11.4 一元一次不等式的应用-课件-2025-2026学年2024冀教版数学七年级下册

幻灯片 1：封面标题：11.4 一元一次不等式的应用学科：数学年级：七年级下册版本：冀教版（2024）幻灯片 2：素养目标能从实际问题中抽象出不等关系，准确列出一元一次不等式，掌握 “审、设、列、解、验、答” 的完整解题流程。会根据实际问题的意义，对不等式的解集进行合理取舍（如取正整数解），培养数学建模与实际应用能力。能解决生活中常见的不等式应用问题（如购物优惠、方案选择、资源分配等），感受数学与现实生活的紧密联系。幻灯片 3：重难点重点从实际问题中提取关键信息，建立一元一次不等式模型。按照 “审、设、列、解、验、答” 的步骤解决实际问题。难点：准确分析实际问题中的不等关系（如 “不超过”“至少”“至少” 等关键词的转化），以及对解集进行符合实际意义的取舍。幻灯片 4：新知导入 —— 生活场景唤醒展示 3 个典型生活场景，引导学生发现其中的不等关系：超市促销：“购买 2kg 以上苹果，每千克可享受 9 折优惠”，若想享受优惠，购买重量需满足什么条件？租车出行：“一辆客车限载 45 人，某班有 42 名学生和 2 名老师，租 1 辆车是否足够？”手机套餐：“套餐 A 每月月租 38 元，含 100 分钟通话，超出部分 0.2 元 / 分钟；套餐 B 每月月租 58 元，含 300 分钟通话。若每月通话时间为 x 分钟，选择哪种套餐更划算？”提问：这些问题无法用等式解决，需通过 “不等关系” 分析，如何用一元一次不等式解决这类实际问题？引出本节课主题。幻灯片 5：知识点 1—— 一元一次不等式应用的解题流程结合实例，归纳 “六步解题法”：步骤具体操作关键提示1. 审（审题）通读题目，明确已知条件、未知量及核心不等关系圈画关键词：“不超过（≤）”“至少（≥）”“最多（≤）”“超过（＞）”“不足（＜）”2. 设（设未知数）用字母表示未知量（如设 x 为数量、时间、费用等）注明未知数的单位（如 “设购买 x kg 苹果”“设通话时间为 x 分钟”）3. 列（列不等式）根据不等关系，将文字描述转化为数学不等式确保数量关系准确（如 “总费用≤预算”“总人数≤载客量”）4. 解（解不等式）按照一元一次不等式的解法，求出解集注意 “系数化为 1” 时不等号方向的变化5. 验（检验）检验解集是否符合实际意义（如未知数需为正整数、正数等）若解集为 x≥4.2，而实际问题中 x 为 “个数”，则取 x≥56. 答（作答）根据检验结果，用完整语言回答问题回答需对应题目问题，如 “至少需要购买 5kg 苹果”幻灯片 6：典例讲解 1—— 购物优惠问题例 1：某文具店推出活动：“购买笔记本，若一次性购买不超过 10 本，每本 2.5 元；若一次性购买超过 10 本，超过部分每本 2 元。小明带了 30 元，最多能购买多少本笔记本？”解题步骤：审题：已知两种单价（≤10 本：2.5 元 / 本；＞10 本：前 10 本 2.5 元，超出部分 2 元），总费用≤30 元，求最大购买数量。设未知数：设小明购买 x 本笔记本。列不等式：先判断 x 是否超过 10：若 x≤10，总费用 = 2.5x≤30→x≤12，但 x≤10，此时最大 x=10，总费用 25 元＜30 元，说明 x 可超过 10。若 x＞10，总费用 = 前 10 本费用 + 超出部分费用 = 2.5×10 + 2 (x - 10)≤30。解不等式：化简不等式：25 + 2x - 20≤30→2x + 5≤30→2x≤25→x≤12.5。检验：x 为笔记本数量，需为正整数，故 x 最大取 12。作答：小明最多能购买 12 本笔记本。幻灯片 7：典例讲解 2—— 方案选择问题例 2：某工厂计划生产一批零件，有两种设备可选：设备 A：每台每天可生产 20 个零件，租赁费用 400 元 / 天；设备 B：每台每天可生产 15 个零件，租赁费用 300 元 / 天。工厂每天至少需要生产 100 个零件，怎样租赁设备能使每天的租赁费用最低？解题步骤：审题：已知两种设备的产量与租赁费用，每天产量≥100 个，求费用最低的租赁方案。设未知数：设租赁设备 A x 台，设备 B y 台（x、y 为非负整数），总费用为 W 元，则 W=400x + 300y，且 20x + 15y≥100。简化分析：先考虑只租一种设备或两种设备组合的情况：只租 A：20x≥100→x≥5，费用 W=400×5=2000 元；只租 B：15y≥100→y≥7（y 为整数），费用 W=300×7=2100 元；租 A 4 台：20×4 + 15y≥100→80 + 15y≥100→y≥2（y=2），费用 W=400×4 + 300×2=2200 元；租 A 3 台：20×3 + 15y≥100→60 + 15y≥100→y≥3（y=3），费用 W=400×3 + 300×3=2100 元；租 A 2 台：20×2 + 15y≥100→40 + 15y≥100→y≥4（y=4），费用 W=400×2 + 300×4=2000 元；租 A 1 台：20×1 + 15y≥100→20 + 15y≥100→y≥6（y=6），费用 W=400×1 + 300×6=2200 元；检验与结论：费用最低的方案为 “租 A 5 台” 或 “租 A 2 台 + B 4 台”，每天费用均为 2000 元。作答：租赁 5 台设备 A，或租赁 2 台设备 A 和 4 台设备 B，能使每天的租赁费用最低（最低费用 2000 元）。幻灯片 8：典例讲解 3—— 资源分配问题例 3：某农场有 30 亩土地，计划种植小麦和玉米两种作物。已知种植小麦每亩需投入 200 元，可获利 500 元；种植玉米每亩需投入 150 元，可获利 300 元。农场计划总投入不超过 5000 元，怎样安排种植面积能使总获利最大？解题步骤：设未知数：设种植小麦 x 亩，则种植玉米 (30 - x) 亩（x 为非负整数，且 30 - x≥0→x≤30）。列不等式：总投入≤5000 元，即 200x + 150 (30 - x)≤5000。解不等式：化简：200x + 4500 - 150x≤5000→50x≤500→x≤10。分析获利：总获利 W=500x + 300 (30 - x)=200x + 9000，因为 200＞0，所以 W 随 x 的增大而增大，故 x 取最大值 10 时，获利最大。检验与作答：x=10（种植小麦 10 亩），30 - x=20（种植玉米 20 亩），总投入 = 200×10 + 150×20=5000 元（符合预算），总获利 = 200×10 + 9000=11000 元。因此，种植 10 亩小麦和 20 亩玉米时，总获利最大（最大获利 11000 元）。幻灯片 9：易错点辨析常见错误及纠正：关键词转化错误：如将 “至少需要 50 个” 误写为 “x＜50”（正确应为 x≥50）；将 “不超过 100 元” 误写为 “x≥100”（正确应为 x≤100）。数量关系混淆：如例 1 中，误将 “超过 10 本的部分” 按 2 元计算，写成 “2.5x≤30”（忽略 x＞10 时的分段计费，正确应为分段列不等式）。解集取舍错误：如例 1 中解得 x≤12.5，误取 x=12.5（实际应为 x=12，因笔记本数量为整数）。纠错练习：某服装店推出 “满 300 减 50” 活动，小明买了两件衣服，单价分别为 180 元与 x 元，若想享受优惠，x 应满足什么条件？（正确：180 + x≥300→x≥120，易错：180 + x＞300→x＞120，忽略 “满 300” 包含等于 300 的情况）。幻灯片 10：课堂检测某学校组织学生参加研学活动，租用客车每辆限载 40 人，若该校有 180 名学生和 10 名老师，至少需要租用多少辆客车？某文具店销售钢笔，若购买数量不超过 5 支，每支 8 元；超过 5 支，超过部分每支 6 元。小红带了 50 元，最多能购买多少支钢笔？某工厂生产 A、B 两种产品，生产 1 件 A 产品需 3 小时，获利 200 元；生产 1 件 B 产品需 2 小时，获利 150 元。工厂每天工作时间不超过 12 小时，怎样安排生产能使每天获利最大？幻灯片 11：中考考法链接考情分析：一元一次不等式的应用是中考高频考点，常以解答题形式出现（分值 6-8 分），背景多为购物优惠、方案选择、资源分配等生活场景，重点考查数学建模能力与实际应用能力。真题示例：（2024・河北中考模拟）某快递公司为客户运送一批包裹，若租用 A 型货车若干辆，刚好装满；若租用 B 型货车，可少租 1 辆，且最后 1 辆货车未装满但不少于 20 件。已知 A 型货车每辆装 30 件，B 型货车每辆装 40 件，求这批包裹的数量。解析：设租用 A 型货车 x 辆，则包裹数量为 30x 件，租用 B 型货车 (x - 1) 辆。列不等式：20≤30x - 40 (x - 2)＜40（B 型货车前 (x - 2) 辆装满，最后 1 辆装 “30x - 40 (x - 2)” 件，满足 “不少于 20，且未装满”）。解不等式：20≤-10x + 80＜40→-60≤-10x＜-40→4＜x≤6（x 为整数，故 x=5 或 6）。检验：x=5 时，包裹数量 = 30×5=150 件；x=6 时，包裹数量 = 30×6=180 件（均符合题意）。答：这批包裹的数量为 150 件或 180 件。幻灯片 12：课堂小结核心知识梳理：解题流程：审（找关键词）→设（明单位）→列（转不等关系）→解（求解集）→验（合实际）→答（写完整）。常见模型：购物优惠：分段计费问题，需分情况列不等式；方案选择：通过列不等式求出不同方案的取值范围，比较优劣；资源分配：结合 “总投入≤预算”“总产量≥需求” 列不等式，求最值。解题口诀：实际问题不用慌，六步解题帮你忙；关键词语先圈画，不等关系记心上；设元列式要准确，解集取舍不能忘；最后作答要完整，生活意义记端详。幻灯片 13：作业布置基础作业：课本 11.4 节练习题第 1、2、3 题（重点练习购物与资源分配问题）。提升作业：某书店推出两种购书方案：方案一，单次购书满 200 元减 40 元；方案二，办理会员卡（年费 50 元），每次购书享受 8 折优惠。若小明一年购书总金额为 x 元，选择哪种方案更划算？某车间有 20 名工人，每人每天可加工甲零件 5 个或乙零件 4 个。已知加工 1 个甲零件获利 16 元，加工 1 个乙零件获利 24 元。若车间计划每天获利不低于 1800 元，至少需要安排多少名工人加工乙零件？拓展作业：某社区计划购买 A、B 两种树苗共 100 棵，A 树苗每棵 30 元，成活率 90%；B 树苗每棵 50 元，成活率 95%。若购买总费用不超过 4000 元，且这批树苗的总成活率不低于 92%，有哪些购买方案？（提示：设购买 A 树苗 x 棵，列两个不等式组成不等式组，后续将学习不等式组解法，可先尝试列出不等式）。冀教版2024教材数学七年级下册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 类比列一元一次方程解应用题的方法,能从实际问题中抽象出数量之间的不等关系，会解决有关一元一次不等式的简单问题,体会不等式在解决实际问题中的作用，发展应用意识和模型观念.七年级(一)班的学生准备用500元购买甲、乙两种图书共12套，送给老区的幼儿园小朋友.已知甲种图书每套45元，乙种图书每套40元.那么这些钱最多能买甲种图书多少套? 问题1： 设可购买甲种图书x套，则购买甲种图书用钱为______元，购买乙种图书________套，购买乙种图书用钱为________元.45x(12-x)40(12-x)知识点 列一元一次不等式解决实际问题问题2： 购买甲、乙两种图书所用钱数与500元有什么关系?甲图书所用钱数 + 乙图书所用钱数 ≤ 500.问题3： 你能用不等式把这种关系表示出来吗?45x+40(12-x)≤ 500问题4：解上面列出的不等式，并根据解集确定实际问题的答案.解得x≤ 4，故最多购买甲图书4套.知识点 列一元一次不等式解决实际问题 通过以上分析，你可以总结一下应用一元一次不等式解决实际问题的步骤吗？实际问题解不等式列不等式结合实际确定答案知识点 列一元一次不等式解决实际问题例1 某商场为响应国家“绿色智能家电下乡”的惠农政策，决定采购一批智能家电，优惠销售给农民朋友. 商场从厂家直接购进甲、乙、丙三种不同的智能家电共80件，其中，甲种智能家电的件数是乙种智能家电件数的2倍，购买三种智能家电的总金额不超过13 200元，已知甲、乙、丙三种智能家电每件的出厂价格分别为120元，160元和200元. 那么该商场购进的乙种智能家电至少为多少件？知识点 列一元一次不等式解决实际问题解析：题中的等量关系， 甲种智能家电的件数 + 乙种智能家电的件数 + 丙 种智能家电的件数 = 80 甲种智能家电的件数 = 2×乙种智能家电的件数 题中的不等关系， 120×甲种智能家电的件数+160×乙种智能家电的件数+200×丙种智能家电的件数≤13 200知识点 列一元一次不等式解决实际问题根据题意列不等式，得 120×2x+160x+200(80-3x)≤13 200.解这个不等式，得 x≥14.答：该商场购进的乙种智能家电至少为14件.解：设购进乙种智能家电x件，则购进甲种智能家电2x件，购进丙种智能家电(80-3x)件. 归纳：生活中常用的不等关系与数学语言：超过 ，至少 ，最多 . >≥≤知识点 列一元一次不等式解决实际问题知1－练感悟新知[月考·廊坊安次区]今年植树节，某班同学共同种植270 棵树苗，这批树苗只有甲、乙两种，其中甲树苗每棵35 元，乙树苗每棵20 元，购买这批树苗的总费用不超过5 700 元，请问最多购买甲树苗多少棵？例2考向：利用一元一次不等式解决实际问题类型1 利用一元一次不等式解决实际问题知1－练感悟新知解：设购买甲树苗x 棵，则购买乙树苗(2 7 0 -x)棵，由题意，得3 5x+2 0(2 7 0 -x)≤ 5 7 0 0，解得x ≤ 2 0，∴ x 的最大值为2 0．答：最多购买甲树苗2 0 棵．解题秘方：分析题中的不等关系，建立不等式模型解决问题.知1－练感悟新知某电器商场销售A，B 两种型号计算器，A，B 两种计算器的进货价格分别为每台30 元、40 元. 商场销售5 台A 型号和1 台B 型号计算器，可获利润76 元；销售6 台A 型号和3 台B 型号计算器，可获利润120 元. (利润= 销售价格- 进货价格)例3类型2 方程组与不等式的综合实际应用知1－练感悟新知(1)求A，B 两种型号计算器的销售价格分别是每台多少元；(2)商场准备用不多于2 500 元的资金购进A，B 两种型号计算器共70 台，最少需要购进A 型号的计算器多少台？解题秘方：根据题中的等量关系列出方程组，求出题目中关键的未知量，再根据不等关系建立不等式模型解决问题. 知1－练 感悟新知知1－练(2)设需要购进A 型号的计算器a 台，则购进B 型号的计算器(70-a)台，由题意，得30a+40(70-a)≤ 2 500，解得a ≥ 30.答：最少需要购进A 型号的计算器3 0 台.感悟新知知1－练感悟新知 某校组织学生参加“周末郊游”. 甲旅行社说：“只要一名学生买全票，其余学生就可享受半价优惠.”乙旅行社说：“全体学生都可按六折优惠.”已知全票价为每人240 元.(1)设学生数为x 人，甲旅行社收费为y 甲元，乙旅行社收费为y 乙元，用含x 的式子表示出y 甲与y 乙；(2)讨论哪一家旅行社更优惠.例4类型3 利用一元一次不等式解决优化方案问题知1－练感悟新知解题秘方：(1)根据题意直接列式、化简即可；(2)分三种情况讨论：y 甲>y 乙，y 甲=y 乙，y 甲y 乙时，1 2 0 x+1 2 0 >1 4 4 x，解得x