11.3.2 解一元一次不等式-课件-2025-2026学年2024冀教版数学七年级下册

幻灯片 1：封面标题：11.3.2 解一元一次不等式（进阶）学科：数学年级：七年级下册版本：冀教版（2024）幻灯片 2：素养目标能解决含参数的一元一次不等式问题，掌握根据不等式解集确定参数取值范围的方法，培养分类讨论思想。学会结合一元一次方程与不等式的关系解题（如已知方程解求不等式解集、根据不等式解求方程参数），提升综合应用能力。能运用一元一次不等式解决简单的实际情境问题（如方案选择、最值分析），建立数学与生活的联系。幻灯片 3：重难点重点含参数的一元一次不等式的求解与参数取值范围的确定。一元一次不等式与方程的综合应用。难点：含参数不等式中，根据解集方向判断参数符号（尤其是一次项系数为 0 的特殊情况）；实际问题中不等关系的准确转化与解集的合理取舍。幻灯片 4：新知导入 —— 复习衔接 + 情境设问复习回顾：回顾 11.3.1 内容：解一元一次不等式的基本步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1），强调 “系数化为 1 时根据系数正负变向”。快速求解不等式：2 (3x - 1)＞4x + 5（答案：x＞\(\frac{7}{2}\)）。情境设问：若将不等式改为 “2 (kx - 1)＞4x + 5”，其中 k 为常数，解集会随 k 的变化而改变吗？k 取不同值时，解集有哪些情况？引出 “含参数的一元一次不等式” 主题。幻灯片 5：知识点 1—— 含参数的一元一次不等式（一次项系数含参）核心分析：含参数的一元一次不等式，关键是对 “一次项系数” 进行分类讨论（系数为正、为负、为 0），因为系数符号直接影响不等号方向。典例讲解：解关于 x 的不等式 kx + 3＞2x + 1（k 为常数）。解题步骤：整理不等式：移项合并同类项，得 (k - 2) x＞-2。分类讨论：情况 1：k - 2＞0（即 k＞2）：根据不等式性质 2，系数化为 1 时不等号方向不变，得 x＞\(\frac{-2}{k - 2}\)（即 x＞-\(\frac{2}{k - 2}\)）。情况 2：k - 2＜0（即 k＜2）：根据不等式性质 3，系数化为 1 时不等号方向改变，得 x＜-\(\frac{2}{k - 2}\)。情况 3：k - 2=0（即 k=2）：不等式变为 0・x＞-2，即 0＞-2，该式恒成立，因此 x 可取任意实数。总结：含参数不等式需先整理为 “ax＞b” 形式，再对 a 的正负性分类讨论，避免漏算 a=0 的特殊情况。幻灯片 6：知识点 2—— 根据不等式解集确定参数取值范围解题思路：先将不等式整理为 “ax＞b”（或类似）形式，再结合已知解集，反向推导参数的符号及取值范围。典例讲解：已知关于 x 的不等式 (2 - m) x＜1 的解集为 x＞\(\frac{1}{2 - m}\)，求 m 的取值范围。解题步骤：分析不等号方向：不等式整理后为 (2 - m) x＜1，已知解集为 x＞\(\frac{1}{2 - m}\)，不等号方向发生改变。结合性质 3 推导：根据不等式性质 3，“ax＜b” 变向为 “x＞\(\frac{b}{a}\)” 的前提是 a＜0，因此 2 - m＜0。求解参数范围：解 2 - m＜0，得 m＞2。验证：当 m=3（满足 m＞2）时，不等式变为 (2 - 3) x＜1，即 - x＜1，解集为 x＞-1，与 “x＞\(\frac{1}{2 - 3}\)=-1” 一致，验证正确。幻灯片 7：知识点 3—— 不等式与方程的综合应用类型 1：已知方程解求不等式解集例 1：已知 x=3 是方程 2x + a=7 的解，求不等式 ax - 1＞3 的解集。解题步骤：代入方程求 a：将 x=3 代入 2x + a=7，得 6 + a=7，解得 a=1。解不等式：将 a=1 代入 ax - 1＞3，得 x - 1＞3，解得 x＞4。类型 2：根据不等式解求方程参数例 2：若不等式 3x - m≤0 的正整数解为 1、2、3，求 m 的取值范围。解题步骤：解不等式：3x - m≤0→x≤\(\frac{m}{3}\)。分析正整数解：正整数解为 1、2、3，说明 3≤\(\frac{m}{3}\)＜4（若\(\frac{m}{3}\)＜3，正整数解不含 3；若\(\frac{m}{3}\)≥4，正整数解含 4，均不符合题意）。求 m 范围：两边乘 3，得 9≤m＜12。幻灯片 8：知识点 4—— 一元一次不等式的实际应用（基础型）解题步骤：审（理解题意）→设（设未知数）→列（列不等式）→解（解不等式）→验（检验解集合理性）→答（作答）。典例讲解：某商店计划购进一批笔记本，每本进价为 5 元，售价为 8 元。若商店预计盈利不低于 150 元，至少需要购进多少本笔记本？解题步骤：设未知数：设购进 x 本笔记本。列不等式：每本盈利 8 - 5=3 元，总盈利≥150 元，得 3x≥150。解不等式：x≥50。检验与作答：x 为笔记本数量，需为正整数，因此至少购进 50 本。幻灯片 9：易错点辨析常见错误及纠正：漏算参数为 0 的情况：如解 kx＞2 时，只讨论 k＞0 和 k＜0，忽略 k=0 时 “0＞2” 无解的情况。确定参数范围时端点错误：如例 2 中，误将 “3≤\(\frac{m}{3}\)＜4” 写成 “3＜\(\frac{m}{3}\)≤4”，导致 m 范围错误（应为 9≤m＜12，而非 9＜m≤12）。实际问题忽略整数解：如 “至少购进多少本笔记本”，解为 x≥49.5 时，需取 x=50（正整数），而非直接写 x≥49.5。纠错练习：已知不等式 (3a - 1) x＞2 的解集为 x＜\(\frac{2}{3a - 1}\)，求 a 的取值范围（答案：a＜\(\frac{1}{3}\)）。幻灯片 10：课堂检测解关于 x 的不等式：2 (x - a) + 1＞3x（a 为常数）。已知关于 x 的不等式 mx + 5＞3x 的解集为 x＜\(\frac{2}{3 - m}\)，求 m 的取值范围。若不等式 2x - k≤0 的正整数解只有 1、2，求 k 的取值范围。某工厂生产零件，每个零件成本为 10 元，售价为 15 元。若每月至少要盈利 2000 元，每月至少需要生产多少个零件？幻灯片 11：中考考法链接考情分析：含参数的一元一次不等式及与方程的综合应用，是中考中难度中等的考点，常以填空题、选择题或解答题的中间步骤形式出现，重点考查分类讨论与逻辑推理能力。真题示例：（2024・河北张家口期末）已知关于 x 的不等式 2x + k≤5 的正整数解为 1、2，求 k 的取值范围。解析：解不等式：2x + k≤5→x≤\(\frac{5 - k}{2}\)。分析正整数解：正整数解为 1、2，故 2≤\(\frac{5 - k}{2}\)＜3。求解 k：两边乘 2 得 4≤5 - k＜6→-1＜k≤1。幻灯片 12：课堂小结核心知识梳理：含参数不等式：整理为 “ax＞b” 后，对 a 分 a＞0、a＜0、a=0 三类讨论。反向求参数：根据解集方向确定 a 的符号，结合端点值分析范围（注意等号是否可取）。综合应用：方程与不等式结合时，先通过方程求参数，再解不等式；实际问题需结合生活意义取舍解集（如取正整数）。解题技巧：遇到参数问题，先明确 “谁是未知数，谁是参数”；实际问题中，关键词 “至少” 对应 “≥”，“最多” 对应 “≤”。幻灯片 13：作业布置基础作业：解关于 x 的不等式：3 (x + 2) - a＜2x（a 为常数）。已知不等式 (1 - 2a) x＞3 的解集为 x＜\(\frac{3}{1 - 2a}\)，求 a 的取值范围。提升作业：若不等式\(\frac{x + 5}{2}\) - 1＞\(\frac{ax + 2}{2}\)的解集为 x＜\(\frac{1}{2}\)，求 a 的值。某书店推出优惠活动：购买图书满 200 元减 50 元。若小明购买了 x 本单价为 30 元的图书，实际付款不超过 190 元，求 x 的最大值。拓展作业：已知关于 x 的方程 3x - 2m=4 的解是不等式 x - 1＞2 的最小整数解，求 m 的值。冀教版2024教材数学七年级下册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 掌握解一元一次不等式的一般步骤，会解简单的一元一次不等式，并能和解一元一次方程的过程进行类比,体会类比思想，提高运算能力.问题1：你还记得解一元一次方程的步骤吗？我们一起来通过解一元一次方程 回顾一下.解：去分母，得 4(x-1)-3(2x-3)=12. 去括号，得 4x-4-6x+9=12. 移项，合并同类项，得 -2x=7. 两边同除以-2，将系数化为1，得 x= .去分母 去括号 移项 合并同类项 系数化为1解一元一次不等式的一般步骤通过以上复习，我们对解不等式有了初步认识，接下来我们通过实例系统学习如何解复杂不等式.问题2：那么如何求得不等式75＋25x≤1200的解集呢？将①式移项，得将②式两边都除以25（即将x的系数化为1）， 25x ≤ 1125. ②得 x≤45.问题3：那么如何求得不等式的解集呢？解不等式：4x-13x+3. 移项，合并同类项，得 -x>2. 将未知数系数化为1，得 x