11.2 不等式的基本性质-课件-2025-2026学年2024冀教版数学七年级下册

幻灯片 1：封面标题：11.2 不等式的基本性质学科：数学年级：七年级下册版本：冀教版（2024）幻灯片 2：素养目标类比等式的基本性质，探究并归纳不等式的三条基本性质，能准确表述每条性质的内容。理解不等式基本性质与等式基本性质的异同，尤其掌握 “不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变” 这一关键区别。能运用不等式的基本性质对不等式进行变形（如化简、求解初步的不等式），培养逻辑推理与代数变形能力。幻灯片 3：重难点重点不等式的三条基本性质的推导与理解。运用不等式的基本性质对不等式进行正确变形。难点：理解并掌握不等式基本性质 3（乘除负数时不等号方向改变），避免在变形中忽略不等号方向的变化。幻灯片 4：新知导入 —— 类比旧知 + 生活情境回顾旧知：提问 “等式有哪些基本性质？”（等式两边加、减、乘、除同一个数（除数不为 0），等式仍然成立），引出 “不等式是否也有类似性质” 的思考。生活情境：妈妈给兄弟俩分糖果，哥哥有 5 颗，弟弟有 3 颗（即 5＞3）。若妈妈再给两人各 2 颗，哥哥有 7 颗，弟弟有 5 颗，此时 7＞5（两边加同一个数，不等关系不变）。若妈妈从两人手中各拿走 1 颗，哥哥有 4 颗，弟弟有 2 颗，此时 4＞2（两边减同一个数，不等关系不变）。若妈妈让两人的糖果数都变成原来的 2 倍，哥哥有 10 颗，弟弟有 6 颗，此时 10＞6（两边乘同一个正数，不等关系不变）。若妈妈让两人的糖果数都变成原来的\(\frac{1}{2}\)，哥哥有 2.5 颗，弟弟有 1.5 颗，此时 2.5＞1.5（两边除以同一个正数，不等关系不变）。提问：若两边乘或除以同一个负数，不等关系会怎样？引出对不等式性质的深入探究。幻灯片 5：知识点 1—— 不等式的基本性质 1探究过程：用具体例子验证 “两边加、减同一个数” 的情况：已知 3＞1，两边同时加 2：3+2=5，1+2=3，5＞3（不等号方向不变）；两边同时减 4：3-4=-1，1-4=-3，-1＞-3（不等号方向不变）。已知 - 2＜5，两边同时加 3：-2+3=1，5+3=8，1＜8（不等号方向不变）；两边同时减 5：-2-5=-7，5-5=0，-7＜0（不等号方向不变）。性质 1 内容：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。符号表示：如果 a＞b，那么 a±c＞b±c；如果 a＜b，那么 a±c＜b±c（c 为任意数或式子）。小练习：根据性质 1，将不等式 “x + 5＞3” 变形为 “x＞a” 的形式 —— 两边减 5，得 x＞3 - 5，即 x＞-2。幻灯片 6：知识点 2—— 不等式的基本性质 2探究过程：用具体例子验证 “两边乘、除以同一个正数” 的情况：已知 4＞2，两边同时乘 3：4×3=12，2×3=6，12＞6（不等号方向不变）；两边同时除以 2：4÷2=2，2÷2=1，2＞1（不等号方向不变）。已知 - 3＜6，两边同时乘\(\frac{1}{3}\)：-3×\(\frac{1}{3}\)=-1，6×\(\frac{1}{3}\)=2，-1＜2（不等号方向不变）；两边同时除以 2：-3÷2=-1.5，6÷2=3，-1.5＜3（不等号方向不变）。性质 2 内容：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。符号表示：如果 a＞b，且 c＞0，那么 ac＞bc（或\(\frac{a}{c}\)＞\(\frac{b}{c}\)）；如果 a＜b，且 c＞0，那么 ac＜bc（或\(\frac{a}{c}\)＜\(\frac{b}{c}\)）。小练习：根据性质 2，将不等式 “2x＜6” 变形为 “x＜a” 的形式 —— 两边除以 2（正数），得 x＜6÷2，即 x＜3。幻灯片 7：知识点 3—— 不等式的基本性质 3（关键性质）探究过程：用具体例子验证 “两边乘、除以同一个负数” 的情况：已知 5＞3，两边同时乘 - 2：5×(-2)=-10，3×(-2)=-6，此时 - 10＜-6（不等号方向改变）；两边同时除以 - 1：5÷(-1)=-5，3÷(-1)=-3，此时 - 5＜-3（不等号方向改变）。已知 - 4＜8，两边同时乘 - 3：-4×(-3)=12，8×(-3)=-24，此时 12＞-24（不等号方向改变）；两边同时除以 - 2：-4÷(-2)=2，8÷(-2)=-4，此时 2＞-4（不等号方向改变）。性质 3 内容：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。符号表示：如果 a＞b，且 c＜0，那么 ac＜bc（或\(\frac{a}{c}\)＜\(\frac{b}{c}\)）；如果 a＜b，且 c＜0，那么 ac＞bc（或\(\frac{a}{c}\)＞\(\frac{b}{c}\)）。易错提醒：乘除负数时，务必改变不等号方向，这是与等式性质的核心区别，也是解题中最易出错的地方。小练习：根据性质 3，将不等式 “-3x＞12” 变形为 “x＜a” 的形式 —— 两边除以 - 3（负数），不等号方向改变，得 x＜12÷(-3)，即 x＜-4。幻灯片 8：等式性质与不等式性质对比为帮助学生区分，通过表格清晰对比：运算类型等式性质不等式性质（a＞b）关键区别加（减）同一个数（c）a±c = b±ca±c＞b±c（方向不变）无区别，方向均不变乘（除）同一个正数（c＞0）a c = b c（或\(\frac{a}{c}\)=\(\frac{b}{c}\)）a c＞b c（或\(\frac{a}{c}\)＞\(\frac{b}{c}\)）（方向不变）无区别，方向均不变乘（除）同一个负数（c＜0）a c = b c（或\(\frac{a}{c}\)=\(\frac{b}{c}\)）a c＜b c（或\(\frac{a}{c}\)＜\(\frac{b}{c}\)）（方向改变）不等式需改变不等号方向，等式无需改变幻灯片 9：典例讲解 —— 利用性质变形不等式例 1：利用不等式的基本性质，将下列不等式化成 “x＞a” 或 “x＜a” 的形式：x - 7＞26解题步骤：根据性质 1，两边加 7，得 x＞26 + 7，即 x＞33。3x＜2x + 1解题步骤：根据性质 1，两边减 2x，得 3x - 2x＜1，即 x＜1。\(\frac{1}{2}\)x＞5解题步骤：根据性质 2，两边乘 2（正数），得 x＞5×2，即 x＞10。-4x＞3解题步骤：根据性质 3，两边除以 - 4（负数），不等号方向改变，得 x＜3÷(-4)，即 x＜-\(\frac{3}{4}\)。例 2：判断下列变形是否正确，并说明理由：由 a＞b，得 a c＞b c（错误，若 c 为负数，不等号方向需改变；若 c=0，变为等式）。由 a＞b，得 a - c＞b - c（正确，符合性质 1）。由 -\(\frac{1}{2}\)x＜1，得 x＜-2（错误，除以负数 -\(\frac{1}{2}\)，不等号方向应改变，正确结果为 x＞-2）。幻灯片 10：典例讲解 —— 利用性质比较大小例：已知 a＞b，用 “＞” 或 “＜” 填空，并说明依据的性质：a + 3______b + 3（依据性质 1，加同一个数，方向不变，填 “＞”）。a - 5______b - 5（依据性质 1，减同一个数，方向不变，填 “＞”）。-2a______-2b（依据性质 3，乘负数 - 2，方向改变，填 “＜”）。\(\frac{a}{3}\)______\(\frac{b}{3}\)（依据性质 2，除以正数 3，方向不变，填 “＞”）。若 c＜0，则 a c______b c（依据性质 3，乘负数 c，方向改变，填 “＜”）。幻灯片 11：课堂检测根据不等式的基本性质，将下列不等式变形：①由 x + 4＞6，得 x______（填变形结果，依据性质______）。②由 - 2x＜8，得 x______（填变形结果，依据性质______）。③由\(\frac{1}{3}\)x＞-1，得 x______（填变形结果，依据性质______）。已知 m＜n，判断下列式子是否正确，正确的打 “√”，错误的打 “×”：①m + 2＜n + 2（ ） ②m - 3＞n - 3（ ） ③-4m＜-4n（ ） ④\(\frac{m}{2}\)＜\(\frac{n}{2}\)（ ）若 a＞b，且 c 为有理数，比较 a c² 与 b c² 的大小（提示：分 c=0 和 c≠0 两种情况讨论）。幻灯片 12：中考考法链接考情分析：不等式的基本性质是后续学习一元一次不等式（组）解法的基础，中考中常结合不等式变形、比较大小等考查，多以选择题、填空题形式出现，有时也会在不等式求解过程中隐性考查性质的应用。真题示例：（2024・河北保定期末）已知 a＜b，下列不等式变形正确的是（ ）A. a - 2＞b - 2 B. \(\frac{a}{2}\)＞\(\frac{b}{2}\) C. -2a＞-2b D. 3a + 1＞3b + 1解析：选项 A，根据性质 1，a - 2＜b - 2，错误；选项 B，根据性质 2，\(\frac{a}{2}\)＜\(\frac{b}{2}\)，错误；选项 C，根据性质 3，乘负数 - 2，不等号方向改变，-2a＞-2b，正确；选项 D，先根据性质 2 乘 3 得 3a＜3b，再根据性质 1 加 1 得 3a + 1＜3b + 1，错误。答案选 C。幻灯片 13：课堂小结核心知识梳理：不等式有三条基本性质，其中性质 1（加减速不变）、性质 2（乘除正数方向不变）与等式性质类似，性质 3（乘除负数方向改变）是不等式特有的，需重点记忆。运用性质变形时，关键看 “乘除的数是正数还是负数”：正数不变向，负数必变向；加减运算无论数的正负，均不变向。解题技巧：变形后可代入具体数值验证，如将 “-3x＞12” 变形为 “x＜-4”，可代入 x=-5，左边 =-3×(-5)=15＞12，成立；代入 x=0，左边 = 0＞12，不成立，验证变形正确。幻灯片 14：作业布置基础作业：课本 11.2 节练习题第 1、2、3 题（重点练习利用性质变形不等式）。提升作业：利用不等式的基本性质，将下列不等式化成 “x＞a” 或 “x＜a” 的形式：①x + 8＜-1；②-5x＞-20；③\(\frac{1}{4}\)x - 2＞3；④-2x + 5＜3x。已知 x＞y，比较 3x - 5 与 3y - 5 的大小，并说明理由。拓展作业：探究 “若 a＞b，c＞d，那么 a + c 与 b + d 的大小关系”“a - c 与 b - d 的大小关系”，用具体例子验证，并总结结论。冀教版2024教材数学七年级下册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1.通过观察、对比和归纳,探究不等式的基本性质,体会不等式变形和等式变形的区别和联系.2.掌握不等式的基本性质,并能利用不等式的基本性质把简单不等式化成x>a或x50100+20>50+20 120>70120－20>70－201.已知3＜5,计算并用不等号填空：2.＜＜＜＜＜＜>>>>将两个点沿相同方向平移相等的距离后，对应的数的大小关系不变.对比原不等式，不等号左右两边有何变化? 不等号的方向有何变化？不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变.知识点1 不等式的基本性质不等式的基本性质1：文字语言：不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变.符号语言：知识点1 不等式的基本性质如果a＞b，那么a±c＞b±c.1.已知8＞3，计算并用不等号填空：在不等式的两边都乘（或除以）一个正数，在不等式的两边都乘（或除以）一个负数，2.再举几个例子，验证你的结论.不等号的方向不变不等号的方向改变>>>>＜＜＜＜观察这些不等式，你有什么发现？知识点1 不等式的基本性质不等式的基本性质2文字语言：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.符号语言：不等式的基本性质3文字语言：符号语言：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.知识点1 不等式的基本性质  例1 已知a＜b，请用“＞”或“＜”填空，并说出依据。>>＜＜＜＜（不等式的基本性质1）（不等式的基本性质1）（不等式的基本性质2）（不等式的基本性质2）（不等式的基本性质3）（不等式的基本性质3）知识点2 不等式的基本性质的应用 归纳：利用不等式的基本性质1对不等式进行变形，相当于移项，不改变不等号的方向；利用不等式的基本性质2,3进行变形时，以乘数或除数的正负决定是否改变不等号的方向.知识点2 不等式的基本性质的应用例2 根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式.解：不等式两边都加1，得合并同类项，得知识点2 不等式的基本性质的应用解：不等式两边都减x，得合并同类项，得知识点2 不等式的基本性质的应用例2 根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式.解：不等式两边都乘3，得例2 根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式.知识点2 不等式的基本性质的应用解：不等式两边都加5，得合并同类项，得不等式两边都除以-5，得切记：不等号的方向改变例2 根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式.知识点2 不等式的基本性质的应用 归纳：1.将不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式，实质是利用不等式的性质对不等式进行变形，把不等式的右边化成常数，左边化成只含有系数1的未知数的一次式的形式.2.不等式的两边同乘或除以同一个数时，要分清乘或除的是正数还是负数，若是正数，不等号的方向不变，若是负数，不等号方向要改变．知识点2 不等式的基本性质的应用分析：＜＜＜知识点2 不等式的基本性质的应用 D  A  返回3. 下列命题中，正确的是( )A A. ③④B. ①③C. ①②D. ②④  返回 错误       1（答案不唯一） 返回          返回 B  返回 C   返回10. [2024邢台校级月考] 设 ， ， 分别表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示，则在 ， ， 中，质量最大的是( )AA. B. C. D. 无法确定  返回 BA. 甲和乙B. 甲和丙C. 乙和丙D. 丙和丁1.知识类比，抽象2.思想方法变如果a＞b，那么a±c＞b±c.  必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！