专题01 二元一次方程组及解法【知识串讲+十大考点】-2025-2026学年七年级数学下册重难考点强化训练（人教版2024）(原卷版+解析版）

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专题01 二元一次方程组及解法 模块一 考点类型 模块二 知识点一遍过 （一）二元一次方程概念 含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。 【注意】 ①二元：含有两个未知数； ②一次：所含未知数的项的次数都是1。 例如：xy=1，xy的次数是二，属于二元二次方程。 ③方程：方程的左右两边必须都是整式（分母不能出现未知数）。 二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． 二元一次方程有无数个解。 （二）二元一次方程组概念 含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组． 【注意】 ①二元一次方程组的“二元”和“一次”都是针对整个方程组而言的，组成方程组的各个方程不必同时含有两个未知数，如eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＋1＝0，,x＋2y＝2))也是二元一次方程组。 ②方程组中的各个方程中，相同字母必须代表同一未知量。 ③二元一次方程组中的各个方程应是整式方程。 二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。 【注意】 ①二元一次方程组的解是方程中每个方程的解。 ②一般情况下二元一次方程组的解是唯一的，但是有的方程组有无数个解或无解。 如：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y＝5，,4x＋4y＝20.))有的方程组无解，如：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y＝5，,x＋y＝2.)) （三）解二元一次方程组——代入消元 代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这个方法叫做代入消元法，简称代入法。 代入消元法的一般步骤： ①变：将其中一个方程变形，使一个未知数用含有另一个的未知数的代数式表示。 ②代：用这个代数式代替另一个方程中的相应未知数，得到一元一次方程。 ③解：解一元一次方程 ④求：把求得的未知数的值带入代数式或原方程组中的任意一个方程中，求得另一个未知数的值。 ⑤写：写出方程组的解。 ⑥验：将方程组的解带入到原方程组中的每个方程中，若各方程均成立，则这对数值就是原方程组的解，负责解题有误。 （四）解二元一次方程组——加减消元 加减消元法：两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。 加减消元法的一般步骤： ①变：将两个方程中其中一个未知数的系数化为相同（或互为相反数）。 ②加减：通过相减（或相加）消去这个未知数，得到一个一元一次方程。 ③解：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值。 ④求：将求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数的值。 ⑤写：写出方程组的解。 ⑥验：将方程组的解带入到原方程组中的每个方程中，若各方程均成立，则这对数值就是原方程组的解，负责解题有误。 模块三 考点一遍过 考点1：二元一次方程（组）定义 典例1：若(k+2)x+yk−1=0是关于x,y的二元一次方程，则k=（　　） A．1 B．±2 C．2 D．−2 【答案】C 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题考查二元一次方程，根据二元一次方程的定义，得到k−1=1且k+2≠0，进行求解即可． 【详解】解：由题意得：k−1=1且k+2≠0， 解得k=2． 故选C． 【变式1】下列方程：① 2x=3y；② x−1y=2；③ x2=4y；④ x4=3y−1；⑤ x+y+z=0．其中是二元一次方程的是（    ） A．④⑤ B．①④ C．①②③ D．①④⑤ 【答案】B 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义求解即可，正确理解二元一次方程的定义含有两个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程叫做二元一次方程是解题的关键． 【详解】① 2x=3y是二元一次方程； ② x−1y=2不是二元一次方程； ③ x2=4y不是二元一次方程； ④ x4=3y−1是二元一次方程； ⑤ x+y+z=0不是二元一次方程， 综上可知：①④是是二元一次方程， 故选：B． 【变式2】  若方程组ym+2−nxy=2m−1x=3是关于x，y的二元一次方程组，则mn= ． 【答案】1 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、判断是否是二元一次方程组 【分析】先根据二元一次方程组的定义得出m=12−n=0m−1≠0，据此求出m、n的值，代入计算可得结果． 【详解】解：根据题意知，m=12−n=0m−1≠0， 解得m=±1，n=2，m≠1， ∴m=−1，n=2， ∴mn=−12=1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了根据二元一次方程组的定义求参数，代数式求值问题，熟练掌握和运用二元一次方程组的定义是解决本题的关键． 【变式3】下列方程组中，不是二元一次方程组的是 ． ①x+y=104x−y=25；②x=3y=5；③x+2y=41x+y=2；④x2+y=32x−y=5 【答案】③④ 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【分析】根据二元一次方程组的概念可直接进行排除选项． 【详解】解：由二元一次方程组的概念可得：①x+y=104x−y=25；②x=3y=5是二元一次方程组，③x+2y=41x+y=2；④x2+y=32x−y=5不是二元一次方程组，因为不满足方程是整式及未知数的最高次项是2次， 故答案为③④． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的概念，熟练掌握二元一次方程组的概念是解题的关键． 考点2：二元一次方程（组）的解 典例2：解是x=−1y=−2的方程组可能是（    ） A．x+y=−3x−2y=1 B．2x=yx+y=−3 C．x+y=−3x−y=−1 D．x+y=03x−y=5 【答案】B 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的满足每个方程式解题关键．将x=−1y=−2分别代入方程组，满足的方程组即为答案． 【详解】解：A、把x=−1y=−2代入方程组得：x+y=−3x−2y=3≠1，不符合题意； B、把x=−1y=−2代入方程组得：2x=−2=yx+y=−3，符合题意； C、把x=−1y=−2代入方程组得：x+y=−3x−y=1≠−1，不符合题意； D、把x=−1y=−2代入方程组得：x+y=−3≠03x−y=−1≠5，不符合题意； 故选：B． 【变式1】已知x=3y=−2是方程ax+y=7的一个解，那么常数a的值是（    ） A．5 B．−5 C．3 D．−3 【答案】C 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、二元一次方程的解 【分析】本题考查了二元一次方程组的解、解一元一次方程，将x=3y=−2代入方程可得关于a的一元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：由题意得：3a−2=7， 解得：a=3， 故选：C． 【变式2】  若x=2y=1是关于x、y的方程x+ay=3的解，则a值为 ． 【答案】1 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查了二元一次方程的解的定义，将x=2y=1代入x+ay=3得出关于a的一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：依题意，2+a=3 解得：a=1， 故答案为：1． 【变式3】已知方程−2x+y=4的三个解为x=−1,y=2; x=0,y=4; x=1,y=6,方程x+y=1的三个解为x=−2,y=3; x=−1,y=2; x=0,y=1.则方程组−2x+y=4,x+y=1的解为 ． 【答案】x=−1y=2 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解 【分析】根据方程组的解的定义，能够同时满足方程组中的两个方程的解是方程组的解观察得出两个方程的解中相同的解为方程组的解． 【详解】解：根据方程组的解的定义，能够同时满足方程组中的两个方程的解是方程组的解， 可知x=−1y=2是这两个方程中所有的解中能同时满足两个方程的解， ∴方程组−2x+y=4,x+y=1的解为x=−1y=2， 故答案为：x=−1y=2． 【点睛】此题主要是考查了方程组的解的定义，能够熟练掌握同时满足方程组中的两个方程的解是方程组的解是解答此题的关键． 考点3：二元一次方程（组）解的应用 典例3：某一商场经销的A、B两种商品，A商品每件进价40元，利润率为50%；B商品每件售价80元．在“元旦”期间，该商场对A、B两种商品开展如下的优惠促销活动： 按上述优惠条件，若小华一次性购买A、B两种商品（两种商品每种商品不少于1件），实际共付款522元．则以下说法正确的个数是（   ） ①可能购买A商品3件，B商品5件； ②购买A商品与B商品的总件数可能为8件、9件、10件； ③如果在打折前买相同的物品，要比打折后多付58元或138元． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题主要考查了二元一次方程的实际应用，先求出A商品每件售价，再设购买A商品x件，购买B商品y件，然后分打折前购买的总金额不超过600元和打折前购买的总金额超过600元两种情况，根据打折后的金额推出打折前的金额，进而建立方程求出x、y的值，再逐一判断即可得到答案． 【详解】解：∵A商品每件进价40元，利润率为50%， ∴A商品每件售价为40×1+50%=60元， 设购买A商品x件，购买B商品y件， 当打折前购买的总金额不超过600元时，则60x+80y=522÷0.9， ∴3x+4y=29， ∴x=29−4y3， ∵x、y都为正整数， ∴当y=5时，x=3， 当y=2时，x=7； ∴当购买A商品3件，B商品5件时，打折前的购物总金额为3×60+5×80=580元，此时在打折前买相同的物品，要比打折后多付580−522=58元； 当购买A商品7件，B商品2件时，打折前的购物总金额为7×60+2×80=580元，此时在打折前买相同的物品，要比打折后多付580−522=58元； 当打折前购买的总金额超过600元时，则60x+80y=522−600×0.8÷0.7+600， ∴3x+4y=33， ∴x=33−4y3， ∵x、y都为正整数， ∴当y=3时，x=7， 当y=6时，x=3； ∴当购买A商品3件，B商品6件时，打折前的购物总金额为3×60+6×80=660元，此时在打折前买相同的物品，要比打折后多付660−522=138元； 当购买A商品7件，B商品3件时，打折前的购物总金额为7×60+3×80=660元，此时在打折前买相同的物品，要比打折后多付660−522=138元； ∴如果在打折前买相同的物品，要比打折后多付58元或138元， ∵3+5=8，3+6=9，3+7=10， ∴购买A商品与B商品的总件数可能为8件、9件、10件； ∴①②③的说法都正确， 故选：D． 【变式1】要把一张面值为100元的人民币换成零钱，现有足够的面值为20元、10元的人民币，则不同的换法一共有（    ） A．5种 B．6种 C．8种 D．10种 【答案】B 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题主要考查了二元一次方程的实际应用，设面值为20元的有x张，面值为10元的有y值，则可得方程20x+10y=100，求出方程的非负整数解即可得到答案． 【详解】解：设面值为20元的有x张，面值为10元的有y值， 由题意得，20x+10y=100， ∴x=10−y2， ∵x、y都为非负整数， ∴当y=0时，x=5； 当y=2时，x=4； 当y=4时，x=3； 当y=6时，x=2； 当y=8时，x=1； 当y=10时，x=0； ∴方程20x+10y=100一共有6组不同的非负整数解， ∴不同的换法一共有6种， 故选：B． 【变式2】  现有一条长度为359mm的铜管料，把它锯成长度分别为39mm和29mm的两种不同规格的小铜管，（要求没有余料）．每锯一次损耗1mm的铜管料．为了使铜管料损耗最少，应分别锯成39mm的小铜管 段，29mm的小铜管 段． 【答案】 6 4． 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解 【分析】本题的等量关系是截39mm的铜管的钢管料+截29mm的铜管的钢管料+据这两种钢管时损耗的钢管料=359，列出方程，求出未知数，然后将各种方案的损耗算出来，得出损耗最少的方案． 【详解】设应分别锯成39mm的小铜管x段、29mm的小铜管y段， 则损耗的钢管料应是(x+y−1)mm， 根据题意， 得39x+29y+x+y−1=359， x=9−34y， ∵x、y都必须是正整数， ∴x=6,y=4,x+y−1=9， 或x=3,y=8,x+y−1=10， ∴锯成4段39mm的小铜管、3段29mm的小铜管损耗最少， 故答案为：6；4． 【点睛】本题考查了列方程解实际问题的运用，解答时关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程，注意等量关系式是解题的关键． 【变式3】综合与实践：有一个长为90cm，宽为60cm的矩形硬纸板（纸板的厚度忽略不计），如果把这块矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子（如图），该盒子底面的宽和长分别是 xcm和ycm（x和y都是整数，x