4r2)=π(R+2r)(R−2r)
当R=8.6cm,r=0.7cm时
原式=3.14×(8.6+2×0.7)×(8.6−2×0.7)
=3.14×10×7.2
=226.08（cm2）
答：剩余钢板的面积为226.08cm2.

六、板书设计

七、教学反思
平方差公式这一内容属于数学再创造活动的结果，它在整式乘法，因式分解，分式运算及其它代数式的变形中起着十分重要的作用，因此，它是构建学生有价值的数学知识体系并形成相应数学技能的重要内容，它让学生感悟换元思想，感受数学的再创造性的好教材.
本节课我的设计理念是：恰当地创设情境、激发学生对数学的好奇心和求知欲，通过独立思考，不断发现和提出问题，分析并创造性地解决问题，教师为学生构建开放的学习环境引导学生体验探索、研究的过程，通过学生的再发现、再创造活动，体验“数学化”的过程，使学生在领悟数学对象本质的同时，真正经历知识的“生成过程”.
本节课上下来我整体感觉完成了我课前设定的目标，学生能够很快地掌握利用平方差公式来进行因式分解，而且对一般形式的能使用平方差公式的多项式能够进行因式分解.学生在课堂上和老师的互动也比较好，自我感觉这节课上得比较成功.总的来说，我完成了本节课的教学目标.成功之处主要体现在引入轻松、恰当，思路清晰，教学层次分明，及时总结到位，学生活动恰到好处，问题设置能引起学生思考，切实起到了教师引导作用的发挥.不足之处主要有以下几个方面：引入时例子的数量稍多，占用了时间，讲解过程中过于匆忙，没有大量化归到公式形式变形，导致部分学生感到学习的困难，另外，对于学生的活动放手不够，如果能让学生自己出题、自己讲题可能效果会更好.