专题02 二元一次方程组的应用【知识串讲+十一大考点】-2025-2026学年七年级数学下册重难考点强化训练（人教版2024）(原卷版+解析版）

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专题02 二元一次方程组的应用 模块一考点类型模块二知识点一遍过（一）解一元二次方程组应用的一般步骤列二元一次方程组解应用题的一般步骤：①审：审题，明确各数量之间的关系。②设：设未知数③找：找题中的等量关系④列：根据等量关系列出两个方程，组成方程组⑤解：解方程组，求出未知数的值⑥答：检验方程组的解是否符合题意，写出答案。模块三考点一遍过考点1：年龄问题典例1：甲对乙说：“我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁数的一半；当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁．”则今年甲的年龄为 岁， 乙的年龄为 岁．【答案】 28 21【知识点】年龄问题(二元一次方程组的应用)【分析】设今年甲的年龄为x岁，乙的年龄为y岁，则甲比乙大x−y岁，然后根据题意列出方程组求解即可．【详解】解：设今年甲的年龄为x岁，乙的年龄为y岁，则甲比乙大x−y岁，由题意得：x2=y−x−yx+x−y=2y−7，解得：x=28y=21，即今年甲的年龄为28岁，乙的年龄为21岁，故答案为：28，21．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找出合适的等量关系列出方程组是解题的关键．【变式1】小强问他的数学老师今年多少岁了，数学老师说：“我像你这么大时，你才1岁．你到我这么大时，我就40岁了．”那么数学老师今年的岁数是 岁．【答案】27【知识点】年龄问题(二元一次方程组的应用)【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用．设数学老师今年x岁，小强今年y岁，根据题意，列出方程组进行求解即可．【详解】解：设数学老师今年x岁，小强今年y岁，由题意，得：x−y=y−1x+x−y=40，解得：x=27y=14，∴数学老师今年27岁；故答案为：27．【变式2】  今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁．(1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答）(2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？【答案】(1)爸爸36岁，爷爷76岁(2)爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子【知识点】年龄问题(二元一次方程组的应用)【分析】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁，根据“爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40”列出二元一次方程组求解即可．（2）用现在年份减去年龄加15即可得到答案．【详解】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁．x−4+y−13=95y−x=40．解得：x=36y=76答：今年小明的爸爸36岁，爷爷76岁；（2）2022−36+15=2001（年）2022−76+15=1961（年）小明的爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确找出等量关系是解答本题的关键．【变式3】根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄．小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁．大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁．【答案】大头儿子现在的年龄为10岁【知识点】年龄问题(二元一次方程组的应用)【分析】设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁，根据题意列出二元一次方程组解得即可．【详解】解：设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁，由题意得：y=x+23y+5=2(x+5)+8，解得：x=10y=33，答：大头儿子现在的年龄为10岁．【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题意列出二元一次方程组．考点2：分配问题典例2：芳芳和元元一起玩用火柴棍摆图形的游戏，三角形和正方形一共摆了10个（如图，任意两个图形之间没有公共边）．如果她们一共用了36根火柴棍，那么她们摆了个 三角形， 正方形．【答案】 4 6【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用)【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意正确列出二元一次方程组成为解题的关键．设她们摆了x个三角形，y正方形，再根据题意列二元一次方程组求解即可．【详解】解：设她们摆了x个三角形，y正方形，由题意可得：x+y=103x+4y=36，解得：x=4y=6，所以设她们摆了4个三角形，6正方形．故答案为：4，6．【变式1】某旅店的客房有两人间和三人间两种，两人间每间200元，三人间每间250元，某学校50人的研学团到该旅店住宿，租住了若干客房.其中男生27人，女生23人.若要求男女不能混住，且所有租住房间必须住满.（1）要想使花费最少，需要 间两人间；（2）现旅店对两人间打八折优惠，且仅剩15间两人间，此时要想花费最少，需要 间三人间.【答案】 1 8【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用)【分析】（1）要想使花费最少，则应尽可能多租三人间；（2）两人间打八折优惠时，应尽可能多租两人间，注意所有租住房间必须住满．【详解】解：（1）由题意知，两人间每间200元，平均每人100元，三人间每间250元，平均每人2503元，因此要想花费最少，则应尽可能多租三人间，花费最少时，27个男生租9个三人间，23个女生可以租7个三人间和1个两个间，故答案为：1；（2）两人间打八折优惠，则160元，平均每人80元，此时，要想花费最少，则应尽可能多租两人间，设27个男生租x个两个间，y个三个间，23个女生租m个两个间，n个三个间，则2x+3y=27，2m+3n=23，当x=12，y=1时，满足2x+3y=27，因此27个男生租12个两个间，1个三个间，此时还剩两人间：15−12=3（个），因此m可以取3，2，1，0，当m=3时，女生需要租三人间n=23−3×23=173个，不合题意；当m=2时，女生需要租三人间n=23−2×23=193个，不合题意；当m=1时，女生需要租三人间n=23−1×23=7个，符合题意；因此需要租三人间：y+n=1+7=8（个），故答案为：8．【点睛】本题考查二元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出二元一次方程，注意“所有租住房间必须住满”这一条件．【变式2】  我校学生组织冬游活动，交通工具有两座车和五座车两种，两座车每人每次18元，五座车每人每次8元，共100名学生参与了活动，乘坐了两种车若干，且每辆车正好坐满．(1)若一共花去车费1300元，则两种车各租用了多少辆？（列二元一次方程组解决问题）(2)因场地停车位置有限，只能停靠24辆车．故新提供了大巴车可选择，每辆大巴车可乘坐7人．若每种车型必须都租用，请你设计符合要求的租车方案．(3)若每辆大巴车的租金为30元一次，请你通过计算，找出租金最低的租车方案．【答案】(1)租用两座车共25辆，租用五座车共10辆(2)租车方案有3种：方案一：乘2人的车8辆，乘5人的车14辆，乘7人的车2辆．方案二：乘2人的车10辆，乘5人的车9辆，乘7人的车5辆．方案三：乘2人的车12辆，乘5人的车4辆，乘7人的车8辆．(3)方案三：乘2人的车12辆，乘5人的车4辆，乘7人的车8辆，租金最低为832元【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、二元一次方程的解、分配问题(二元一次方程组的应用)【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用、二元一次方程组的应用、有理数混合运算等知识点，正确列出方程组和二元一次方程成为解题的关键．（1）设租用的两座车共能坐学生a人，租用的五座车共能坐学生b人，根据共100名学生参与了活动，一共花去车费1300元列方程组求解即可；（2）设租用两座车x辆，五座车y辆，则租用大巴车24−x−y辆，再根据共100名学生参与了活动，据此列二元一次方程求解即可；（3）分别求出三种方案的费用，然后再比较即可解答．【详解】（1）解：设租用的两座车共能坐学生a人，租用的五座车共能坐学生b人，根据题意；a+b=100①18a+8b=1300②，①×18−②得：10b=500，解得：b=50，将b=50代入①得：a+50=100，解得：a=50，则50÷2=25（辆），50÷5=10（辆）．答：租用两座车共25辆，租用五座车共10辆．（2）解：设租用两座车x辆，五座车y辆，则租用大巴车24−x−y辆，根据题意：2x+5y+724−x−y=100，即5x+2y=68，∵x,y为非负整数，且x+y