10.3 三角形的角平分线、中线、高-课件-2025-2026学年2024冀教版数学七年级下册

幻灯片 1：封面标题：10.3 三角形的角平分线、中线、高学科：数学年级：七年级下册版本：冀教版（2024）幻灯片 2：素养目标理解三角形角平分线、中线、高的定义，能在任意三角形中画出这三种线段。掌握三角形角平分线、中线、高的性质（如角平分线平分内角、中线分对边为相等两段、高与对边垂直等），并能结合性质解决简单几何问题。通过动手画图与探究，感知三角形三条角平分线、三条中线、三条高分别交于一点的规律，培养几何直观与动手操作能力。幻灯片 3：重难点重点三角形角平分线、中线、高的定义及画法。三角形角平分线、中线、高的核心性质（平分角、平分对边、垂直对边）。难点：钝角三角形三条高的画法（其中两条高在三角形外部），以及利用三种线段的性质解决几何计算与推理问题。幻灯片 4：新知导入 —— 生活情境联想展示生活图片：蛋糕店师傅将三角形蛋糕的一个角平均分成两份，准备切分蛋糕（对应角平分线）。园丁在三角形草坪中找中点，计划从顶点向中点修一条小路（对应中线）。工人师傅在三角形支架上从顶点向对边作垂线段，用于固定支架（对应高）。提问：这些生活场景中涉及的线段，在三角形中分别有怎样的定义和性质？引出本节课主题。幻灯片 5：知识点 1—— 三角形的角平分线定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段，叫作三角形的角平分线。图形展示：如图，在△ABC 中，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D，线段 AD 就是△ABC 的一条角平分线。核心性质：AD 平分∠BAC，即∠BAD=∠CAD=∠BAC÷2。三角形的三条角平分线交于一点（该点称为三角形的内心，到三角形三边距离相等）。动手操作：让学生在锐角△ABC、直角△ABC、钝角△ABC 中，分别用尺规作图法画出三条角平分线，观察交点位置（均在三角形内部）。幻灯片 6：知识点 2—— 三角形的中线定义：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作三角形的中线。图形展示：如图，在△ABC 中，点 D 是 BC 的中点（即 BD=DC），线段 AD 就是△ABC 的一条中线。核心性质：AD 平分 BC，即 BD=DC=BC÷2。三角形的三条中线交于一点（该点称为三角形的重心，重心到顶点的距离是到对边中点距离的 2 倍）。中线将三角形分成两个面积相等的三角形（如△ABD 和△ACD 面积相等，因为等底同高）。动手操作：学生用刻度尺找到三角形三边中点，画出三条中线，观察交点位置（均在三角形内部），并验证 “中线分三角形为等面积两部分”（用割补法或计算面积对比）。幻灯片 7：知识点 3—— 三角形的高定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段，叫作三角形的高。图形展示：锐角△ABC：三条高均在三角形内部，如 AD⊥BC，垂足为 D，AD 是 BC 边上的高。直角△ABC（∠C=90°）：直角边 AC、BC 分别是另一条直角边的高，斜边 AB 上的高 CD 在三角形内部（即两条高与直角边重合，一条高在内部）。钝角△ABC（∠C 为钝角）：钝角对边 AB 上的高 CD 在三角形内部，另外两条高（从 A 向 BC 延长线作的高 AE、从 B 向 AC 延长线作的高 BF）在三角形外部。核心性质：高与对边（或对边延长线）垂直，即 AD⊥BC（或 AE⊥BC 延长线）。三角形的三条高所在直线交于一点（该点称为三角形的垂心，锐角三角形垂心在内部，直角三角形垂心在直角顶点，钝角三角形垂心在外部）。动手操作：学生分别在锐角、直角、钝角三角形中，用三角板（或尺规）画出三条高，重点练习钝角三角形外部高的画法。幻灯片 8：典例讲解 —— 利用角平分线性质求角度例 1：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，∠B=40°，∠C=60°，求∠BAD 的度数。解题步骤：先求∠BAC：由三角形内角和定理，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-60°=80°。由角平分线性质：AD 平分∠BAC，所以∠BAD=∠BAC÷2=80°÷2=40°。幻灯片 9：典例讲解 —— 利用中线性质求线段长度例 2：如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，已知 BC=10cm，AB=7cm，AC=5cm，求△ABD 与△ACD 的周长差。解题思路：由中线定义：AD 是中线，所以 BD=DC=BC÷2=5cm。计算周长：△ABD 周长 = AB+BD+AD，△ACD 周长 = AC+DC+AD。求周长差：（AB+BD+AD）-（AC+DC+AD）=AB-AC=7-5=2cm（BD=DC、AD 为公共边，抵消后简化计算）。幻灯片 10：典例讲解 —— 利用高的性质判断图形例 3：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是 AB 边上的高，求证：∠ACD=∠B。证明过程：由直角三角形内角和：在 Rt△ABC 中，∠A+∠B=90°；在 Rt△ACD 中，∠A+∠ACD=90°。等量代换：因为∠A+∠B=∠A+∠ACD，所以∠ACD=∠B。幻灯片 11：课堂检测如图，在△ABC 中，BE 是角平分线，∠A=60°，∠C=40°，则∠ABE=______°。已知△ABC 的中线 AD 将 BC 分为两段，若 BD=3cm，则 BC=______cm；若△ABD 的面积为 6cm²，则△ABC 的面积为______cm²。画出△ABC（∠C 为钝角）中 AB 边上的高，并判断该高在三角形内部还是外部。幻灯片 12：中考考法链接考情分析：三角形的角平分线、中线、高是中考几何基础考点，常与内角和定理、全等三角形、勾股定理等结合，出现在选择、填空及几何证明题中，重点考查定义理解与性质应用。真题示例：（2024・河北石家庄模拟）如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，AE 是∠BAC 的角平分线，若∠B=30°，∠C=70°，则∠DAE 的度数为（ ）A. 20° B. 30° C. 40° D. 50°解析：先求∠BAC=180°-30°-70°=80°，由 AE 平分∠BAC 得∠BAE=40°；在 Rt△ABD 中，∠BAD=90°-∠B=60°；所以∠DAE=∠BAD-∠BAE=60°-40°=20°，答案选 A。幻灯片 13：课堂小结核心知识梳理：线段类型定义关键核心性质交点位置（锐角 / 直角 / 钝角三角形）角平分线平分内角，交对边于点平分内角，三条交于内心均在内部中线连接顶点与对边中点平分对边，分三角形为等面积两部分，三条交于重心均在内部高从顶点向对边作垂线，垂足为端点垂直对边（或延长线），三条所在直线交于垂心内部 / 直角顶点 / 外部易错点提醒：钝角三角形的两条高在外部，画图时需延长对边；重心到顶点距离是到对边中点距离的 2 倍，需注意比例关系。幻灯片 14：作业布置基础作业：课本 10.3 节练习题第 1、2、3、4 题（重点练习三种线段的画法与简单计算）。提升作业：如图，在△ABC 中，AD 是中线，AE 是角平分线，AF 是高，已知 AB=5cm，AC=3cm，BC=6cm，∠BAC=120°，求：①BD 的长度；②∠BAE 的度数；③AF 的长度（提示：用三角形面积公式 S=½× 底 × 高）。拓展作业：探究 “三角形的内心、重心、垂心是否一定在三角形内部”，结合不同类型三角形画图分析，并撰写简短探究报告。冀教版2024教材数学七年级下册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1.理解三角形的角平分线、中线和高线的定义，会画已知三角形的角平分线、中线和高线,提升几何直观素养.2.能应用三角形的角平分线、中线和高线的性质解决问题,提升推理能力.3.了解三角形的重心.2.线段中点的定义：1.角的平分线的定义：3.垂线的定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.把一条线段分成两条相等的线段的点.当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线.这里有一块三角形的蛋糕，如果兄弟两个想要平分的话，你该怎么办呢？ 问题1 如图，若OC是∠AOB的平分线，你能得到什么结论？答： ∠AOC= ∠BOC 问题2 你能通过折纸的方法找到△ABC中∠A的平分线吗?知识点1 三角形的角平分线 在一张纸上画出一个三角形并剪下，将它的一个角对折，使其两边重合.Ｄ知识点1 三角形的角平分线12三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点间的线段叫作三角形的角平分线.ABCD∠1=∠2 注意：角平分线是一条射线，三角形的角平分线是一条线段．AD是△ABC的角平分线.知识点1 三角形的角平分线练一练 如图，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABD的角平分线，若∠BAC=80°,则∠EAD=( )A.60°B.40°C.20°D.10C知识点1 三角形的角平分线 归纳：一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形内部，三角形的三条角平分线交于一点. 知识点1 三角形的角平分线问题1 如图，如果点C是线段AB的中点，你能得到什么结论？问题2 类比三角形的角平分线的概念，试说明什么叫三角形的中线？知识点2 三角形的中线ABC如图，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线.连接三角形的一个顶点与它对边中线的线段叫作三角形的中线.如图，在△ABC中，线段AD是△ABC的边BC上的中线，则BD=DC想一想：由三角形的中线你能得到什么结论？知识点2 三角形的中线 如图，分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线，并观察它们中线的交点有什么规律？ACABCABCDEFDDEFEF三角形的三条中线相交于一点，这个交点叫作这个三角形的重心.如图，△ABC的三条中线AD，BE，CF相交于点O，则点O为△ABC的重心.知识点2 三角形的中线你还记得 “过一点画已知直线的垂线” 吗?知识点3 三角形的高线A 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，叫做三角形的高线，简称三角形的高.BC如图, 线段AD是BC边上的高. 注意：标明垂直的记号和垂足的字母.∵AD是△ ABC的高∴∠ BDA = ∠ CDA =9 0 °几何语言：知识点3 三角形的高线每人画一个锐角三角形，试着画出这个三角形的三条高锐角三角形的三条高交于一点.锐角三角形的三条高都在三角形的内部.ABCDEF知识点3 三角形的高线直角三角形的三条高ABC画出一个直角三角形，画出直角三角形的三条高,AB直角边AB边上的高是 ;CB直角三角形的三条高交于直角顶点.D斜边AC边上的高是 ;BD知识点3 三角形的高线钝角三角形的三条高钝角三角形的三条高不相交于一点钝角三角形的三条高所在直线交于一点O知识点3 三角形的高线ABCABCAC 归纳：三角形有三条高，这三条高相交于一点.(1)锐角三角形的高交于三角形内一点；(2)直角三角形的高交于直角的顶点；(3)钝角三角形的高交于三角形外一点.知识点3 三角形的高线例 如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABC的周长为35cm，BC=11cm，且△ABD与△ACD的周长之差为3cm，求AB与AC的长.ACDB解：∵AD是△ABC的中线， ∴CD=BD. ∵△ABC的周长为35cm，BC=11cm， ∴AC+AB=35-11=24（cm）. 又∵△ABD与△ACD的周长之差为3cm, ∴AB-AC=3， ∴AB=13.5cm,AC=10.5cm. DA. B. C. D. 返回 C  返回（第3题） BA. 1.5B. 3C. 4D. 6   返回（第4题） 2.2 （第4题） 返回   返回 D（第6题）  返回（第7题） AA. B. C. D. 返回 6或14  返回 2.5   返回       返回三角形中几条重要线段会把原三角形面积平分一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差中线角平分线高三角形的角平分线是一条线段必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！