10.2.2 三角形的外角及其性质-课件-2025-2026学年2024冀教版数学七年级下册

幻灯片 1：封面标题：10.2.2 三角形的外角及其性质学科：数学年级：七年级下册版本：冀教版（2024）幻灯片 2：素养目标理解三角形外角的定义，能准确识别三角形的外角。探究并证明三角形外角的性质，掌握 “三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”“三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角” 这两个核心结论。能运用三角形外角的性质解决角度计算、比较大小等实际问题，提升几何推理与应用能力。幻灯片 3：重难点重点三角形外角的定义及识别方法。三角形外角的两条性质及其证明过程。运用三角形外角性质解决角度相关问题。难点：三角形外角性质的推导证明，以及在复杂图形中准确运用性质分析角度关系。幻灯片 4：新知导入 —— 生活情境 + 旧知关联展示生活图片：如图，建筑工人在搭建脚手架时，两根钢管形成的角∠1 与三角形支架的内角∠A、∠B 有什么关系？回顾旧知：在△ABC 中，我们知道内角和为 180°，若延长 BC 至点 D，形成的∠ACD 与三角形的内角又有怎样的联系呢？引出本节课主题 —— 三角形的外角。幻灯片 5：三角形外角的定义定义内容：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角。图形展示：如图，在△ABC 中，延长 BC 至点 D，线段 AC 与线段 CD 组成的∠ACD，就是△ABC 的一个外角。关键特征：外角的顶点是三角形的一个顶点（如∠ACD 的顶点 C 是△ABC 的顶点）。外角的一条边是三角形的一边（如∠ACD 的边 AC 是△ABC 的边）。外角的另一条边是三角形某一边的延长线（如∠ACD 的边 CD 是△ABC 边 BC 的延长线）。小练习：判断下图中哪些角是△ABC 的外角，并说明理由。幻灯片 6：探究三角形外角的性质（一）—— 数量关系实验操作：任意画一个△ABC，延长 BC 至点 D，得到外角∠ACD。用量角器分别测量∠A、∠B、∠ACD 的度数，记录数据（示例：∠A=35°，∠B=45°，∠ACD=80°）。观察数据：计算∠A+∠B 的度数（35°+45°=80°），发现∠ACD=∠A+∠B。提出猜想：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。幻灯片 7：三角形外角性质（一）的证明已知：如图，在△ABC 中，∠ACD 是△ABC 的一个外角。求证：∠ACD=∠A+∠B。证明过程：依据三角形内角和定理：在△ABC 中，∠A+∠B+∠ACB=180°（三角形内角和等于 180°），所以∠A+∠B=180°-∠ACB。依据平角定义：∠ACD 与∠ACB 组成平角，所以∠ACD+∠ACB=180°，即∠ACD=180°-∠ACB。等量代换：由 1 和 2 可得，∠ACD=∠A+∠B。结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和（简称 “外角等于不相邻两内角和”）。幻灯片 8：探究三角形外角的性质（二）—— 大小关系推导过程：由性质（一）可知∠ACD=∠A+∠B。因为∠A 是三角形的内角，所以∠A>0°，因此∠ACD=∠A+∠B>∠B。同理，∠B>0°，所以∠ACD=∠A+∠B>∠A。结论：三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角（简称 “外角大于不相邻内角”）。注意：外角与相邻内角的大小关系不确定（可能互补，也可能一个大一个小，需结合具体角度判断）。幻灯片 9：典例讲解 —— 利用外角性质求角度例 1：如图，在△ABC 中，∠A=40°，∠B=60°，延长 BC 至点 D，求∠ACD 的度数。解题步骤：方法一（用内角和 + 平角）：先求∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-40°-60°=80°，再求∠ACD=180°-∠ACB=100°。方法二（用外角性质）：直接用∠ACD=∠A+∠B=40°+60°=100°。对比总结：利用外角性质解题更简便，可跳过求相邻内角的步骤。幻灯片 10：典例讲解 —— 复杂图形中的角度计算例 2：如图，在△ABC 中，∠1 是△ABC 的一个外角，∠A=30°，∠1=100°，BD 平分∠ABC，求∠2 的度数。解题思路：由外角性质（一）：∠1=∠A+∠ABC，所以∠ABC=∠1-∠A=100°-30°=70°。由角平分线定义：BD 平分∠ABC，所以∠ABD=∠DBC=∠ABC÷2=70°÷2=35°。求∠2：∠2 是△ABD 的外角（或直接在△BDC 中计算），若用外角性质，∠2=∠A+∠ABD=30°+35°=65°（或在△BDC 中，先求∠BDC=180°-∠DBC-∠ACB，此处略）。幻灯片 11：典例讲解 —— 利用外角性质比较角度大小例 3：如图，在△ABC 中，∠B=50°，∠C=60°，比较∠BAD 与∠C 的大小，并说明理由。解题步骤：先求∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-50°-60°=70°。∠BAD 是△ABC 的外角吗？不，延长 BA 至点 E，∠CAE 才是外角，∠BAD 与∠CAE 是对顶角，所以∠BAD=∠CAE。由外角性质（二）：∠CAE>∠C，因此∠BAD>∠C。幻灯片 12：课堂检测如图，在△ABC 中，∠A=25°，∠B=55°，则外角∠ACD=______°。已知△ABC 的一个外角为 120°，与这个外角相邻的内角为 x°，则 x 的取值范围是______，与这个外角不相邻的两个内角的和为______°。如图，∠1、∠2、∠3 是△ABC 不同的外角，比较∠1、∠2、∠3 的大小（用 “>” 连接），并说明理由。幻灯片 13：中考考法链接考情分析：三角形外角性质是中考几何基础考点，常与内角和定理、角平分线、平行线等知识结合，出现在选择题、填空题及几何证明题的辅助推理中。真题示例：（2024・河北唐山期末）如图，在△ABC 中，AB∥CD，∠A=50°，∠B=40°，则∠DCE 的度数为（ ）A. 40° B. 50° C. 90° D. 130°解析：先由 AB∥CD 得∠BCD=∠B=40°（内错角相等），再由∠ACB=180°-∠A-∠B=90°，最后∠DCE=180°-∠ACB-∠BCD=50°，答案选 B（或直接用外角性质，此处略）。幻灯片 14：课堂小结核心知识：三角形外角定义：一边与另一边延长线组成的角，具备 “一顶点、一边为三角形边、另一边为延长线” 三个特征。外角性质：①外角 = 不相邻两内角和；②外角 > 不相邻任意内角。解题技巧：在角度计算中，优先观察是否有外角，利用外角性质可简化计算；比较角度大小时，结合外角性质快速判断。幻灯片 15：作业布置基础作业：课本 10.2 节练习题第 4、5、6 题。提升作业：如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，点 D 在 AC 上，BD 平分∠ABC，求∠ADB 的度数（用两种方法解答，一种用内角和，一种用外角性质）。拓展作业：探究 “三角形的三个外角和为 360°”，并写出证明过程。冀教版2024教材数学七年级下册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1.了解三角形外角的概念.2.掌握三角形外角的性质.1.什么是三角形的内角？其和等于多少？三角形相邻两边组成的角叫做三角形的内角，它们的和是180 °2.三角形按边分类，可以分成哪几类？ ？ 内角 内角 如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角.∠ACD是△ABC的一个外角与外角∠ACD不相邻的内角与外角∠ACD相邻的内角知识点1 三角形的外角及性质问题1：△ABC如图所示，请画出△ABC的所有外角，指出来有哪几个.有6个，它们是∠1， ∠2， ∠3， ∠4， ∠5， ∠6.问题2：△ABC的6个外角有什么关系?∠1和∠4, 是对顶角，相等；∠2和∠5, 是对顶角，相等；∠3和∠6, 是对顶角，相等.知识点1 三角形的外角及性质问题3：在图中，外角∠ACD与它不相邻的内角∠A，∠B之间有什么大小关系？解：∵∠ACD+∠ACB = 180°，(补角的定义） ∠A +∠B +∠ACB = 180°，(三角形的内角和定理）∴∠ACD-∠A-∠B = 0.∴∠ACD =∠A +∠B.∵∠A＞0，∠B＞0，∴∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B.知识点1 三角形的外角及性质三角形的外角的性质三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角.归纳知识点1 三角形的外角及性质例1 如图，∠BCD=92°，∠A=27°，∠BED=44°，求： (1) ∠B的度数；(2) ∠BFD的度数；解：(1) 在△ABC中，∵ ∠BCD=∠A+∠B(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和),∠BCD=92°，∠A=27°，(已知)∴∠B=∠BCD-∠A=92°-27°=65°；(2) 在△BEF中，∵ ∠BFD=∠B+∠BED(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和),∠BED=44°，∠B=65°，(已知)∴∠BFD=44°+65°=109°.知识点1 三角形的外角及性质例2 (一题多解）如图，计算∠BDC.解：（解法一）连接AD并延长于点E.在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3，在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4.因为∠BDC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2，所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD =51° +20°+30°=101°.（解法二）延长BD交AC于点E.在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE，在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD.所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD =51° +20°+30°=101°.知识点1 三角形的外角及性质谈一谈1.一个三角形的内角最多有几个直角，最多有几个钝角？2.一个三角形能不能三个内角都是锐角？知识点2 三角形按角分类问题4：按照三角形内角的大小，三角形可以分为哪几类？锐角三角形直角三角形钝角三角形.三个内角都是锐角的三角形有一个内角是直角的三角形有一个内角是钝角的三角形知识点2 三角形按角分类请你试着以角为标准对三角形进行分类知识点2 三角形按角分类 B（第1题）  返回2. 如图，被信封遮住的三角形是( )D（第2题）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 以上都有可能 返回 D  返回  （第4题） 返回 150（第5题）    返回6. 教材P134习题T2 三角形的一个外角等于与它相邻的内角的5倍，又等于与它不相邻的一个内角的3倍，则该三角形各角的度数为_________________.   返回三角形的外角定义三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.性质三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和三角形的外角大于与它不相邻的任意一个内角．直角三角形锐角三角形三角形按角分类钝角三角形必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！